2024高考数学专项《常考二级结论及其应用》文科版含答案.pdf

常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由“题”组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上,高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的.不仅如此,试题的表示方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的“题”研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法.在本篇中,我们把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以使同学们在解答高考题时能做到准确、快捷.结论一 子集个数问题:若一个集合A含有n(nN*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如,每个元素都有两种选择,则n个元素有2n种选择.例1设集合A=(x,y)x24+y21 6=1,B=(x,y)|y=3x,则AB的子集的个数是().A.4B.3C.2D.1变式1 已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0 x0且a1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.3第二篇 常考二级结论及其应用 4 结论七1.二次函数解析式的三种形式.二次函数f(x)=a x2+b x+c(一般式)a x+b2a2+4a c-b24a(顶点式)(a0,xR).a(x-x1)(x-x2)(双根式)2.二次函数的基本性质.(1)当a0时,f(x)在-,-b2a上为减函数,在-b2a,+上为增函数,f(x)在x=-b2a处取得最小值为f-b2a=4a c-b24a,无最大值;(2)当a0,则x0满足关于x的方程a x=b的充要条件是().A.xR,12a x2-b x12a x20-b x0B.xR,12a x2-b x12a x20-b x0C.xR,12a x2-b x12a x20-b x0D.xR,12a x2-b x12a x20-b x0变式1 已知函数f(x)=x2+a x+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)g(x),若函数f(x)=x2+t x+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得mx1x2m+1成立,则().A.m i nf(m),f(m+1)14C.m i nf(m),f(m+1)=14D.m i nf(m),f(m+1)14结论八经典不等式.(1)指数形式exx+1(xR),当且仅当x=0时取等号;(2)对数形式l n(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时取等号.证明:(1)令g(x)=ex-x-1(xR),则g(x)=ex-1.令g(x)=0,解得x=0.g(x),g(x)随x的变化如表2-1所示.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)5 表2-1x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,当x=0时,g(x)有最小值0,即xR,ex-x-1g(0)=0.所以exx+1(xR)恒成立,当且仅当x=0时取等号.(2)由exx+1两边取以e为底的对数,则l n(ex)l n(x+1),即l n(x+1)x(x-1).例8已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().A.B.C.D.变式1 已知函数f(x)=ex,xR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2 设函数f(x)=1-e-x.求证:当x-1时,f(x)xx+1.5第二篇 常考二级结论及其应用 6 结论九函数的对称性问题:已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2轴对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点a+b2,c2中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对称.尤其要注意三角函数图像的对称性问题.例9已知函数f(x)=As i n(x+)的图像如图2-2所示,f2=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2 图2-3变式1 已知函数y=g(x)的图像由f(x)=s i n 2x的图像向右平移(00且b1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式3 设f(n)=3+33+35+37+32n+9n(),则f(n)=.9第二篇 常考二级结论及其应用 1 0 结论十五已知数列an 的前n项和为Sn,前n项乘积为Tn.