2024年普通高等学校招生全国统一考试数学终极猜想卷含答案.pdf

1/6 学科网（北京）股份有限公司 绝密启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试终极猜想 数数 学学 一、单选题一、单选题 1记等比数列 na的前n项和为nS，若8128,26SS=，则4S=（）A1 B2 C3 D4 2已知角0,4，则数据sin,sin(),cos,cos(),tan的中位数为（）Asin Bcos()Ccos Dtan 3已知()41 i1 iz+=，则z的虚部为（）A2i B2i C2 D2 4对于R上可导的任意函数()f x，若当1x 时满足()01fxx，则必有（）A()()()0221fff+5已知0a 且1a，则“1b ”是“函数()xxabf xba=+为偶函数”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知圆22:1O xy+=，过点()2,0A的直线 l与圆 O交于 B，C两点，且ABBC=，则BC=（）A2 B32 C2 D62 7已知抛物线 C：22ypx=（0p）的焦点为 F，C 的准线与 x轴的交点为 M，点 P是 C 上一点，且点P 在第一象限，设PMF=，PFM=，则（）Atansin=Btancos=Ctansin=Dtancos=8用一个内底面直径为 3，高为 20 的圆柱体塑料桶去装直径为 2 的小球，最多能装下小球个数为（）A10 B11 C12 D13 2/6 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题二、多选题 9已知1()nxx+*(N)n展开式中常数项是2Cn，则n的值为（）.A3 B4 C5 D6 10已知函数()f x满足()()()|f x f yf xyxy=+，则（）A(0)1f=B(1)1f=C()f x是偶函数 D()f x是奇函数 11中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度y随时间x变化的回归模型，小明每隔 1 分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据()11,xy，()22,xy，(),nnxy（其中1niixx=，1niiyy=），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下 2 个回归模型来拟合茶水温度y随时间x的变化情况，回归模型一：()0,0ykxb kx=+，下列说法正确的是（）.A茶水温度与时间这两个变量负相关 B由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到xykab=+的图象一定经过点(),xay D当5x=时，通过回归模型二计算得65.1y=，用温度计测得实际茶水温度为 65.2，则残差为0.1 三、填空题三、填空题 12已知集合2|560Mx xx=+，1|cos2Nxx=xyabab经过点()3,1，则所有这些曲线上满足1y 的点组成的图形的面积为 3/6 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题四、解答题 15已知ABC的内角,A B C所对边的长分别,a b c，且()()sin2sinsinbBacAC=+(1)若3tan3C=，求A的大小；(2)当AC取得最大值时，试判断ABC的形状 16如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，/CF DE，且12ABCFDE=，M 为AB中点 (1)过 M作平面，使得平面与平面BEF的平行（只需作图，无需证明）(2)试确定（1）中的平面与线段ED的交点所在的位置；(3)若DE平面ABCD，在线段BC是否存在点 P，使得二面角BFEP的平面角为余弦值为63，若存在求出BPPC的值，若不存在，请说明理由 4/6 学科网（北京）股份有限公司 17已知函数()lnf xx x=(1)求()f x的极值；(2)若过点(),a b可以作两条直线与曲线()yf x=相切，证明：lnba a，则840SS，得42S=.故选：B 2A【详解】因为角0,4，所以2sin0,2，sin()sin=，2cos,12，()2cos cos1,2=，()tan0,1，所以0sincos，0sintan，按照从小到大的顺序排列时，前3个数为()cos，sin，()sin，则中位数为sin（或()sin）其中当02x时sintanxxx的证明过程如下：构造单位圆O，如图所示：则()1,0A，设0,2POAx=，则()cos,sinPxx，过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，学科网（北京）股份有限公司 由=tanATxOA，得=tanATx，所以()1,tanTx，由图可知OPATOAOPASSS扇形，即21111 sin11 tan222xxx ，即sintan，即1x 时，()0fx，函数()f x不单调递减，则(2)(1)ff；当10 x，即1x 时，()0fx，函数()f x不单调递增，则(0)(1)ff；由不等式的性质得：()()()0221fff+.