2024年全国高中数学联赛初赛试题含答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]（七套试卷）.pdf

<p>2024年重庆市高中数学联赛初赛试题22024年浙江省高中数学联赛初赛试题32024年四川省高中数学联赛初赛试题42024年吉林省高中数学联赛初赛试题52024年广西省高中数学联赛初赛试题72024年内蒙古高中数学联赛初赛试题92024年北京市高中数学联赛初赛一试102024年北京市高中数学联赛初赛二试112024年全国高中数学联赛初赛试题含答案年全国高中数学联赛初赛试题含答案北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆2024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.已知复数z使得z-4z为纯虚数，则 z-1-i的最小值为.（其中i为虚数单位）2.设函数 f x=2x-2-x的反函数为 y=f-1x，则不等式 f-1x-1-2.10.20分已知抛物线：y=x2，动线段 AB在直线 y=3x-3上(B在 A右侧)，且 AB=2 3.过 A作的切线，取左边的切点为M.过B作的切线，取右边的切点为N.当MN AB时，求点 A的横坐标.11.20分设x1=3，xn+1=xn+14-xn+2 nN*，求 x1+x2+xn的值.(其中x表示不超过实数x的最大整数.)2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(每小题每小题8分分，共计共计96分分)1.设集合 A=x x-12x-10 ，集合B=xx2+2x+m0.若 AB，则实数m的取值范围为.2.设函数 f：1,2,32,3,4满足 ff x-1=f x，则这样的函数有个.3.函数 y=sin2x+sinx+1sin2x+1的最大值与最小值之积为.4.已知数列 xn满足：x1=22，xn+1=xnn n+1x2n+n n+1，n1，则通项xn=.5.已知四面体 A-BCD的外接球半径为1，若BC=1，BDC=60，球心到平面BDC的距离为.6.已知复数z满足z24=z-1510=1，则复数z=.7.已知平面上单位向量a，b垂直，c为任意单位向量，且存在t 0,1，使得向量a+1-tb与向量 c-a垂直，则 a+b-c的最小值为.8.若对所有大于2024的正整数n，成立n2024=2024i=0aiCin，aiN，则a1+a2024=.9.设实数a，b，c(0,2，且b3a或a+b43，则maxb-a,c-b,4-2c的最小值为.10.在平面直角坐标系 xOy 上，椭圆 E 的方程为x212+y24=1，F1为 E 的左焦点；圆 C 的方程为 x-a2+y-b2=r2，A 为 C 的圆心.直线 l 与椭圆 E 和圆 C 相切于同一点 P 3,1.当 OAF1最大时，实数 r=.11.设n为正整数，且nk=0-1kCknk3+9k2+26k+24=1312，则n=.12.设整数n4，从编号1，2，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为.二、解答题二、解答题(13题满分题满分14分分，14、15题满分各题满分各20分分，合计合计54)13.正实数k1，k2，k3满足k1k2k3；实数c1，c2满足c1=k2-k1，c2-c1=2 k3-k2,定义函数f x=k1x,0 x1k2x-c1,12g x=k1x,0 x1k2x-c112,12试问，当k1，k2，k3满足什么条件时，存在 A0使得定义在0,A上的函数 g x+f A-x恰在两点处达到最小值？14.设集合S=1,2,3,997,998，集合S的k个499元子集 A1，A2，Ak满足：对S中任一二元子集B，均存在i1,2,k，使得B Ai.求k的最小值.15.设 f x，g x均为整系数多项式，且degf xdegg x.若对无穷多个素数 p，pf x+g x存在有理根，证明：f x必存在有理根.2024年四川省高中数学联赛初赛试题(考试时间：2024年5月19日9:0011:00)一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.设函数 f x=ln x+x-2的零点都在区间a,b a,bZ,ab1，若logab+logba=52，则ba+4的最大值为.3.设aR，若函数 f x=ax-ax-2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数a的最小值为.4.用 f X,表示点 X与曲线上任意一点距离的最小值.