椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型含答案.pdf

1椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷理11文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型220232023 新高考新高考1 1卷卷T T16161已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2点A在C上，点B在y轴上，F1A F1B,F2A=-23F2B，则C的离心率为20222022 新高考新高考2 2卷卷1616题题2已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2 3，则l的方程为20222022年新高考年新高考I I卷第卷第1616题题3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是4(2023全国高考真题)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若F1AB面积是F2AB面积的2倍，则m=()A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷年全国甲卷(理理)T T10-第三定义第三定义5椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A.32B.22C.12D.1320232023全国乙卷全国乙卷 理理1111 文文12126设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021全国高考真题)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则 MF1 MF2的最大值为()A.13B.12C.9D.63【题型【题型1 1】点差法】点差法(弦中点模型弦中点模型)中点弦模型中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理圆锥曲线中的垂径定理)kABkOM=e2-1kABkOM=-1 椭圆垂径定理椭圆垂径定理(中点弦模型中点弦模型)：已知A,B是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有kABkOM=-b2a2=e2-1证明证明(点差法点差法)：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Mx1+x22,y1+y22，kOM=y1+y2x1+x2，kAB=y1-y2x1-x2，kABkOM=y12-y22x12-x22A，B在椭圆上，代入A，B坐标得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得：x12-x22a2+y12-y22b2=0，整理得y12-y22x12-x22=-b2a2kABkOM=-b2a2=e2-1【思考】(1 1)椭圆焦点在椭圆焦点在y轴上时，结论是否仍然成立？；轴上时，结论是否仍然成立？；(2 2)在双曲线中是否有类似的性在双曲线中是否有类似的性质？质？(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Mx1+x22,y1+y22，仍有仍有kOM=y1+y2x1+x2，kAB=y1-y2x1-x2，kABkOM=y12-y22x12-x22A，B在椭圆x2b2+y2a2=1上，代入A，B坐标得4:x12b2+y12a2=1：x22b2+y22a2=1两式相减得：x12-x22b2+y12-y22a2=0，整理得y12-y22x12-x22=-a2b2kABkOM=-a2b2(2)A，B在双曲线x2a2-y2b2=1上，代入A，B坐标得x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1两式相减得：x12-x22a2=y12-y22b2，整理得y12-y22x12-x22=b2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型注：抛物线中同样存在类似性质：kAByM=p20242024 江西鹰潭江西鹰潭 一模一模1已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5 FM=OF(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为()A.33B.63C.2 23D.2 7720242024 湖南邵阳湖南邵阳 二模二模51已知直线l:x-2y-2=0与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点.若弦AB被直线m:x+2y=0平分，则椭圆C的离心率为()A.12B.24C.32D.5420242024 宁波十校宁波十校 3 3月适应性考试月适应性考试1已知双曲线E：x2a2-y2b2=1 a0,b0，斜率为-19的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为-1,1，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为-19，则E的离心率为.20242024 福建龙岩福建龙岩 一模一模1斜率为-1的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)交于A,B两点，点T是椭圆上的一点，且满足TATB，点P,Q分别是OAT,OBT的重心，点R是TAB的外心.