故选：C 5A【详解】若函数()xxabf xba=+为偶函数，由定义域为R，则有()()f xfx=，即xxxxababbaba+=+，即1xxxxabb abab a+=+对任意的x恒成立，即有1bb=，故1b=，由“1b ”是“1b=”的充分不必要条件，故“1b ”是“函数()xxabf xba=+为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.6D【详解】如图，在OAC中，BDOC，1122BDOC=，1cos4BDODBED=，1coscos4COAODB=，222cos6ACOCOAOCOAOCOACOA=+=，学科网（北京）股份有限公司 所以62BC=.故选：D 7A【详解】过P作1PP垂直准线于1P，如图，在PFM中，由正弦定理可得sinsinPFPMPMFPFM=，即sinsinsinsinPFPMPFPM=，在1PPM中，因为1PPMPMF=，所以sincossinPFPM=，即sinsintancos=，故选：A.8B【详解】如图，将第一个球1O靠近该圆柱右侧放置，球1O上的点到该圆柱底面的最大距离为 2，将第二个球2O也靠近圆柱侧面放置，过点1O作1O A垂直于该圆柱的母线，垂足为 A,过点2O作2O B垂直于圆柱底面，垂足为 B,设121,1,1,O AO BC ACBCCO=2221213COOOCO=，则球2O上的点到该圆柱底面的最大距离为23+，学科网（北京）股份有限公司 同理可得球3O上的点到该圆柱底面的最大距离为22 3+，由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加3，因为10 322011 32+，故最多能装下小球个数为 11.故选：B 9AD【详解】展开式的通项为131221C()()Cnrrn rrrrnnTxxx+=，若要其表示常数项，须有302nr=，即13rn，又由题设知123CCnnn，123n或123nn，6n=或3n=.故选：A D 10AC【详解】令0y=，则()()()00ff xfx=+，令0 xy=，则()()200ff=，解得()00f=或()01f=，若()00f=，则0 x=恒成立，不合题意，故()01f=，A 选项正确；()01f=，则()1f xx=+,()12f=，B 选项错误；函数()1f xx=+，定义域为 R，()()11fxxxf x=+=+=，()f x为偶函数，C 正确，D 错误.故选：AC 11AB【详解】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，即 A、B 正确；学科网（北京）股份有限公司 根据非线性回归模型的拟合方法，先令xta=，则yktb=+，此时拟合为线性回归方程，对应的回归直线过点(),t y，原曲线不一定经过(),xay，故 C 错误；残差为真实值减估计值，即为 65.2-65.1=0.1，故 D 错误.故选：AB.122|33xx【详解】2|560|23Mx xxxx=+=，124|cos|2 2,Z233Nxxxkxk k=+，则2|33MNxx=.故答案为：2|33xx，故24a ()2222231ayxaa+=()222213ayyx=又1y，()222413yyx22+4xy 即满足22+4xy且1y 的点如图中阴影部分，其面积为22114 22 sin1203323=故答案为：433 15(1)3(2)ABC为直角三角形 （2）利用（1）中结果及正切的差角公式得到()2tan13tantanACCC=+，再利用基本不等式可得到()tan AC的最大值为33，且6C=，再利用02AC，即可得到3A=，从而求出结果.【详解】（1）由()()sin2sinsinbBacAC=+，得222220bca+=，即()22222bbca=+，由余弦定理得24cosbbcA=，所以4 cosbcA=，学科网（北京）股份有限公司 故4sincossinsincoscossinCABACAC=+，得到3sincossincosCAAC=，所以tan3tanAC=，又3tan3C=，所以tan3tan3AC=又()0,A，所以3A=（2）由（1）知，tan3tanAC=，所以02CA，()2tantan2tan223tan11tantan1 3tan32 33tantanACCACACCCC=+，当且仅当13tantanCC=，即3tan3C=，6C=时，等号成立，()tan AC的最大值为33，又02AC，则AC的最大值为6，此时3A=，()2BAC=+=，所以ABC为直角三角形 16(1)图形见解析(2)（1）中的平面与线段ED的交点在靠近点E的四等分点处(3)存在，3BPPC=【详解】（1）如图，取,BC CF的中点,H Q，连接,MH HQ，延长,MH DC交于点T，连接TQ并延长TQ交DE于点R，连接MR，取CD的中点N，连接MN，则/MN BC且MNBC=，故12CHTCMNTN=，所以13TCTD=，又因为/DE CF，所以13CQTCDRTD=，所以1123CFCQDR=，所以34DRDE=，所以REQF=且/RE QF，所以四边形QREF为平行四边形，所以/EF QR，又EF 平面BEF，QR 平面BEF，所以/QR平面BEF，因为,H