(1)若an 为等差数列,公差为d,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列,公差为n2d;(2)若an 为等比数列,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(当n为偶数时,q-1),公比为qn;(3)若an 为等比数列,公比为q,则Tn,T2nTn,T3nT2n,仍为等比数列,公比为qn2.例1 5设等比数列an 的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1 设等差数列an 的前n项和为Sn,若S3=9,S6=3 6,则a7+a8+a9=().A.6 3B.4 5C.3 6D.2 7结论十六1.已知圆O的方程为(x-m)2+(y-n)2=R2,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若点P在圆O上,则直线l与圆O相切,P为切点,l为切线;(2)若点P在圆O外,则直线l与圆O相交,两交点分别为过点P作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线;(3)若点P在圆O内(不为圆心),则直线l与圆O相离,圆心到直线l的距离d满足:R2=|O P|d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2;(2)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 xa2+y0yb2=1;(3)过抛物线C:y2=2p x(p0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2p x(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线;(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线;(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程、看判别式);(2)在求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:所求切线一定有两条;设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)1 1 例1 6过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线A B的方程为().A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0变式1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线a x+b y=1与圆O的位置关系是().A.相切B.相交C.相离D.不确定变式2 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线A B恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .结论十七中点弦相关结论:(1)若椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)时,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k=-b2x0a2y0(y00),即kkO P=-b2a2;若椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0)时,相应结论为k=-a2x0b2y0(y00),即kkO P=-a2b2.(2)P(x0,y0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内部一点,以P为中点的弦所在直线斜率k=b2x0a2y0(y00),即kkO P=b2a2;若双曲线方程为y2a2-x2b2=1时,相应结论为k=a2x0b2y0(y00),即kkO P=a2b2.(3)P(x0,y0)是抛物线y2=2p x(p 0)内部一点时,以P为中点的弦所在直线斜率k=py0(y0 0);若方程为x2=2p y时,相应结论为k=x0p.例1 7直线m与椭圆x22+y2=1分别交于点P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线O P的斜率为k2,则k1k2的值为().A.2B.-2C.12D.-12变式1 过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线相交于P,Q两点,那么线段P Q中点的轨迹方程是().A.y2=2x-1B.y2=2x-2C.y2=-2x+1D.y2=-2x+2变式2 若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段A B的中点坐标是 .变式3 若焦点是0,2 2()的椭圆截直线3x-y-3=0所得弦的中点的横坐标为12,则椭圆方程为 .1 1第二篇 常考二级结论及其应用 1 2 结论十八在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线P A与直线P B的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线A B的斜率为定值.