2024年高考广东联考冲刺卷数学-广东联考样卷-答案.pdf

2024 年广东省新高考二轮备考特制冲刺卷数学参考答案及评分意见一、选择题：每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BBDCCABC二、选择题：每小题 6 分，共 18 分.题号91011答案ADBDABD(赋分说明:有 2 个正确选项的,每选对一个得 3 分.有 3 个正确选项的,每选对一个得 2 分.全对得 6 分.若有选错的,得零分)三、填空题：每小题 5 分，共 15 分.题号121314答案17255 或 6四、解答题：共 77 分.15.解析(1)易知 S1=a1=4,2Sn=3an-4n,2Sn+1=3an+1-4(n+1)=3an+1-4n-4,2an+1=3an+1-3an-4,an+1+2=3(an+2),又 a1+2=6,an+2是以 6 为首项,3 为公比的等比数列,4 分 an+2=63n-1=23n,an=23n-2.6 分(2)证明:bn=nan+2=n23n,Tn=b1+b2+bn=1213+232+n3n ,2Tn=13+232+n3n,23Tn=132+233+n3n+1,-得43Tn=13+132+13n-n3n+1,Tn=38-183n-1-n43n38,nN*,1命题得证.13 分16.解析(1)由题意知每个人参加 A 游戏的概率为13,参加 B 游戏的概率为23.故这 2 人都参加 A 游戏的概率为1313=19.4 分(2)由题意可知 的所有可能取值为 1,3,5,6 分故 P(=1)=C25132233+C35133232=4081,P(=3)=C1513234+C4513423=1027,P(=5)=235+135=1181,12 分所以 的分布列是135P408110271181所以数学期望 E()=14081+31027+51181=18581.15 分17.解析(1)延长 AA1,BB1,CC1交于 G 点,如图(1)所示,易知GA1C1GAC,AC=4A1C1,CG=4C1G,即 CC1=34CG,=23,CF=23CC1=12CG,F 是 CG 的中点,又 E 是 BC 的中点,EFBG,又 EF平面 ABB1A1,BG平面 ABB1A1,EF平面 ABB1A1.5 分#$&#$(图(1)(2)建立如图(2)所示的空间直角坐标系.2#$YZ&#$图(2)则 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),C1(0,1,3),E(3,3,0),CF=CC1,F(0,4-3,3),CE=(3,-1,0),CF=(0,-3,3),AE=(3,3,0),AF=(0,4-3,3),7 分设平面 AFE 的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1AF=0,n1AE=0,(4-3)y1+3z1=0,3x1+3y1=0,令 x1=-3,则 y1=1,z1=1-43,n1=-3,1,1-43,9 分设平面 FEC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则n2CE=0,n2CF=0,3x2-y2=0,-3y2+3z2=0,令 x2=1,则 y2=3,z2=3,n2=(1,3,3),11 分设二面角 A-FE-C 的平面角为,则|cos|=|n1n2|n1|n2|=3 1-434+1-432 7=37,整理得 1-432=23,01,1-430,f(x)=2x+2x-2,x0,f(1)=-1,f(1)=2.曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y+1=2(x-1),即 2x-y-3=0.4 分(2)f(x)=2x+2x-2a=2(x2-ax+1)x,x0.3对于关于 x 的方程 x2-ax+1=0,=a2-4.当 0,即-2a2 时,f(x)0 在(0,+)上恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+).6 分当 a2 时,0,关于 x 的方程 x2-ax+1=0 的两根分别为 x1=a+a2-42,x2=a-a2-42.二者均大于 0,且 x1x2.当 xa+a2-42或 0 x0,f(x)的单调递增区间为0,a-a2-42,a+a2-42,+.8 分当 a0,易知 x1=a+a2-42,x2=a-a2-42均小于 0,f(x)0 在(0,+)上恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+).综上,当 a2 时,f(x)的单调递增区间为(0,+),当 a2 时,f(x)的单调递增区间为0,a-a2-42,a+a2-42,+.10 分(3)对任意 x1,+),f(x)x2-1x恒成立,2ln x+x2-2axx2-1x恒成立,即 aln xx+12x2在1,+)上恒成立.12 分令 g(x)=ln xx+12x2,x1,+),则 g(x)=x-xln x-1x3.令 t(x)=x-xln x-1,则 t(x)=-ln x.x1,t(x)t(1)=0,t(x)在1,+)上单调递减,t(x)t(1)=0.14 分 g(x)0,g(x)在1,+)上单调递减.g(x)max=g(1)=12,a12.a 的取值范围是12,+.17 分19.解析(1)证明:由材料可知点 P(x0,y0)对应的极线方程为x0 x5+y0y=1,1 分若点 P 在椭圆 C 上,则x205+y20=1,即 x20+5y20-5=0,4当 y0=0 时,点 P 的坐标为(-5,0)或(5,0),点 P 对应的极线方程分别为 x=-5,x=5,易知其分别为过点(-5,0),(5,0)的切线.当 y00 时,联立x25+y2=1,x0 x5+y0y=1,整理得15+x2025y20 x2-2x05y20 x+1y20-1=0,=-2x05y202-415+x2025y201y20-1 =4(x20+5y20-5)25y20=0.点 P 对应的极线就是过点 P 的切线.4 分(2)由(1)知点 T 对应的极线方程为52x5+ty=1,即 x+2ty=2,该极线恒过定点(2,0).直线 MN 恒过定点(2,0),即点 Q 坐标为(2,0).6 分直线 MN 的斜率为 0 时,易知不合题意.若直 线 MN 的 斜 率 不 存 在,则 可 知 M,N 两 点 的 坐 标 分 别 为2,55,2,-55或2,-52,2,55,此时|DE|=|AB|,S=122 52 55=2.若直线 MN 的斜率存在且不为 0,则设直线 MN 的方程为 x=ky+2(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).MNDE,直线 DE 的方程为 x=-1ky+2.联立x25+y2=1,x=ky+2,整理得(k2+5)y2+4ky-1=0.y1+y2=-4kk2+5,y1y2=-1k2+5.故|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(y2+y1)2-4y1y2=2 5(k2+1)k2+5.|DE|=2 5-1k2+1-1k2+5=2 5(1+k2)1+5k2.10 分 S=12|DE|MN|=10(k2+1)2(k2+5)(1+5k2)10(k2+1)2k2+5+1+5k222=109.5当且仅当 k2+5=1+5k2,即 k=1 时,等号成立,此时四边形 MDNE 的面积最小,为109.综上,四边形 MDNE 的面积 S 的最小值为109.12 分若直线 MN 和直线 DE 的斜率都存在,由可知 M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-4kk2+5,y1y2=-1k2+5,x1+x2=k(y1+y2)+4=20k2+5,又 N1是 MN 的中点,N1的坐标为10k2+5,-2kk2+5 ,同理可得 N210k21+5k2,2k1+5k2 .14 分 直线 N1N2的方程为 6kx-5(k2-1)y-10k=0,即 5(k2-1)y=6k x-53,此时直线 N1N2过定点53,0.若直线 MN 的斜率不存在,直线 DE 的斜率为 0,易知N1,N2都在 x 轴上,此时直线 N1N2也过点53,0.综上,直线 N1N2过定点,该点坐标为53,0.17 分6