记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3，若k1k2k3=-18，则椭圆C的离心率为.20242024 浙江温州浙江温州 一模一模1斜率为1的直线与双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于两点A,B，点C是曲线E上的一点，满足ACBC，OAC和OBC的重心分别为P,Q，ABC的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为k1，k2，k3，若k1k2k3=-8，则双曲线E的离心率为.20242024 吉林白山吉林白山 一模一模1不与坐标轴垂直的直线l过点N x0,0，x00，椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0上存在两点A,B关于l对称，线段AB的中点M的坐标为 x1,y1若x1=2x0，则C的离心率为()A.33B.12C.22D.3220242024 浙江省强基联盟联考浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E:y2=4x上的两个不同的点A x1,y1,B x2,y2关于直线x=ky+4对称，直线AB与x轴交于点C x0,0，下列说法正确的是()A.E的焦点坐标为 1,0B.x1+x2是定值6C.x1x2是定值D.x0-2,2【题型【题型2 2】点差法】点差法(第三定义第三定义)第三定义第三定义kPAkPB=-1kPAkPB=e2-1 点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义第三定义：平面内与两个定点A1(-a,0)，A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点当常数大于-1 小于 0 时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=b2a2【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=b2a2【证明】A,B是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有kPAkPB=-b2a2=e2-1证明证明(点差法点差法)：设P x1,y1，A(x2,y2)，B(-x2,-y2)，7kPA=y1-y2x1-x2，kPB=y1+y2x1+x2，kPAkPB=y12-y22x12-x22P，A在椭圆上，代入坐标得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得：x12-x22a2+y12-y22b2=0，整理得y12-y22x12-x22=-b2a2kPAkPB=y12-y22x12-x22=-b2a2=e2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的中点弦和第三定义本质上是一样的kPAkPB=kOMkPB=-b2a2=e2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？在双曲线中是否有类似的性质？设P x1,y1，A(x2,y2)，B(-x2,-y2)，kPA=y1-y2x1-x2，kPB=y1+y2x1+x2，kPAkPB=y12-y22x12-x22x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1两式相减得：两式相减得：x12-x22a2-y12-y22b2=0，整理得整理得y12-y22x12-x22=b2a2 kPAkPB=y12-y22x12-x22=b2a2=e2-1法二：法二：构造中位线构造中位线设P x1,y1，B(x2,y2)8P，B在双曲线x2a2-y2b2=1上，代入双曲线方程得x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1两式相减得：x12-x22a2=y12-y22b2，整理得y12-y22x12-x22=b2a2kPAkPB=kPBkOM=b2a2=e2-1同理可得，当焦点在y轴上时，椭圆有：kPAkPB=-a2b2；双曲线有：kPAkPB=a2b21已知M为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双曲线中心O的对称点为B，设直线MA、MB的倾斜角分别为、，且tantan=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.522已知双曲线C1:x220-y210=1的左右顶点分别为A,B，抛物线C2:y2=4x与双曲线C1交于C,D两点，记直线AC，BD的斜率分别为k1,k2，则k1k2为.3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1-2,0，F22,0，A为椭圆C的左顶点，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为13，则椭圆C的标准方程为()A.x23+y2=1B.x26+y22=1C.x29+y25=1D.x28+y24=120242024 浙江绍兴浙江绍兴 二模二模1已知点A，B，C都在双曲线：x2a2-y2b2=1 a0,b0上，且点A，B关于原点对称，CAB=90.9过A作垂直于x轴的直线分别交，BC于点M，N.若AN=3AM，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.2 320242024届届 河南天一大联考河南天一大联考(六六)T T14141已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点为F，左右顶点分别为A1、A2，点M在C上运动(与A1、A2枃不重合)，直线MA2交直线x=54a于点N，若FN MA1=0恒成立，则C的离心率为.20242024 江苏镇江江苏镇江 开学考试开学考试1已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)于P,M两点，Q为OP中点，过Q作x轴垂线，垂足为B，直线MB交椭圆于另一点N，直线PM,PN的斜率分别为k1,k2，若k1k2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.6320242024届届 湖北省腾云联盟高三联考湖北省腾云联盟高三联考1已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，P是双曲线x2a2-y2b2=1在第一象限上的一点，直线PA，PB分别交椭圆于另外的点M，N若直线MN过椭圆的右焦点F，且tanAMN=3，则椭圆的离心率为江苏省盐城中学江苏省盐城中学20232023届高三三模数学试题届高三三模数学试题2已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0与双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N.