(1)如图2-7(a)所示,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值b2x0a2y0;(2)如图2-7(b)所示,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值-b2x0a2y0;(3)如图2-7(c)所示,已知抛物线y2=2p x(p0),定点P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值-py0.(a)(b)(c)图2-7下面以双曲线为例给出证明,椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线P A的方程为y=k(x-x0)+y0,令m=y0-k x0,联立方程y=k x+mx2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2k2)x2-2a2k m x-a2m2-a2b2=0,则x1x0=-a2m2+a2b2b2-a2k2,解得x1=-a2(y0-k x0)2+a2b2(b2-a2k2)x0.同理x2=-a2(y0+k x0)2+a2b2(b2-a2k2)x0.故直线A B的斜率kA B=y2-y1x2-x1=(-k x2+y0+k x0)-(k x1+y0-k x0)x2-x1=2k x0-k(x1+x2)x2-x1=-b2x0a2y0为定值.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)1 3 例1 8已知椭圆C:x24+y23=1,A为椭圆上的定点,其坐标为A1,32,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线A E的斜率与A F的斜率互为相反数.求证:直线E F的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0.求证:直线A B的斜率kA B为定值,并求出该定值.结论十九若圆锥曲线中的内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于右顶点的两动点A,B,以A B为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lA B过定点a2-b2a2+b2a,0.同理,当以A B为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lA B过定点-a2-b2a2+b2a,0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上异于右顶点的两动点A,B,以A B为直径的圆经过右顶点(a,0),则 直 线lA B过 定 点a2+b2a2-b2a,0.同 理,对 于 左 顶 点(-a,0),则 定 点 为-a2+b2a2-b2a,0.1 3第二篇 常考二级结论及其应用 1 4 AA1xyOB图2-8(3)对于抛物线y2=2p x(p0)上异于顶点的两动点A,B,若O AO B=0,则弦A B所在直线过定点(2p,0).同理抛物线x2=2p y(p0)上异于顶点的两动点A,B,若O AO B,则弦A B过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明,双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:如图2-8所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=t y+m(ma).联立x2a2+y2b2=1x=t y+m,消x得(a2+b2t2)y2+2b2m t y+b2m2-a2b2=0,=(2b2m t)2-4(a2+b2t2)(b2m2-a2b2)0,y1+y2=-2b2m ta2+b2t2y1y2=b2(m2-a2)a2+b2t2 (*)因为以A B为直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以A1AA1B=0.则(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,亦即(t y1+m)(t y2+m)-at(y1+y2)+2m+a2+y1y2=0,(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0.将(*)式代入上式得(t2+1)b2(m2-a2)a2+b2t2+(m-a)t-2b2m ta2+b2t2+(m-a)2=0,化简得m=(a2-b2)aa2+b2,因此直线l过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理可证,若以A B为直径的圆过左顶点(-a,0),则l过定点-a(a2-b2)a2+b2,0.类比椭圆,对于双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)上异于右顶点的两动点A,B,若以A B为直径的圆过右顶点(a,0),则lA B过定点a(a2+b2)a2-b2,0.