已知O:x2+y2=1及O1：x-42+y2=4，设P为O上的动点，则 f P,O1的最大值为.5.设ABC中，AC=2，ABC=2BAC，则ABC面积的最大值为.6.将边长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转45得到一个十面体 ABCD-EFGH(如图)，则该十面体的体积为.7.若T=100k=1299+k3101-k，则T的末尾数字0的个数为.8.记I=1,4,5,6，U=1,2,3,25，集合U的子集 A=a1,a2,a3,a4,a5，满足 ai-ajI 1ij5，则符合条件的集合 A的个数为.(用具体数字作答)二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共3小题小题，满分满分56分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t为正实数，若曲线 y=tex与椭圆C：x22+y2=1交于 A、B两个不同的点，求证：直线 AB的斜率k0，且a1)，若 f x1对x1,2成立，则实数a的取值范围.9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表：题号12345678910甲乙丙丁若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为.10.已知函数 f x=lnx-1x2+2ax-ax.若m0，使得 f ma2，则实数a的最大值为11.设函数 f x=sinxsin3x，若关于 x的方程 f x=a在(0,上有奇数个不同的实数解，则实数a的值为.12.在 ABC 中，AP 平分 BAC，AP 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC，BQ 交 CA 于 Q，BAC=30，且 AB+BP=AQ+QB，则ABC的度数为.三、解答：本大题共三、解答：本大题共4小题小题，每小题每小题 x分分，满分满分 x分分.13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O，过点 A-2,0且倾斜角为30的直线与圆C2相切.(1)求圆C2的方程；(2)过圆C2上任意一点P x0,y0 x0y00作圆C2的切线，与椭圆C1交于 A，B两点，均有AOB=90成立.判断椭圆C1是否过定点？说明理由.14.已知数列 an满足：a1=1，a2=2，an+1=1an+an-1n2.求证：2024k=11ak88.15.如图，O1、O2外切于点 A，过点 A 的直线交 O1于另一点 B，交 O2于另一点 C，CD 切 O1于点D，在BD的延长线上取一点F，使得BF2=BC2-CD2，连接CF交O2于E，求证：DE与O2相切.16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合 A，B，C(即 A BC=Q+，且 A B=BC=C A=，满足B*A=B，B*B=C，B*C=A，这里H*K=hkhH,kK.(1)给出一个满足要求的例子(即给出 A，B，C)；(2)给出一个满足要求的例子，且1，2，35中的任意两个相邻正整数均不同时在 A中.2024年广西省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(本大题共本大题共8小题小题，每小题每小题10分分，共共80分分).1.设函数 f x=log2x.若ab0的焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，F1MF2=3，OM=153b.则椭圆的离心率为.3.若正实数x，y满足x-2y=2x-y，则x的最大值为.4.方程3x=x37的正整数解为.5.设x1，x2，x3，x4均是正整数，且 xixjxk1ijk4 =18,36,54.则x1+x2+x3+x4=.6.正三棱雉 P-ABC 中，AP=3，AB=4.设 D 是直线 BC 上一点，面 APD 与直线 BC 的夹角为 45，则线段PD的长度是.7.已知四次多项式x4-25x3+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数a=.8.设数列 xn满足x1=2001，xn+1=xn+yn，其中 yn等于xn的个位数，则x2024=.二、解答题二、解答题(本大题共本大题共4小题小题，共共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.