江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题（含解析）.docx

苏州市20222023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知角，那么的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 命题“”的否定为( )A. “”B. “”C “”D. “”3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( )A. B. C. 2D. 4. 已知，则“”是“”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B. C. D. 6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 三个数， 之间的大小关系为( )A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有( )A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的有( )A. B. 的定义域为C. 在区间上单调递增D. 若，则的最小值为11. 若a，b均为正数，且满足，则( )A. 的最大值为2B. 的最小值为4C. 的最小值是6D. 的最小值为12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换若方程与的解分别为，则( )A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 求值：_14. 已知幂函数满足：是偶函数；在区间上单调递减，请写出一个这样的函数_15. 已知，则_16. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为_；若，则实数t的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设集合(1)若，；(2)若，18. 已知(1)若角的终边过点，求；(2)若，分别求和的值19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：图象接近图示；销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元现有以下三个函数模型供公司选择：A；B；C(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？总奖金能否超过销售利润的五分之一？20. 已知函数图象经过点(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值21. 已知为奇函数(1)判断函数在区间上单调性，并证明你的判断；(2)若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围22. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且(1)求和的解析式；(2)若函数在上值域为，求正实数a的值；(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点苏州市20222023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知角，那么终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限【详解】因为，又，所以的终边在第三象限故选：C2. 命题“”的否定为( )A. “”B. “”C. “”D. “”【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知: 的否定为故选：D3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( )A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则，解得.故选：B4. 已知，则“”是“”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“”，则“”必成立；但是“”，未必有“”，例如.所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.【详解】的最小正周期是，不符合题意.在区间上单调递增，不符合题意.对于，所以在区间上单调递增，不符合题意.对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，B选项正确.故选：B6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【详解】的定义域为A，所以，所以或，当时，,满足，所以符合题意；当时，所以若，则有或，所以或(舍)当时，所以若，则有或(舍)，综上所述，故选：B.7. 三个数， 之间的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.【详解】由题意，即，即，综上：故选：A8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围.【详解】函数有两个零点，即有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点.画出、和的图象如下图所示，由解得，设.由解得，设.对于函数，要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A，任意，即任意，都有唯一的与之对应，所以A正确；对于B，存在，所以B错误；对于C，任意，即任意，都有唯一的与之对应，所以C正确；对于D，任意，即任意，都有唯一的与之对应，所以D正确；故选:ACD.10. 已知函数，则下列结论中正确的有( )A. B. 的定义域为C. 在区间上单调递增D. 若，则的最小值为【答案】BC【解析】【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,即函数的定义域为,故选项正确;则,故选项错误;当,则在区间上单调递增, 故选项正确;因为的周期,所以若，则的最小值为,故选项错误;故选: .11. 若a，b均为正数，且满足，则( )A. 的最大值为2B. 的最小值为4C. 的最小值是6D. 的最小值为【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，但由解得，不满足，所以等号不成立，所以B选项错误.C选项，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.D选项，所以当，时，取得最小值，D选项正确.故选：AD12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换若方程与的解分别为，则( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项.【详解】由方程和可化为和，即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称，如图所示，点、关于点对称，且，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；由和它们的图像关于直线对称，所以，所以，故C正确；对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 求值：_【答案】1【解析】【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】故答案为：114. 已知幂函数满足：是偶函数；在区间上单调递减，请写出一个这样的函数_【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，所以函数满足题意.故答案为：.15. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.【详解】由得：，解得：；由得：又因为,且,所以即所以则故答案为：.16. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为_；若，则实数t的取值范围是_【答案】 . 2 . 【解析】【分析】(1)根据题意可得即可求出c的值；(2)根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，所以，即，即，所以，所以在定义域上单调递减，令，因为函数的图象关于点成中心对称，所以的图象关于对称，且单调递减，因为，即，即，也即，所以则解得或，故实数t的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设集合(1)若，；(2)若，【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)解不等式求得集合，由此求得.(2)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【小问1详解】，所以，所以.，解得，所以. 若，则，所以.【小问2详解】或，若，则，所以.18. 已知(1)若角的终边过点，求；(2)若，分别求和值【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.(2)根据齐次式的知识求得正确答案.【小问1详解】，若角的终边过点，则，所以.【小问2详解】若，所以；.19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：图象接近图示；销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元现有以下三个函数模型供公司选择：A；B；C(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适函数模型，并说明理由；(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】(1)模型C,理由见解析 (2)210万元; 不会.【解析】【分析】(1)根据函数的图象性质即可选择模型；(2)令解对数不等式求解，即，结合函数图象的增长速度解释.【小问1详解】模型A，因为，所以匀速增长，模型B，因为，先慢后快增长，模型C，因为，先快后慢增长，所以模型C最符合题意.【小问2详解】因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，所以，即，又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以，即，由解得，所以，如果总奖金不少于9万元，即，即，即，解得，所以至少应完成销售利润210万元.设，即，因为与有交点，且增长速度比慢，所以当时，恒在的下方，所以无解，所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20. 已知函数的图象经过点(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)，.【解析】【分析】(1)将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；(2)由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.【小问1详解】将代入，得，即，解得，因为，所以，所以，当时，所以，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为；【小问2详解】因为，所以，即，由余弦函数性质可知，在上有4个解，所以，即，累加可得，.21. 已知为奇函数(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；(2)若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析. (2)【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.(2)将已知方程因式分解得，作出的图像，数形结合即可得到的取值范围.【小问1详解】因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以，当时，所以函数为奇函数.则在单调递增，在上单调递减.证明如下：，且，当时，所以，即，所以函数在上单调递增；当时，所以，即，所以函数在上单调递减.【小问2详解】因为，则，即，解得或，因为有4个解，要使关于x的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，如图所示，根据第一问函数单调性可知，当时，所以的取值范围是且，综上，的取值范围是.22. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且(1)求和的解析式；(2)若函数在上的值域为，求正实数a的值；(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点【答案】(1)， (2) (3)证明见详解【解析】【分析】(1)利用解方程组法即可求得解析式.(2)构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.(3)分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【小问1详解】，分别为定义在上奇函数和偶函数所以，又因为，所以，有可知， ，.【小问2详解】令，由(1)知，又因为，令，所以所以，函数在上的值域为，所以，故,当时，得，又因为，所以【小问3详解】由(1)知，所以与曲线总存在公共点，即在有实数根，令，当时，易知为函数的零点，当时，易知函数在单调递减，又因为，由零点存在性定理可知:,使得成立.当时，又因为，所以.由零点存在性定理可知:,使得成立.故对任意实数函数在有零点.即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.