同 理,若 该 圆 过 左 顶 点(-a,0),则lA B过 定 点-a(a2+b2)a2-b2,0.例1 9已知椭圆x24+y23=1,直线l:y=k x+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以A B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)1 5 变式1 已知抛物线y2=2p x(p0)上异于顶点的两动点A,B满足以A B为直径的圆过顶点.求证:A B所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-9所示,O为坐标原点,直线l在x轴上的截距为a(a 0)且交抛物线y2=2p x(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.当a=2p时,求证:MON=2.图2-91 5第二篇 常考二级结论及其应用 1 6 结论二十A B是过抛物线y2=2p x(p0)焦点F的弦(焦点弦),过点A,B分别作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图2-1 0(a)所示,以A B为直径的圆与准线l相切于点E;(2)如图2-1 0(b)所示,以A1B1为直径的圆与弦A B相切于点F,且E F2=A1AB B1;(3)如图2-1 0(c)所示,以A F为直径的圆与y轴相切.(a)(b)(c)图2-1 0证明:(1)如图2-1 0(a)所示,由抛物线的定义知,A A1=A F,B B1=B F.设点P为弦A B的中点,则E P=A A1+B B12=A B2,故点E在以A B为直径的圆上.又E PA A1,所以E PA1B1,故准线与圆P相切,切点为点E.(2)如图2-1 0(b)所示,联结A1F,B1F,由抛物线的定义知,A A1=A F,所以A A1F=A F A1,同理B B1F=B F B1.又因为A A1B B1,所以B1B F+A1A F=1 8 0,所以2A F A1+2B F B1=1 8 0,即B1F A1=9 0,A1FB1F.所以点F在以A1B1为直径的圆上,所以E A1=E F=E B1,所以B F E=E F B1+B F B1=E B1F+B B1F=9 0,即E FB F,所以E FA B,故以A1B1为直径的圆与弦A B相切于点F.结合结论二十(1)可 知,A EB E,在R tA E B中,E FA B,所以R tB E FR tE A F,即B FE F=E FA F,所以E F2=A FB F=A A1B B1.(3)如图2-1 0(c)所示,设准线与x轴的交点为点F1,A F的中点为点P,过点P作P Qy轴,垂足为点Q,延长P Q交准线l于点P1,则由P为A F的中点知,P P1=A A1+F F12=A A12+p2,即P Q=A A12=A F2,所以点Q在以A F为直径的圆上.又P Qy轴,所以以A F为直径的圆与y轴相切,切点为点Q.例2 0已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=().A.12B.22C.2D.2 临门一脚(含密押三套卷)(文科版)1 7 变式1 过抛物线y2=2p x(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自点M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为点M1,N1.当a=p2时,求证:AM1AN1.结论二十一图2-1 1焦点三角形的面积.(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则P F1F2的面积SP F1F2=b2t a n2,其中=F1P F2;(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则P F1F2的面积SP F1F2=b2t a n2,其中=F1P F2.证明:(1)若P F1F2为一般三角形,如图2-1 1所示,则SP F1F2=12|P F1|P F2|s i n(用表示F1P F2).由余弦定理得|P F1|2+|P F2|2-2|P F1|P F2|c o s=|F1F2|2.又|P F1|+|P F2|=2a,|F1F2|=2c,所以|P F1|+|P F2|()2-2|P F1|P F2|(1+c o s)=4c2,从而2|P F1|P F2|(1+c o s)=4a2-4c2=4b2,|P F1|P F2|=2b21+c o s,则SP F1F2=12|P F1|P F2|s i n=b2s i n1+c o s=2b2s i n2c o s22 c o s22=b2t a n2.(2)双曲线中的相关结论请读者们自己证明.1 7第二篇 常考二级结论及其应用 1 8 例2 1如图2-1 2所示,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形A F1B F2为矩形,则C2的离心率是().A.2B.3C.32D.62图2-1 2变式1 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且P F1P F2.