(15分)如图所示，AD=CD，DP=EP，BE=CE，DP AD BE，ADC=DPE=BEC=90.证明：P为线段 AB的中点.10.(15分)设 A为数集1,2,3,2024的n元子集，且 A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求n的最大值.11.(20分)用x表示不超过x的最大整数.设数列 xn满足：x1=1，xn+1=4xn+11xn.求x2024的个位数.12.(20 分)图 G 是指一个有序二元组 V,E，其中 V 称为顶点集，E 称为边集.一个图 G 中的两点 x，y 的距离是指从 x到 y的最短路径的边数，记作d x,y.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作diam G，即diam G=max d x,yx,yG.记Zn=0，1，2，n-1是模n的剩余类，定义Zn上的加法和乘法，均是模n的加法和乘法，例如在Z12=0，1，2，11中：3+4=7，6+9=3；34=0，69=6.在Zn中，设x0.若存在y0使得xy=0，则称x是Zn的一个零因子.记Zn的所有零因子的集合为 D Zn.例如 D Z12=2，3，4，6，8，9，10.Zn的零因子图，记为 Zn，它是以D Zn为顶点集，两个不同的顶点x，y之间有一条边相连当且仅当xy=0.下图是 Z12的例子.证明：对一切的整数n2，都有diam Zn3.2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日，8:30-9:50)一、填空题一、填空题(本题满分本题满分64分分，每小题每小题8分分)1.集合M=1,2,3,5,6的全部非空子集的元素和等于.2.设a，b，c是实数，满足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，a0，bca3的取值范围为.3.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，过点 A的一个平面截此棱柱，与侧棱 BB1，CC1分别交于点M，N，若MNA为直角三角形，则MNA面积的最大值为.4.已知在ABC中BC=3，A=3，BD=14BC，则线段 AD的最大值为.5.从1，2，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.6.O是原点，椭圆x24+y25=1，直线l过 1,0且与椭圆交于 A，B两点，则ABO面积的最大值为.7.数列 an中，a1=110，且对任意nN*，an+1=a2n+an，求2024n=11an+1的整数部分是.8.已知关于 x 的方程 x3-3x+4=0 的三个复数根分别为 z1，z2，z3，则 z1-z22z2-z32z3-z12的值为.二、解答题二、解答题(本题满分本题满分56分分)9.(16分)已知双曲线C：x24-y23=1，直线l：y=kx+1与双曲线C的左右支分别相交于 A，B两点，双曲线C在 A，B两点处的切线相交于点P，求ABP面积的最小值.10.(20分)已知函数 f x=ex-1-xax2-2x+1.(1)当a=0时，讨论 f x在-4,12上的极值.(2)若x=0是 f x的极小值点，求a的取值范围.11.(20 分)设 n 是一个给定的正整数，集合 Sn=i,j1i,j2n,i,jN*，求最大的正数 c=c n，使得对任意正整数 d1，d2，都存在集合 Sn的子集 P，满足集合 P至少有cn2个元素，且集合 P的任两个元素 i,j，k,l均有 i-k2+j-l2d1，i-k2+j-l2d2.2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间：8:00-9:20一、一、填空题填空题(1-8题每题题每题8分分，第第9题题16分分，第第10，11题每题题每题20分分，共共120分分)1.设整数集合 A=a1,a2,a3,a4,a5，若 A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 B=-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15，则集合 A=-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10,15，则集合 A=.2.已知函数 f x=x+2,x0；ln12x+1,x0.若关于 x 的方程 ff x=m 恰有三个不相等的实数根 x1，x2，x3且满足x1x2q.