若MN过椭圆的焦点F，且tanAMB=-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.2 33【题型【题型3 3】双曲线焦点三角形内切圆】双曲线焦点三角形内切圆10一、单个焦点三角形的内切圆：一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=a上证明：不妨设点 P 在双曲线 C 右支上的任意一点，设PF1F2的内切圆的圆心 I 在三边上的投影分 别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线x=a上根据对称性可知，点I必在直线x=a上二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点证明：设内切圆分别与F1AB的三边 F1A，F1B，AB 相切于M，N，P，由切线长定理可知，|F1M|=|F1N|,|AM|=|AP|,|BP|=|BN|，设PF2=x，则有|F1M|=|AF2|+2a-|AM|=|AP|+|F2P|+2a-|AM|=x+2a|F1N|=|BF2|+2a-|BN|=|BP|-|F2P|+2a-|BN|=-x+2a故x+2a=-x+2a，即|PF2|=x=0，所以P，F2重合20242024 重庆南开中学重庆南开中学 月考七月考七1如图，双曲线E:x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，若存在过F2的直线l交双曲线E右支于A，B11两点，且AF1F2，BF1F2的内切圆半径r1，r2满足3r1=4r2，则双曲线E的离心率取值范围为()A.1,3B.1,7C.2,4 3D.1,4 3湖南省长沙市第一中学湖南省长沙市第一中学20242024届高三上学期月考届高三上学期月考(二二)1双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足F1MF2=90，F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为20242024届届 云南昆明一中校考云南昆明一中校考1已知双曲线E:x23-y2=1的左右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若AB AF2=0，则ABF2的内切圆周长为.2(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记AF1F2的内切圆O1的面积为S1，BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1S2=2D.S1+S2的取值范围是 2,33(多选)过双曲线x23-y2=1右焦点F2的直线交双曲线右支于A,B两点，F1AB的内切圆分别切直线F1A,F1B,AB于点P,Q,M，内切圆的圆心为I，半径为22，则()A.切点M与右焦点F2重合B.F1Q=F1P=6C.SF1BI+SF1AI-SABI=6D.cosAF1B=23251220232023 广东广州广东广州 一模一模1双曲线C:x2-y2=4的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则O1O2O3的面积是()A.6 2-8B.6 2-4C.8-4 2D.6-4 2【题型【题型4 4】焦点弦长与焦半径公式】焦点弦长与焦半径公式椭圆焦半径与焦点弦夹角公式椭圆焦半径与焦点弦夹角公式焦半径长公式焦半径长公式：PF1=b2a-ccos(长)，QF1=b2a+ccos(短)，PQ=2ab2a2-c2cos2【特别的】【特别的】焦半径倒数和为定值：1PF1+1QF1=2ab2证明证明：在F1PF2中，由余弦定理得F2P2=|F1P|2+F1F22-2 F1P F1F2cos，将F2P=2a-F1P代入得：F1P2-4a F1P+4a2=|F1P|2+4c2-4c F1Pcos，移项合并得：F1P4ccos-4a=4c2-4a2 F1P=a2-c2a-ccos=b2a-ccos，同理，在F1QF2中，由余弦定理得F2Q2=|F1Q|2+F1F22-2 F1Q F1F2cos-，将F2Q=2a-F1P代入化简得：F1Q=a2-c2a+ccos=b2a+ccos则PF1+QF1=2ab2a2-c2cos2双曲线焦半径与焦点弦夹角公式双曲线焦半径与焦点弦夹角公式已知双曲线x2a2-y2b2=1 ab0，求出2种情况下的焦半径AF1,BF1以及焦点弦AB13情况情况1 1：ABAB两点同一支上，直线两点同一支上，直线ABAB与与x x轴夹角为轴夹角为【答案】情况1：在F1AF2中，由余弦定理得AF22=AF12+F1F22-2AF1F1F2cos，将AF2=AF1-2a代入得：AF12-4aAF1+4a2=AF12+4c2-4cAF1cos，移项合并得：AF14ccos-4a=4c2-4a2AF1=c2-a2ccos-a=b2ccos-a，同理可得：BF1=c2-a2ccos+a=b2ccos+a，则AB=AF1-BF1=2ab2a2-c2cos2.