浙江省温州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(A卷)（含解析）.docx

2022学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题(A卷)选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 2. 已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，则( )A. B. C. D. 4. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数图象大致为( )A. B. C. D. 6. 已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为( )A. 或B. 或C. 或D. 或7. 已知，若对任意的，都有()，则实数b的取值范围为( )A. B. C. D. 8. 已知，则( )A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D. 10 已知函数对任意实数t都有，记，则( )A. B. 图象可由图象向左平移个单位长度得到C. D. 在上单调递减11. 已知正实数x，y满足，则( )A. B. C. D. 12. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，则下列说法正确的有( )A. 为奇函数B. 是上的增函数C. D. 周期函数非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角顶点在原点，以x轴非负半轴为始边，若角的终边经过点，则_.14. 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种，全球数量只有2万只左右.据温州网2022年11月26日的报道，今年越冬候鸟黑嘴鸥已到达温州湾，人们可以在密集的芦苇丛中进行观赏.研究发现黑嘴鸥的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数，其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中，最低飞行速度为10m/s，最高飞行速度为30m/s，则黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是_.15. 若，则_.16. 已知函数，若关于x的方程在()内恰有7个实数根，则_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围.18. 已知.(1)求的值；(2)求的值.19. 已知函数().(1)若函数的周期是，求的值；(2)若函数在上的值域为，求的取值范围.20. 车流密度是指在单位长度(通常为1km)路段上，一个车道或一个方向上某一瞬时的车辆数，用以表示在一条道路上车辆的密集程度在理想的道路和交通条件下，某城市普通道路的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数.研究表明：该城市普通道路车流密度达到160辆/千米时，会造成堵车，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当时，求车流速度函数的表达式；(2)求该城市普通道路的最大通行能力(通行能力=车流速度×车流密度)，并结合生活实际给出该道路合理限速建议.21. 已知函数为偶函数.(1)求出a的值，并写出单调区间；(2)若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.22 已知函数().(1)若，求函数的最小值；(2)若函数存在两个不同的零点与，求的取值范围.2022学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题(A卷)选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据补集的概念进行计算.【详解】， 故选：C2. 已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据幂函数图象性质解决即可.【详解】由题知，幂函数，根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点，所以当时，幂函数图象过点，说明有充分性；幂函数图象过点时，也可以，说明无必要性；故选：A3. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据换底公式和对数运算法则即可得出之间的关系式.【详解】由可得，即，由得，根据对数运算法则可知，即.故选：D4. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】设扇形的半径为，弧长为，则根据周长及面积联立方程可求出，再根据即可求出.【详解】设扇形的半径为，弧长为,则，解得，所以 , 故选B.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧度角的定义，属于中档题.5. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，奇偶性，即可解决.【详解】由题知，所以，解得定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故D错误；又，故C错误；又，故B错误；故选：A6. 已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为( )A 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案.【详解】由题意可知，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，为正实数，则当时，解得；当时，解得，综上，正实数a的取值范围为或，故选：B.7. 已知，若对任意的，都有()，则实数b的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简不等式可得对任意的，都成立，分析的范围即可得解.【详解】由可知，即对任意的，都成立，而，所以，故选：C8. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三角函数恒等变换化简，考虑证明当时，并利用三角函数线完成证明，由此确定的大小.【详解】因为，所以，在平面直角坐标系中以原点为顶点，轴的正半轴为始边作角，设角和单位圆的交点为,过点作垂直与轴，垂足为，过点作单位圆的切线与的终边交于点, 则，设劣弧的弧长为，则，因为，所以，因为，所以，又，所以，所以，故，故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】举反例可判断；利用作差法判断C；讨论的符号，结合不等式性质判断D.【详解】对于A，若取，满足，但，故A错误；对于B, 取，满足，但，B错误；对于C，当时，故，C正确；对于D，若，则，即；若，则，即，若，则，综合可得时，D正确，故选：10. 已知函数对任意实数t都有，记，则( )A. B. 图象可由图象向左平移个单位长度得到C. D. 在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的性质判断函数一条对称轴，据此求出解析式，再由正余弦函数的性质判断ACD，由图象平移判断D求解即可.【详解】由可知，为函数的一条对称轴，所以，即，又，故时，所以，对A，成立，故A正确；对B，图象向左平移个单位长度得到图象，即图象，故B正确；对C，故C正确；对D，当时，所以在上不单调，故D错误.故选：ABC11. 已知正实数x，y满足，则( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对于A，运用基本不等式得，得，求解即可判断；对于B，由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断；对于C，由题得，得，结合基本不等式即可判断；对于D，由选项A得，又即可判断.