则函数 f x在区间89,910上的最大值为.6.对于 c 0，若非零实数 a，b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0，且使 2a+b最大，则3a-4b+2c的最小值为.7.已知函数 f x=cos4x+sin4x+asin4x-b，且 f x+6为奇函数.若方程 f x+m=0在0,上有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则 fx1+x2+x3+x44的平方值为.8.已知 A 1,2,2625，且 A 中任意两个数的差的绝对值不等于 4，也不等于 9，则 A的最大值为.9.设多项式 f x=x2024+2023i=0cixi，其中ci-1,0,1.记 N为 f x的正整数根的个数(含重根).若 f x无负整数根，N的最大值是.10.在棱长为4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 AA1上的一点，且 A1E=1，F为截面 A1BD上的动点，则 AF+FE的最小值等于.11.数列 an定义如下：设2n!n!n+2024!写成既约分数后的分母为 A n，an等于2A n的最大质因数，则an的最大值等于.2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间：9:40-12:301.(40分)设a，b，c是三个正数，求证：2a2a2+b2+c2+2ba2+2b2+c2+2ca2+b2+2c23 2 a+b+c5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca.2.(40 分)如图所示，锐角 ABC 的三条高线 AD，BE，CF 交于点 H，过点 F 作 FG AC 交直线 BC 于点 G，设 CFG 的外接圆为 O，O 与直线 AC 的另一个交点为 P，过 P 作 PQ DE 交直线 AD 于点 Q，连接OD，OQ.求证：OD=OQ.3.(50 分)有 n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.4.(50分)设a1，a2，an为n个两两不同的正整数且a1a2an恰有4048个质因数.如果a1，a2，an中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n的最大值.2024年重庆市高中数学联赛初赛试题22024年浙江省高中数学联赛初赛试题32024年四川省高中数学联赛初赛试题42024年吉林省高中数学联赛初赛试题52024年广西省高中数学联赛初赛试题72024年内蒙古高中数学联赛初赛试题92024年北京市高中数学联赛初赛一试102024年北京市高中数学联赛初赛二试112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.已知复数z使得z-4z为纯虚数，则 z-1-i的最小值为 2-2.（其中i为虚数单位）【答案】2-2【解析】z-4z为纯虚数z-4z=-z-4zz+z=4 z+zzz.当z+z=0时，z-1-imin=1；当z+z0时，则 z=2，此时 z-1-imin=2-2 1，当z=2 1+i可取等号.2.设函数 f x=2x-2-x的反函数为 y=f-1x，则不等式 f-1x-11的解集为-12,52.【答案】-12,52【解析】因为 f x为R上单调递增的奇函数，且值域为 R，所以 f-1x也为R上单调递增的奇函数.注意 f 1=32，故 f-1x-11-32x-132-12x-2.【解析】先证一个引理：对 x0，有sinx0时，xx2，则x1-x22 0,2，于是由 fx1=fx2并结合引理可得x1-x2x1x2=cosx2-cosx1=2sinx1+x22sinx1-x228分2sinx1-x221.12分所以 f x1+f x2=lnx1x2-sinx1-sinx2-sinx1-sinx2-2.16分10.20分已知抛物线：y=x2，动线段 AB在直线 y=3x-3上(B在 A右侧)，且 AB=2 3.过 A作的切线，取左边的切点为M.过B作的切线，取右边的切点为N.当MN AB时，求点 A的横坐标.【解析】设M x1,x21，N x2,x22，注意kMN=x22-x21x2-x1=x1+x2，从而当MN AB时，kMN=kAB=3 x1+x2=3.5分因为 y=2x，所以kAM=2x1，可得切线 AM的方程为 y-x21=2x1x-x1，即 y=2x1x-x21.同理可得切线BN的方程为 y=2x2x-x22.