情况情况2 2：ABAB两点不在同一支上，直线两点不在同一支上，直线ABAB与与x x轴夹角为轴夹角为【答案】情况2：在F1AF2中，由余弦定理得AF22=AF12+F1F22-2AF1F1F2cos-，将AF2=AF1+2a代入得：AF12+4aAF1+4a2=AF12+4c2+4cAF1cos，移项合并得：AF14a-4ccos=4c2-4a2AF1=c2-a2a-ccos=b2a-ccos，同理可得：BF1=c2-a2a+ccos=b2a+ccos，则AB=AF1+BF1=2ab2a2-c2cos2.20242024 云南楚雄云南楚雄 一模一模1过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左，右两支分別交于点M，N若 MQ=2 QN，则双曲线的离心率为20242024 重庆康德第一次联考重庆康德第一次联考1已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2=a2(a0)的左、右焦点，过F2作一直线交C于M，N两点，若MF2F1=120，且MNF1的周长为1则C的焦距为20232023届届 青岛三模青岛三模T T8 8-2 2个二级结论个二级结论142已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左，右焦点分别为F1,F2，过C的右焦点F2且倾斜角为3的直线交C于A，B两点，AB中点为W，F2W=a2+b2，则离心率e=；F1AB的周长等于12，则a=3过双曲线x2-y2=1的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B在双曲线的左支上，A，C在x轴上方，则 AF1 CF2的最小值为当AB的倾斜角为3时，四边形AF1F2C的面积为20232023浙江绍兴二模浙江绍兴二模T T16164已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2.若F1关于直线y=2x的对称点P恰好在C上，且直线PF1与C的另一个交点为Q，则cosF1QF2=.20232023届届 湖南雅礼中学高三月考湖南雅礼中学高三月考5过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左右两支分别交于点M,N，若 MQ=3 QN，则双曲线的离心率是.20232023 浙江嘉兴二模浙江嘉兴二模-焦点半径倒数和为定值焦点半径倒数和为定值6已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为e，点P在椭圆上，连接PF1并延长交C于点Q，连接QF2，若存在点P使 PQ=QF2成立，则e2的取值范围为.【题型【题型5 5】焦点弦被焦点分为定比】焦点弦被焦点分为定比焦点弦被焦点分成定比：焦点弦被焦点分成定比：若PF1=QF11，则ecos=-1+1(注：抛物线默认e=1)简证：PF1=QF1b2a-ccos=b2a+ccos1a-ccos=a+ccos11-ecos=1+ecos15交叉相乘得：1+ecos=-ecosecos+1=-1ecos=-1+1即e=1+k2-1+11已知椭圆C:x24+y23=1过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF=2FB，则直线l的斜率k的值为2(2024广东深圳宝安区统考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F-c,0，直线l:x-3y+c=0与C交于A，B两点，若 AB=3 AF，则C的离心率是.20242024届届 长郡中学月考长郡中学月考(三三)T T15153已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为60的直线l与C交于A，B两点若AF1F2的面积是BF1F2面积的2倍，则C的离心率为20242024届届 浙江省浙江省Z Z2020名校联盟高三上学期第一次联考名校联盟高三上学期第一次联考T T16164已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过点F作倾斜角为4的直线交椭圆C于A、B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若PFAB=14，则椭圆C的离心率e=【题型【题型6 6】焦点三角形焦点三角形+几何性质求离心率几何性质求离心率求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.1已知点P为双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0右支上一点，F1,F2分别为C的左，右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若 PF1=4 HF1，则该双曲线的离心率为()A.153B.213C.53D.732(2024四川泸州二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左，右两个焦点分别为F1，F2，A为16其左顶点，以线段F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且|MA|=22|F1F2|，则C的离心率()A.2B.3C.5D.33(2024福建泉州模拟预测)椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为-3 7 的直线与椭圆交于A，B两点(A在B左侧)，若 F1A+F1F2 AF2=0，则C的离心率为()A.25B.35C.27D.374(2024江西九江二模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 ab0的右焦点为F5,0，P为C上一点，以OP为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若 PMPN=65，则C的离心率为()A.102B.153C.32D.55(23-24高三下河南阶段练习)如图，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A,B，过原点的直线与椭圆E交于M,N两点，椭圆上异于M,N的点P满足PM PN=0，PM+PN=F1F2=2c，NM AB=2ac，则椭圆E的离心率为()A.3-1B.4-2 3C.22D.336(2024湖南二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,O为坐标原点，以F1F2为直径的圆与双曲线C交于点P，且OP 在OF1 