若P F1F2的面积为9,则b=.变式2 F1和F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,当F1F2P的面积为1时,P F1P F2=.变式3 已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为().A.43B.53C.2 33D.3 临门一脚(含密押三套卷)(文科版)号成立.所以a6+8b6+12 7c6 2a2b2c2.评注(1)作差法是证明不等式的常用方法,其基本步骤为:作差因式分解判断符号.其中关键是因式分解.(2)利用基本不等式和柯西不等式时,需要充分观察不等式形式,并构造出满足不等式条件的形式.例1 3.8解析(1)证法一:因为a0,b0,所以a+b()a2b+b2a=a2+b2+a3b+b3aa2+b2+2a b=a+b()2.故a2b+b2aa+b,当且仅当a=b时等号成立.证法二:因为a2b+b2a-a+b()=a3+b3-a2b-a b2a b=a3-a2b-a b2-b3()a b=a2a-b()-b2a-b()a b=a-b()2a+b()a b,又因为a0,b0,所以a-b()2a+b()a b0,当且仅当a=b时等号成立.故a2b+b2aa+b.(2)因为0 x0.由(1)的结论,函 数y=1-x()2x+x21-x1-x()+x=1,当且仅当1-x=x,即x=12时等号成立.所以函数y=1-x()2x+x21-x0 x 1-0|,即x2-1 1,所以x2-1 1,解得x 2或x|a2b+a b2-2a ba b|.因为ab,且a0,b0,所以a2b+a b2 2a2b a b2=2a b a b,a3+b3 2a3b3=2a b a b.所以只需证a3+b3-2a b a ba2b+a b2-2a b a b,即证明a3+b3-(a2b+a b2)0.化简得(a-b)2(a+b)0显然成立,所以a3+b3比a2b+a b2远离2a b a b.第二篇 常考二级结论及其应用例1解析 由题意知,集合A为椭圆x24+y21 6=1上所有点的集合,集合B是指数函数y=3x图像上所有点的集合.如图2-1 3所示,知集合AB中有2个元素,故AB的子集个数是22=4.故选A.图2-1 3例1变式1 解析 由题意知A=1,2,B=1,2,3,4.因为ACB,所以集合C是集合1,2 与集合3,4 的任意一个真子集的并集,即求集合3,4 真子集的个数,故集合C的个数为22-1=3.故选C.例2解析 如图2-1 4所示,若NIM=,则NM,所以MN=M.故选A.图2-1 41 3 8 临门一脚(含密押三套卷)(文科版)例2变式1 解析 因为PM=P,所以MP.又P=x|-1x1,xR=-1,1,所以a-1,1.故选C.例2变式2 解析 由题意知A=1,5,若AB=B,则BA.若B=,则a=0;若B,则1B或5B,即a-1=0或5a-1=0,解得a=1或a=15.综上可知,集合C=0,1,15.故选C.评注 求解本题要考虑A.例3解析 因为AB=b,所以UA()(UB)=U(AB)=a,c,d.例3变式1 解析 因为MN=1,2,3,4,所以5,6=U(MN)=UM()UN().故选D.例3变式2 解析 因为UA()(UB)=U(AB),即集合U(AB)中有n个元素.又全集U中有m个元素,所以AB中有m-n个元素.故选D.例4解析 f(x)=(x+1)2+s i nxx2+1=1+2x+s i nxx2+1(xR),设g(x)=2x+s i nxx2+1(xR).因为g(-x)=2(-x)+s i n(-x)(-x)2+1=-2x+s i nxx2+1=-g(x),即g(x)为R上 的 奇 函 数,所 以g(x)m a x+g(x)m i n=0.所以M+m=g(x)+1m a x+g(x)+1m i n=2+g(x)m a x+g(x)m i n=2.例4变式1 解析 因为当x0时,f(x)=2x+2x+b,所以f(1)=2+2+b=4+b.又f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=20+b=0,即b=-1,所以f(-1)=-f(1)=-(4+b)=-3.故选D.例4变式2解析 令g(x)=l n1+9x2-3x(),xR,则g(-x)=l n1+9x2+3x().因为g(x)+g(-x)=l n1+9x2-3x()+l n1+9x2+3x()=l n(1+9x2-9x2)=l n 1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又l g12=-l g 2,所以g(l g 2)+gl g12=0,f(l g 2)+fl g12=g(l g 2)+1+gl g12+1=2.故选D.例5解析 因为f(x+2)=1f(x),所以f(x+4)=1f(x+2)=f(x),故T=4.又f(3)=5,所以f(20 1 7)=f(5+5 0 3 4)=f(5)=1f(3)=15.例5变式1 解析 因为f x+32=-f(x),所以f(x+3)=-f x+32=f(x),即T=3.则f(1)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(1 0)+f(1 1)=f(1)+f(2)+f(3)+f(1 0)+f(1 1)+f(1 2)-f(1 2)=4f(1)+f(2)+f(3)-f(1 2)=0-f(0+34)=-f(0)=-2.