由题设中 A，B的要求，可设 A t,3t-3，B t+3,3t，10分将 A t,3t-3代入切线 AM的方程，得3t-3=2tx1-x21，即x21-2tx1+3t-3=0，可求得x1=t-t2-3t+3，这里取较小的根是因为M为左边的切点.同理可求得 x2=t+3+t2+3t+3.15分于是x1+x2=3 t-t2-3t+3+t+3+t2+3t+3=3，整理得t 1+3t2-3t+3+t2+3t+3=0t=0.故点 A的横坐标为0.20分11.20分设x1=3，xn+1=xn+14-xn+2 nN*，求 x1+x2+xn的值.(其中x表示不超过实数x的最大整数.)【解析】设 f x=x+14-x+2=12x+14+x+2.对于x0，f x连续且单调递减.由于x12，则0 x2=f x12，0 x42，即0 x2k2.5分令g x=x+f x.由于gx=1+12 x+14-12 x+20恒成立，故当x0时，g x单调递增.又由于g 2=4，故当x2时，g x4；当0 x2时，g x4k，且x1+x2k=x1+x2+x3+x4+x5+x2k-2+x2k-1+x2k=x1+g x2+g x4+g x2k-2+x2k4k+2x1+x2k+1=x1+x2+x3+x4+x5+x2k+x2k+1=x1+g x2+g x4+g x2k4k+3，故 x1+x2+x2k+1=4k+2=2n.当n=1时，x1=3.综上，当n=1时，x1=3；当n2时，x1+x2+xn=2n.20分2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(每小题每小题8分分，共计共计96分分)1.设集合 A=x x-12x-10 ，集合B=xx2+2x+m0.若 AB，则实数m的取值范围为 m-3.【答案】m-3【解析】集合 A=x 12k，a2，ak-1为正整数，那么 nk+1=k!nCkn+ak-1nCk-1n+a2nC2n+nC1n，以及 nCin=i+1Ci+1n+iCin得到 nk+1=k+1！Ck+1n+bkCkn+b2C2n+C1n，b2，bk为正整数.。所以a1=1，a2024=2024!.9.设实数a，b，c(0,2，且b3a或a+b43，则maxb-a,c-b,4-2c的最小值为23.【答案】23【解析】令t=maxb-a,c-b,4-2c，则tb-a，tc-b，t4-2c.当b3a时，3t+2t+t3 b-a+2 c-b+4-2c=b-3a+44，即t23.当a+b43时，t+2t+t b-a+2 c-b+4-2c=4-a+b83，即t23.当a=13，b=1，c=53时b-a=c-b=4-2c=23.所以maxb-a,c-b,4-2c的最小值为23.10.在平面直角坐标系 xOy 上，椭圆 E 的方程为x212+y24=1，F1为 E 的左焦点；圆 C 的方程为 x-a2+y-b2=r2，A 为 C 的圆心.直线 l 与椭圆 E 和圆 C 相切于同一点 P 3,1.当 OAF1最大时，实数 r=4+2 2+2.【答案】4+2 2+2【解析】因为P 3,1在椭圆上，所以直线l的方程为3x12+1y4=1，即 y=-x+4.由圆的性质可知，直线 AP与直线l垂直，所以圆心坐标 a,b满足b-1a-3=1，即圆心坐标轨迹方程为 x-y=2，记此直线为l.要使OAF1最大，则过定点O 0,0和定点F1-2 2,0所作的圆与直线l相切于 A.设直线l与x轴相交于点B 2,0.由切割线定理可知，BA2=BOBF1，即有a-22+b2=2 2+2 2将a-b=2代入上式解得a=2+2+2 2b=2+2 2(舍)或a=2-2+2 2b=-2+2 2 于是解得r=4+2 2+211.设n为正整数，且nk=0-1kCknk3+9k2+26k+24=1312，则n=9.【答案】9【解析】nk=0-1kCknk3+9k2+26k+24=nk=0-1kCk+1n+1-Ck+1nk+2k+3k+4=nk=0-1kn+1!k+4!n-k!-n!k+4!n-k-1!=nk=0-1kn+2n+3n+4Ck+4n+4-1kn+1n+2n+3Ck+4n+3=1n+2n+3n+4n+4k=0-1kCkn+4-1+C1n+4-C2n+4+C3n+4-1n+1n+2n+3n+3k=0-1kCkn+3-1+C1n+3-C2n+3+C3n+3=1n+1n+2n+3n+4n+1-1+n+4-n+4n+32+n+4n+3n+26-n+4-1+n+3-n+3n+22+n+3n+2n+16=12 n+3n+4=1312，解得：n=9.(以上用到了n+4k=0-1kCkn+4=1-1n+4=0，n+3k=0-1kCkn+3=1-1n+3=0.)12.