【详解】由题知，正实数满足，所以，对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，当且仅当且，即时取等号，故B错误；对于C，因为，所以，所以所以，当且仅当，且，即时取等号，故C错误；对于D，由选项A得，所以，当且仅当，且，即时取等号，故D正确；故选：AD12. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，则下列说法正确的有( )A. 为奇函数B. 是上增函数C. D. 是周期函数【答案】ABC【解析】【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，令，则，所以，即，所以为奇函数，故A正确；对于C：令，因为若,则,又为非常值函数故舍去，所以，所以所以,故C正确:对于B: 设任意的且令所以，又因为为奇函数，所以，又因为当时，所以，,即，所以是上的增函数,故B正确;对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.故选:ABC.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角顶点在原点，以x轴非负半轴为始边，若角的终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义即可计算出角的余弦值，再利用诱导公式可得结果.【详解】由三角函数定义可知，所以.故答案为：14. 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种，全球数量只有2万只左右.据温州网2022年11月26日的报道，今年越冬候鸟黑嘴鸥已到达温州湾，人们可以在密集的芦苇丛中进行观赏.研究发现黑嘴鸥的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数，其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中，最低飞行速度为10m/s，最高飞行速度为30m/s，则黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数值去求自变量的值即可解决.【详解】由题知，黑嘴鸥的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数，其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数，当时，得，得，当时，得，得，所以黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是，故答案为：15. 若，则_.【答案】【解析】【分析】利用两角差的余弦公式将等式整理成，再根据同角三角函数的基本关系可写出，根据三角恒等变换化简即可求得结果.【详解】由可得，将等式两边同时除以可得，所以；所以.故答案为：16. 已知函数，若关于x的方程在()内恰有7个实数根，则_.【答案】4【解析】【分析】先画出函数图像，再结合韦达定理，根据图像分析出的值即可算出答案.【详解】因为当时，所以，所以当时，是周期为4的周期函数，当时，所以的图像如图所示，若关于x的方程在()内恰有7个实数根，令，则在()有2个根满足，结合图像可得，符合题意，所以，.故答案为：4四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由分式不等式及一元二次不等式的解法化简集合，再由交集运算求解；(2)由并集运算结果可知，据此分类讨论求解.【小问1详解】由，即，解得，即；当时，由得，故，所以.【小问2详解】因为，所以，若，得；若，有，得，综上，故.18. 已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)由两角和正切公式求出，可对角分类讨论由同角三角函数关系求出，再由余弦二倍角公式得解，或先由余弦二倍角公式化简为关于正切的形式求解；(2)根据(1)中解法一求出，直接计算即可，或由二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系直接化切求解.【小问1详解】解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，若为第三象限角，则，故.解法二：由已知得，则，则.【小问2详解】解法一：由(1)知，则，故.解法二：由已知得，则.19. 已知函数().(1)若函数的周期是，求的值；(2)若函数在上的值域为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由三角恒等变换化简函数解析式，再由周期公式求解；(2)求出的范围，由函数值域及余弦函数的性质可知，即可得解.【小问1详解】，则由得.【小问2详解】由(1)知，由函数在上值域为可得在上的值域为，当时，则，故，可得.20. 车流密度是指在单位长度(通常为1km)路段上，一个车道或一个方向上某一瞬时的车辆数，用以表示在一条道路上车辆的密集程度在理想的道路和交通条件下，某城市普通道路的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数.研究表明：该城市普通道路车流密度达到160辆/千米时，会造成堵车，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当时，求车流速度函数的表达式；(2)求该城市普通道路的最大通行能力(通行能力=车流速度×车流密度)，并结合生活实际给出该道路合理限速建议.【答案】(1) (2)3840辆/小时，合理限速50千米/小时【解析】【分析】(1)由条件结合待定系数法分段求出函数的解析式；(2)由(1)求通行能力的函数解析式，再求其最大值，根据所得数据提出限速建议.【小问1详解】当时，设，由已知当车流密度为60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；车流密度达到160辆/千米时，车流速度为0千米/小时；所以，解得，又当车流密度小于60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；所以当时，所以.【小问2详解】设速度为(千米/小时)时的通行能力为(辆/小时)，则当时，通行能力辆/小时；当时，通行能力，当时，道路通行能力最大值为3840辆/小时；此时车速千米/小时，因此，应给该道路合理限速50千米/小时.21. 已知函数为偶函数.(1)求出a的值，并写出单调区间；(2)若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增 (2)【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求，由对勾函数性质写出单调区间；(2)化简不等式换元后转化为，分别考虑二次不等式有解转化为或分离参数后转化为，利用，也可转化为，求函数的最大值即可.【小问1详解】因为，所以，由偶函数知，解得；即，由对勾函数知，当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由题意可得，即，令，；解一：，则在上有解，即.若，即，此时，解得，；若，即，此时，解得，此时无解；综上，；解二：由得，令，则.，所以.解三：由得，令，则，所以.22. 已知函数().(1)若，求函数的最小值；(2)若函数存在两个不同的零点与，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意可知，对自变量进行分类讨论，将函数写成分段函数形式利用函数单调性即可求得函数的最小值；(2)对参数的取值进行分类讨论，利用韦达定理写出关于的表达式，再利用换元法构造函数根据函数单调性即可求得其取值范围.【小问1详解】解法一：若时，求函数，当时，.当时，.故.解法二：若时，求函数；画出和的图像如下图所示：易得.小问2详解】解法一：若，因为存在两个不同的零点与，所以，得，此时，；若，当时，即时，得，有，令，则，令，则在上单调递增，则；当，即时，有，在上单调递减，上单调递增，所以，无零点；当时，只有一个零点；故.解法二：令，等价于存在两个不同的零点与，当时，因为存在两个不同的零点与，所以，得，此时；当时，当，即时，得，有，所以；当，即时，有，在上单调递减，上单调递增，无零点；当时，只有一个零点；故.【点睛】方法点睛：求解二次函数零点问题时，一般将零点问题转化成二次方程根的问题，利用韦达定理写出两根之间的关系式进而求得某表达式的取值范围.