上的投影向量为35OF1，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.4D.57(2024山东青岛一模)已知O为坐标原点，点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OAOB，则C的离心率为8(2024山东临沂一模)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右焦点，点P3t,t(t0)在C上.tanF1F2P=2+3，则C的离心率为.9(2024辽宁鞍山二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，17A2，PFx轴于点F，且PF=2QF 当A1QA2最大时，点P恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为10已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F1，过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切，切点为P，l交双曲线C的右支于点Q，且QP=2PF1，则C的离心率为20242024届届 湖南省长沙市第一中学高三下学期月考湖南省长沙市第一中学高三下学期月考(七七)1已知双曲线C:kx2-y2=1的左焦点为F，P 3m,-4mm0为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为()A.52B.3C.2D.5【题型【题型7 7】利用对称性补成平行四边形利用对称性补成平行四边形椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题1已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=3|QF|，且PFQ=120，则椭圆E的离心率为()A.74B.12C.34D.3220242024 辽宁辽宁 一模一模1已知F为椭圆C:x2a2+y2=1(a0)的右焦点，过原点的直线与C相交于A,B两点，且AFx轴，若3 BF=5 AF，则C的长轴长为()A.2 33B.4 33C.2 3D.8 3320242024 广东湛江广东湛江 一模一模-2 2条焦点弦平行条焦点弦平行1已知F1-c,0，F2c,0分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，过点P 3c,0的直线l18交椭圆C于A，B两点，若PB=2PA，F2B=3 F2A，则椭圆C的离心率为20232023届宁波二模届宁波二模T T7 7-2 2条焦点弦平行条焦点弦平行2设椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点若直线PQ，PF的斜率之积为-12，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.13【题型【题型8 8】渐近线的垂线模型】渐近线的垂线模型一、焦点到渐近线的距离为一、焦点到渐近线的距离为b b1 设双曲线方程(焦点在x轴)、设(右)焦点，求出双曲线的渐近线方程，求焦点到(过一三象限的)渐近线的距离2 将渐近线的方程化为一般式，利用点到直线距离公式求距离，结合双曲线中a、b、c的关系求出结果3 根据双曲线的对称性(x、y轴对称，原点中心对称)可知，无论焦点在x轴还是y轴，无论是左焦点还是右焦点，无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是b b(半虚轴长)【证明】【证明】设双曲线的方程为：x2a2-y2b2=1则双曲线的渐近线方程为：y=bx设右焦点为(c，0)，渐近线的一般式为：aybx=0根据点到直线的距离公式得：d=|bc|a2+b2=bcc=b故焦点到渐近线的距离都是b(半虚轴长)二、已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，过点F且与渐近线y=bax垂直的直线分别交两条渐近线于P,Q两点.情形1.如图1.若FP=FQ(0，1),则e2=21(*)19图图1 1图图2 2如图2.若QF=FP(00,b0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A，与双曲线的另一条渐近线交于点B，若FB=2FA，则此双曲线的离心率为2(2024河南统考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作一条渐近线的垂线交双曲线C的左支于点P，已知PF1PF2=25，则双曲线C的渐近线方程为3(2024江苏一模)设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E若线段EF的中点在C上，则C的离心率为4已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点，过点F2作E的渐近线的垂线，垂足为P点M在E的左支上，当PMx轴时，|PM|=c，则E的渐近线方程为5(2024全国模拟预测)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B若AF=14FB，则双曲线C的离心率为()A.2 105B.2 53C.2 63D.1536已知双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0与直线y=kx相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1k2=14，且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线E的标准方程为7(多选)已知点P为双曲线C:x24-y2=1上的任意一点，过点P作渐近线的垂线，垂足分别为E,F，则()A.PE+PF=4 55B.PE PF=45C.PE PF=-1225D.SPEF的最大值为825【题型【题型9 9】双焦点三角形倒边模型】双焦点三角形倒边模型2020242024 重庆巴蜀中学重庆巴蜀中学 适应性月考适应性月考(七七)1已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左右焦点，过左焦点F1的直线交双曲线左支于P,Q两点，且 PQ=43PF2，PQPF2，则该双曲线的离心率e=.2已知双曲线x2a2-y2b2=1 