设整数n4，从编号1，2，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为11n12.【答案】11n12【解析】记0为初始状态，A=含1、2、3、4之一：B=含1,3、1,4、2,3、2,4之一：X=含1,2、3,4之一；Y=含1,2,3、1,2,4、2,3,4、1,3,4之一.。记i为从i开始到达 X或Y所需要得次数，其中i为、A、Y之一.。由定义X=Y=0，并得到以下递推关系E B=1-2nE B+1，E A=1-3nE A+2nE B+1，E=1-4nE+4nE A+1，解得：E B=n2，E A=2n3，E=11n12.二、解答题二、解答题(13题满分题满分14分分，14、15题满分各题满分各20分分，合计合计54)13.正实数k1，k2，k3满足k1k2k3；实数c1，c2满足c1=k2-k1，c2-c1=2 k3-k2,定义函数f x=k1x,0 x1k2x-c1,12g x=k1x,0 x1k2x-c112,12试问，当k1，k2，k3满足什么条件时，存在 A0使得定义在0,A上的函数 g x+f A-x恰在两点处达到最小值？【解析】对 A的取值分类讨论.。(1)当 A1时，g x+f A-x=k1A,0 xAk1x,Ax1k2x-k2-k112,12此时，g x+f A-x最小值点有无穷多个，不合，舍去.。(2)当 1 A 2 时，g x+f A-x=k1-k2x+k2A-1+k1,0 xA-1k1A,A-1x1k2-k1x+k1A-k2-k112,1xAk2x-k2-k112,A2此时，g x+f A-x最小值点有无穷多个，不合，舍去.。(3)当2 A3时，g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k1,0 xA-2k1-k2x+k2A-1+k1,A-2x1k2A-13 k2-k112,1xA-1k2-k1x+k1A-k2-k112,A-1x2k3-k1x+k1A-k3-k26,2A此时，g x+f A-x最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去.。(4)当3 A4时，g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k1,0 x1k2-k3x+k3A-k2-k112-2 k3-k2,1xA-2k2A-13 k2-k112,A-2x2k3-k2x+k2A-k3-k26-k2+k1,2xA-1k3-k1x+k1A-k3-k26,A-1xAk3x-k3-k26,xA此时，g x+f A-x最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去.。(以上四类7分)g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k2,0 x1k2-k3x+k3A-k2-k112-2 k3-k2,1degg x.若对无穷多个素数 p，pf x+g x存在有理根，证明：f x必存在有理根.【解析】证明：记 pf x+g x的有理根为p=rpsp，rp,sp=1.由 pf p+g p=0，得到-p=g pf p，所以p有界.。(5分)若子列pi，则必有 f=0.下证可为有理数.。设 f x=anxn+a1x+a0，ana00；g x=bmxn+b1x+b0，bm0，mn，由 pf p+g p=0得到sppan,rppa0+b0.记 pa0+b0=rplp，lp为整数.。(1)若有无穷多个素数 p满足 psp，此时span，所以存在无穷多个素数 pi，spi=s.(10分)(2)若有无穷多个素数 pi满足 psp，此时sppan.因此存在整数dan，所以存在无穷多个素数 p满足sp=p，为整数.。从而rpsp=pa0+b0p1lp.(1)若lp，则p0；(2)若lp有界，则p=rpspa01l.(20分)所以为有理数.。证毕.。2024年四川省高中数学联赛初赛试题(考试时间：2024年5月19日9:0011:00)一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.设函数 f x=ln x+x-2的零点都在区间a,b a,bZ,ab1，若logab+logba=52，则ba+4的最大值为14.3.设aR，若函数 f x=ax-ax-2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数a的最小值为1.4.用 f X,表示点 X与曲线上任意一点距离的最小值.