故选A.例6解析 证明:因为当x10,x20,x1+x21时,f(x1+x2)f(x1)+f(x2)恒成立,即f(x)在0,1 上为非减函数.又f(1)=1,所以当x0,1 时,f(x)0,1.假设f(x0)=t,则f f(x0)=f(t)=x0.当x0t时,因为函数f(x)在0,1 上非减,所以f(x0)f(t),即tx0,与x0t矛盾,故当x0t时不成立.1 3 9参考答案 同理,当x0t时,有f(x0)f(t),即tx0,与x00恒成立,所以g(x)在定义域上为增函数.又y=t在0,+)上为增函数,由复合函数的单调性可知,f(x)在0,1 上为单调增函数.若ff(b)=b,则f(b)=b,所 以 方 程ex+x-a=x在0,1 上有解,即方程a=ex+x-x2在x0,1 上有解.令h(x)=ex+x-x2x0,1(),h(x)=ex+1-2x,易知h(x)0在0,1 上恒成立,即h(x)在0,1 上为增函数,所以h(x)h(0),h(1)=1,e,即1ae.故选A.例6变式2 解析 令t=g(x)=x2-a x+1,则y=f(t)=l o gat.当0 a 1时,抛物线t=g(x)在a2,+上为增函数,y=f(t)在(0,+)上为增函数,若复合函数y=l o ga(x2-a x+1)在(1,2)上为增函数,则需g(x)在(1,2)上单调递增,且g(1)0,即a212-a0a1,解得10,xR)有关.结合图像(见图2-1 6)知,抛物线y=f(x)的对称轴为x=ba,在-,ba上单调递减,在ba,+上单调递增.若x0=ba,则xR,都有f(x)f(x0),即12a x2-b x12a x20-b x0.反之,若xR,12a x2-b x12a x20-b x0恒成立,则f(x0)为f(x)的最小值,即x0=ba.故选C.图2-1 6例7变式1 解析 因为f(x)的值域为0,+),所以f(x)的最小值为0,即f-a2=0,即=a2-4b=0.所以f(x)=x2+a x+a24=x+a22.如图2-1 7所示,y=f(x)可看作是由函数y=x2的图像平移得到.令m=-3,则m+6=3,c=32=9.1 4 0 临门一脚(含密押三套卷)(文科版)图2-1 7评注 利用二次函数的图像平移求解本题要抓住m+6-m=6.例7变式2解析 依 题 意f(x)=(x-x1)(x-x2),m i nf(m),f(m+1)f(m)f(m+1).令x1-m=x,x2-m=y,则有0 xy1,f(m)=(m-x1)(m-x2)=x y,f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2)=(1-x)(1-y),所以f(m)f(m+1)=x y(1-x)(1-y)x+1-x22y+1-y22=11 6(当且仅当x=y=12时取“=”).又0 xy1,则f(m)f(m+1)11 6.所以m i nf(m),f(m+1)0l n(x+1)-x 0,即x|x-1且x 0,所以排除选项D.令g(x)=l n(x+1)-x,则由经典不等式l n(x+1)x知,g(x)0恒成立,故f(x)=1g(x)-1时,f(x)xx+11-e-xxx+1(x-1)1-xx+1e-x(x-1)1x+11ex(x-1)x+1ex(x-1).由经典不等式exx+1(xR)恒成立可知,当x-1时,exx+1,即x-1时,f(x)xx+1.例9解析 依题意,易知函数y=f(x)的最小正周期为T=21 1 1 2-7 1 2=2 3,所 以f(0)=f2 3.因 为 函 数y=f(x)的 图 像 关 于 点7 1 2,0中 心 对 称,又2 3+22=7 1 2,所 以f2 3=-f2=23,所以f(0)=23.故选B.例9变式1 分析 已知点A,D的横坐标,而点D是由点B平移得到,故需求出点B的横坐标,考虑点A,B的对称性.解析 由题意知f(x)与g(x)的最小正周期均为,其中f(x)图像上的点A,B平移后对应g(x)图像上的C,D两点,又点A,B关于直线x=4对称,所以xB+xA2=4,解得xB=3 8.又xD=1 7 2 4,故=1 7 2 4-3 8=1 7 -9 2 4=3.例1 0解析 如图2-1 8所示,在A B C中,因为B D=2D C,所以B DD C,且|B D|=2|D C|,即点D为线段B C的三等分点.故A D=A B+B D=A B+23B C=A B+23A C-A B()=13A B+23A C=13c+23b.故选A.1 4 1参考答案 图2-1 8评注 在平面O A B内,向量O A与O B不共线,若P为平面内任意一点,且O P=O A+O B,R.如图2-1 9所示,点P0为线段A B的中点,则有以下相关结论:(1)若点P在线段A P0上(不含端点),则0121,且+=1;(2)若点P在线段B P0上(不含端点),则0121,0,且+=1;(4)若点P在A B的延长线上,则 1,且+=1;(5)若点P在O A B内部(不含边界),则0,1,且0+12.总之,若点P在直线A B同侧,且O P=O A+O B,则+1;若点P在直线A B上,且O P=O A+O B,则+=1,且点P与A,B两点间的距离大小与O A,O B的系数(即,)的大小相反.图2-1 9例1 0变式1解析 由x2O A+xO B+B C=0得,x2O A+xO B+O C-O B=0,即O C=-x2O A+(1-x)O B.又A,B,C三点共线,则-x2+1-x=1,即x2+x=0,得x=-1或0.