a,b0的左右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为6的直线l与双曲线的左右支分别交于点A，B，且 AF2=BF2，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.2 2D.2 3云南三校云南三校20242024届高三高考备考实用性联考卷届高三高考备考实用性联考卷(六六)1已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且2MF1=3F1N，MF2 MN=0，则椭圆C的离心率为()A.53B.175C.23D.13520242024 陕西陕西 模拟预测模拟预测1如图所示，点F是椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，A,C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为B，若AFFC,AF=3 BF，则椭圆M的离心率为()A.12B.32C.3-1D.2220242024 云南昆明云南昆明 一模一模1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，圆x2+y2=a2-b2与E的一个交点为P，直线PF2与E的另一个交点为Q，tanF1QF2=34，则E的离心率为()A.35B.22C.34D.3221【题型【题型1010】利用邻补角余弦值为相反数构造方程】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2 2次余弦次余弦)20242024 广东深圳广东深圳 一模一模1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点，若 AB=AF1，且双曲线E的离心率为2，则cosBAF1=()A.-3 78B.-34C.18D.-1820242024 湖南常德湖南常德 三模三模1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M,N两点，直线NF2与双曲线的另一交点为P，若NPF1为等腰三角形，且NF1F2的面积是PF1F2的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.重庆市第八中学等多校重庆市第八中学等多校20242024届高三下学期届高三下学期3 3月适应性月考卷月适应性月考卷(六六)1如图，F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F1P=13F2Q，则双曲线的离心率为.【题型【题型1111】取值范围问题】取值范围问题解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：22(1)几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；(2)函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)，常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围.20242024 湖南岳阳湖南岳阳 二模二模1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1、F2，其中 F1F2=2c，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若AF1 AF2=4c2，则该椭圆离心率的取值范围是2(2024山东泰安一模)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点，P是C左支上一点，A 0,6 6，当APF周长最小时，该三角形的面积为()A.36 6B.24 6C.18 6D.12 63(2024山东烟台一模)在平面直角坐标系xOy中，点A-1,0,B 2,3，向量OC=mOA+nOB，且m-n-4=0.若P为椭圆x2+y27=1上一点，则 PC 的最小值为()A.4510B.10C.8510D.2 1020242024 湖南九校联盟湖南九校联盟 二模二模1已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0与双曲线x2a2-y2b2=1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于12，则双曲线离心率的取值范围为.2(2024湖北二模)已知双曲线C:x2-y23=1的左右顶点分别为A,B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA,PB的倾斜角分别为,，则tantan=；当2tan+tan取最小值时，PAB的面积为【题型【题型1212】椭圆与双曲线共焦点问题】椭圆与双曲线共焦点问题已知具有公共焦点 F1,F2的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,P 是它们的一个交点，且 F1PF2=2，则有sine12+cose22=1.231已知F是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2：x2m2-y2n2=1(m0，n0)与椭圆C1共焦点，若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则1e1+2e2的最小值为20242024 湖南雅礼中学湖南雅礼中学 月考月考(七七)1已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有共同的焦点F1，F2，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2若F1PF2=3，则e1e2的最小值是A.12B.22C.32D.3220242024 山东淄博山东淄博 一模一模1已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，PF2Q=23，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e21e