已知O:x2+y2=1及O1：x-42+y2=4，设P为O上的动点，则 f P,O1的最大值为3.5.设ABC中，AC=2，ABC=2BAC，则ABC面积的最大值为6 3-9.6.将边长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转45得到一个十面体 ABCD-EFGH(如图)，则该十面体的体积为2+23.7.若T=100k=1299+k3101-k，则T的末尾数字0的个数为3.8.记I=1,4,5,6，U=1,2,3,25，集合U的子集 A=a1,a2,a3,a4,a5，满足 ai-ajI 1ij5，则符合条件的集合 A的个数为717.(用具体数字作答)二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共3小题小题，满分满分56分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t为正实数，若曲线 y=tex与椭圆C：x22+y2=1交于 A、B两个不同的点，求证：直线 AB的斜率k22.【解析】证明：设 A x1,y1，B x2,y2，其中x10，ab，则a-blna-lnba+b2.取a=ex1，b=ex2，得ex1-ex2x1-x2ex1+ex22.k=y1-y2x1-x2=t ex1-ex2x1-x22k.(1)4分将x212+y21=1和x222+y22=1相减，得x1+x2x1-x22+y1+y2y1-y2=0，x1+x2=-2k y1+y2.(2)8分再将x212+y21=1和x222+y22=1相加，得x21+x222+y21+y22=2.(3)注意到：x1x2时，由x21+x222x1x2知x21+x222x1+x224，结合(1)、(2)、(3)，知2=x21+x222+y21+y22x1+x224+y1+y222=4k2y1+y224+y1+y2224k4+2k2，12分2k4+k2-10，即 2k2-1k2+10，解得k22.16分10.(20分)设复数x，y，z满足：x+2y+3z=1.求 x 2+y 2+z 2+x2+y2+z2的最小值.【解析】解：一方面，x=114，y=17，z=314时，x 2+y 2+z 2+x2+y2+z2=17；5分另一方面，下证：x2+y2+z2+x2+y2+z217.由于x，y，z旋转同一个角度，已知和结论不变.因此，不妨设 x2+y2+z2为实数.设x=x1+iy1，y=x2+iy2，z=x3+iy3，其中x1，x2，x3，y1，y2，y3R，则条件变为：x1+2x2+3x32+y1+2y2+3y32=1，且x1y1+x2y2+x3y3=0.(1)待证式变为：3k=1x2k+3k=1y2k+3k=1x2k-3k=1y2k17，即2max3k=1x2k,3k=1y2k 17.因此，只需证明：max3k=1x2k,3k=1y2k 114.(2)10分(反证法)假设结论不成立，即max3k=1x2k,3k=1y2k 114，从而3k=1x2k114，3k=1y2k114，在空间直角坐标系中，设O 0,0,0，A x1,x2,x3，B y1,y2,y3，P 1,2,3，则 OA2=3k=1x2k114，OB2=3k=1y2k114，由x1y1+x2y2+x3y3=0知OAOB，记P在面OAB上的投影为P，则 OP OP=14，x1+2x2+3x32=OPOA2=OP OA2=OP 2 OA2cos2142114cos2=cos2，15分这里为向量OA与OP 的夹角.类似可知，y1+2y2+3y32cos290-=sin2，x1+2x2+3x32+y1+2y2+3y320时，则akk，且ak和k同奇偶；若ak0.由归纳假设知，akk，且ak和k同奇偶，于是ak和k+1不同奇偶.由ak+1=ak+1或者ak+1=-ak，知 0ak+1-k=-k+1+1，且 ak+1和k+1不同奇偶.情形2：若ak0.由归纳假设知，ak-k+1，且ak和k不同奇偶，于是ak和k+1同奇偶.由ak+1=ak+1或者 ak+1=-ak，知 0 ak+1 2-k 1-k+1，且和 k+1 不同奇偶；或者 0 ak+1 k-1 n2，此时n=2k-1，xn+1,n+1-2k=x2k,0=0=Ckn-Ck-1n成立.所以结论(1)对任意k=0，1，2，n+12成立.10分对于(2)，分情况讨论：对任意k=0，1，2，n-12，(1-1)若k=0.易知xn+1,-n=1=C0n+1-n-C-1n+1-n，此时结论(1)成立.(1-2)对任意k=1，2，n-12，注意此时k-1 0,1,2,n-22 ，xn+1,1-n+1+2k=xn,1-n+2 k-1+xn,n-2k=Ck-1n-1-Ck-2n-1+Ckn-1-Ck-1n-1=Ck-1n-1+Ckn-1-Ck-2n-1+Ck-1n-1=Ckn-Ck-1n.