Q分别为,BC CF的中点，学科网（北京）股份有限公司 所以/HQ BF，又BF平面BEF，HQ 平面BEF，所以/HQ平面BEF，又,HQQRQ HQ QR=平面MHQR，所以平面/MHQR平面BEF，又M 平面MHQR，所以平面MHQR即为平面；（2）又（1）得，点R在线段DE上靠近点E的四等分点处，即（1）中的平面与线段ED的交点在靠近点E的四等分点处；（3）如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设1CF=，则()()()1,1,0,0,0,2,0,1,1BEF，设(),1,0,01P tt，则故()()()0,1,1,1,1,2,1,2EFBEEPt=，设平面BEF的法向量为(),nx y z=，则有020EF nyzBE nxyz=+=，可取()1,1,1n=，设平面PEF的法向量为(),ma b c=，则有020EF mbcEP mtabc=+=，可取()1,mt t=，则216cos,3123m nttm nm nt+=+，解得14t=，此时3BPPC=，学科网（北京）股份有限公司 所以存在，3BPPC=.17(1)极小值为11()eef=，无极大值；(2)证明见解析.【详解】（1）因为()lnf xxx=，所以()ln1fxx=+，令()0fx=，得1ex=，当10,ex时，()0,()fxf x在1,e+上单调递增，所以当1ex=时，()f x取得极小值，且极小值为11eef=，无极大值.（2）设切点为()000,lnx xx，则切线的方程为()()0000ln1 lnyxxxxx=+，则()()0000ln1 lnbxxxax=+，整理得00lnbaxxa=+，由过点(,)a b可以作两条直线与曲线()yf x=相切，可得方程lnbaxxa=+有两个不相等的正根.令()lng xaxxa=+，则()axg xx=，当0a 时，()0,()g xg x时，若(0,)xa，则()0,()g xg x在()0,a上单调递增，若(,)xa+，则()0,()g xg x在(),a+上单调递减，则max()()lng xg aaa=，故要使得方程lnbaxxa=+有两个不相等的正根，则lnbaa=，所以动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为22221(0)xyabab+=，则2a=，1c=，所以223bac=，所以P点轨迹的方程为22143xy+=；（2）设直线MN的方程为1xmy=+，由221143xmyxy=+=，得()2234690mymy+=（1），设11221()()(,),4M x yN xyDy,，显然()()2223636 3414410mmm=+=+，121222693434myyy ymm+=+，且()121223.my yyy=+2124NDyykx=，直线ND的方程为()211244yyyyxx=，令0y=，得()()1212121212121433444yxymymy yyxyyyyyy=（2），将()121223my yyy=+代入（2），则()12121333524422yyyxyy+=，故直线ND过定点5,02，即定点5,0.2E 学科网（北京）股份有限公司 在（1）中，()()2223636 341441mmm=+=+，()()222121212222236361214.343434mmyyyyy ymmm+=+=+=+又直线ND过定点5,02E，22122215 121151.243434ONDOEDOENmmSSSOEyymm+=+=+令211tm=+，则215151313ONDtSttt=+，又13yxx=+在)1,+上单调递增，15yx=在()0,+上单调递减，所以1513ytt=+在1,)t+上单调递减，故当1t=，即0m=时，()max15.4ONDS=19(1)见解析(2)（）证明见解析；（）624M=，1456N=【详解】（1）依题意，(1,2,20)iX i=均服从完全相同的超几何分布，且M，N均大于 100，故1X的分布列为()()1001100C CN,0100CkkMNMNP Xkkk+=.1X 0 1 99 100 P 0100100C CCMNMN+001991C CCMNMN+991100C CCMNMN+0010010CCCMNMN+学科网（北京）股份有限公司 （2）（i）(1,2,20)iX i=均服从完全相同的超几何分布，故()()1iE XE X=202020111111111()()()()20()()20202020iiiiiiE XEXEXE XE XE X=，2020201122211111111()()()()20()()2020202020iiiiiiD XDXDXD XD XD X=，故1()()E XE X=，11()()20D XD X=（ii）由（）可知X的均值 1100()()ME XE XMN=+利用公式()11QQPnD xnPPP=计算1X的方差，12100(10()0)()(1)DMXMN MNMNN+=+=+，所以125(1)1)()()2000)(1DNMXXMN MDMNN+=+=+依题意有()()()210030,51001,1MMNMN MNMNMN=+=+解得624M=，1456N=所以可以估计624M=，1456N=