又当x=0时,由x2O A+xO B+B C=0,得B C=0不合题意,故舍去.当x=-1时,x2O A+xO B+B C=0变形为O A-O B+B C=0,即B A+B C=0,符合题意.故选C.例1 0变式2 解析 如图2-2 0所示,设O A=a,O B=b.因为单位向量a,b的夹角为6 0,所以O A B为等边三角形.又c=t a+(1-t)b,设O C=c,则A,B,C三点共线.又bc=0,所以过点O作O B的垂线与B A的延长线交点为C.易知|A C|=|A B|,即A为B C的中点,所以c=a+A C=a+B A=a+O A-O B()=2a-b.故t=2.c图2-2 0例1 1解析 如图2-2 1所示,因为点M为B C的中点,所以|A B|A C=|AM|2-|MC|2=9-2 5=-1 6.图2-2 1例1 1变式1 解析 如图2-2 2所示,取B C中点为Q,则P0BP0C=|P0Q|2-|Q C|2.同理,在边A B上任取一点P,均有P BP C=|P Q|2-|Q C|2.因为P BP CP0BP0C,1 4 2 临门一脚(含密押三套卷)(文科版)所以|P Q|2-|Q C|2|P0Q|2-|Q C|2,即|P Q|2|P0Q|2恒成立,亦即|P Q|P0Q|,所以P0QA B.因为|P0B|=14|A B|,所以当P为A B中点时,P CA B,即A B C为等腰三角形,且C A=C B.故选D.图2-2 2例1 1变式2 解析 如图2-2 3所示,在A B C中,设C A+C B=C E,则四边形A C B E为平行四边形.又A C B=9 0,所以四边形A C B E为矩形,则|P C|2+|P E|2=|P A|2+|P B|2.又点P为C D中点,所 以|P A|2+|P B|2|P C|2=|P C|2+|P E|2|P C|2=|P C|2+3|P C|()2|P C|2=1 0.故选D.图2-2 3例1 1变式3解析 P AP B=(PM+MA)(PM+MB)=(P M+MA)(P M-MA)=|P M|2-|MA|2=|P M|2-1,同理P CP D=|P N|2-1,故P AP B+P CP D=|P M|2+|P N|2-2=(|P M|+|P N|)2-2|P M|P N|-2=4a2-2-2|P M|PN|=1 4-2|PM|PN|.又|PM|PN|P M|+|P N|22=a2=4,得P AP B+P CP D 1 4-2 4=6,当且仅当|P M|=|P N|时取等号.所以P AP B+P CP D的最小值为6.例1 2解析 因为Sn=n(a1+an)2,所以Snn=a1+an2=a1+d2(n-1),那么S33-S22=d2=1,得d=2.故选C.例1 2变式1 解析 因为an 是等差数列,所以Snn也为等差数列.令bn=Snn,公差为d,故b1 0=S1 01 0=1 0,b1 0 0=S1 0 01 0 0=11 0,则d=b1 0 0-b1 01 0 0-1 0=11 0-1 09 0=-1 11 0 0,所以b1 1 0=b1 0+1 0 0d=1 0+1 0 0-1 11 0 0=-1,即S1 1 01 1 0=-1,所以S1 1 0=-1 1 0.评注 等差数列an 的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m(mn,m,nN*),则Sm+n=-(m+n).例1 3解析 因为an 为等差数列,又a4+a8=1 6,所以a6=a4+a82=8,于是S1 1=1 1a6=1 18=8 8.故选B.例1 3变式1 解析 因为an 是等差数列,所以a1+a4+a7=3a4,a9+a1 1=2a1 0,于是2(a1+a4+a7)+3(a9+a1 1)=6(a4+a1 0)=1 2a7=2 4,故a7=2,所以S1 3=1 3a7=2 6.故选B.例1 3变式2解析 因为an 和bn 都是等差数列,所以a1+a2n-1=2an,故A2n-1=(a1+a2n-1)(2n-1)2=(2n-1)an(nN*).同理B2n-1=(2n-1)bn,所以anbn=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+4 52n+2=7n+1 9n+1(nN*),于是a5b5=75+1 95+1=9.故选C.1 4 3参考答案 例1 4解析 设等比数列an 的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3S6,与已知矛盾,故q1.因为9S3=S6,所以9(1-q3)1-q=1-q61-q,即9=1+q3,解得q=2.所以数列1an是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1-1251-12=3 11 6.故选C.评注 由于这里项数不多,可用前n项和的定义列方程,不必分情况.9a1+9a2+9a3=a1+a2+a6,所以q=2,下同.例1 4变式1 解析 因为an 为等比数列,且S5=3 11 6,a3=14.若q=1,则S5=5a3=543 11 6,与已知矛盾,故q1.所以S5=a1(1-q5)1-q=3 11 6,1-q51-q=3 11 6a1.1a1+1a2+1a3+1a4+1a5则可看作是数列1a5,1a4,1a3,1a2,1a1的前五项和,且首项为1a5,公比为q.故所求和为