所以结论(2)对任意k=0，1，2，n-12成立.由归纳原理知，对任意的正整数n2，结论(1)、(2)都成立.引理2得证.15分回到原题：注意到：所求的组数为Sn=n2k=0 xn,n-2k+n2-1k=0 xn,1-n+2k，S2n+1=nk=0 x2n+1,2n+1-2k+n-1k=0 x2n+1,-2n+2k=nk=0Ck2n-Ck-12n+n-1k=0Ck2n-Ck-12n=Cn2n-C-12n+Cn-12n-C-12n=Cn2n+Cn-12n=Cn2n+1，及S2n=nk=0 x2n,2n-2k+n-1k=0 x2n,1-2n+2k=nk=0Ck2n-1-Ck-12n-1+n-1k=0Ck2n-1-Ck-12n-1.=Cn2n-1-C-12n-1+Cn-12n-1-C-12n-1=Cn2n-1+Cn-12n-1=Cn2n.综上可知，所求的组数为Sn=Cn2nnN*,n2.20分注：猜出答案所求的组数为Sn=Cn2nnN*,n2，可以得5分.2024年吉林省高中数学联赛初赛试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共6小题小题，每小题每小题 x分分，满分满分 x分分.1.记S=32+432-4+42+442-4+52+452-4+132+4132-4，则与S最接近的整数为(B)A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】当m3时，m2+4m2-4=1+8m2-4=1+21m-2-1m+2所以S=13m=3m2+4m2-4=11+213m=31m-2-1m+2=11+211+12+13+14-112-113-114-115=15-2113+114+11515-231314.5故正确选项为B.2.在四边形 ABCD中，ABCD，AC=AB+AD,R.若+=32，则CDAB=(B)A.13B.12C.1D.2【答案】B【解析】设 AB=tCDtR又 AC=AB+AD，所以 AC=tCD+AD=tCD+AC+CD即 1-AC=t+CD又 AC、CD不共线所以1-=0t+=0，又+=32解得=1=12t=-2，从而 AB=-2CD，所以CDAB=12.故正确选项为B.3.函数 f x=ax3-6x aR，若 f x2对x-1,12成立，则(C)A.f x1对x-12,12成立B.f x32对x-12,12成立C.f x18对x-32,32成立D.f x352对x-32,32成立【答案】C【解析】由f-1=-a+6-2,f-12=-a8+32.得8a8.即a只可能为8.又8x3-6x-2=8 x+122x-10对x-1,12成立，8x3-6x-2=8 x-122x+10对x-1,12成立，即 8x3-6x2对x-1,12成立所以a=8.经检验，正确选项为C.4.在正四面体 ABCD中，棱 AD的中点和面BCD的中心的连线为MN，棱CD的中点和面 ABC的中心的连线为PQ，则MN与PQ所成角的余弦值为(A)A.118B.117C.116D.115【答案】A【解析】设棱长为a，如图，取ME=a3，取 BC的中点为 F，连 AF，DF，NQ，QE，可得 FN=13FD，FQ=13FA，故NQ AD，且NQ=13AD=a3，所以四边形MNQE是平行四边形，所以EQMN，在DPE中，DP=a2，DE=56a，PDE=60，由余弦定理得，EP2=1936a2，又在PQE中，PQ=EQ=MN=a2，由余弦定理得，cosPQE=-118，所以MN与PQ所成角的余弦值为118，故正确选项为 A.5.已知函数 f x=2x4-18x2+12x+68+x2-x+1，则(B)A.f x的最小值为8B.f x的最小值为9C.f x=8有1个实根D.f x=9有1个实根【答案】B【解析】P x,x2是抛物线 y=x2上一点，P到直线 y=x-1的距离为 PQ=x2-x+1-12+12=22x2-x+1=22x2-x+1，P到点M-3,5的距离为 PM=x+32+x2-52，当M，P，Q共线时，PQ+PM取最小值，最小值为M-3,5到 y=x-1的距离-3-5-12=9 22.因为 y=222x2-x+1+x+32+x2-52 =2PQ+PM且 PQ+PM的最小值为9 22，所以 y的最小值为9，且在交点P-2,4或P 1,1处取到(如图).故正确选项为B.6.已知 A，B，C是平面上三个不同点，且BC=a，CA=b，AB=c，则ca+b+bc的最小值为(A)A.2-12B.22-12C.2-22D.1-22【答案】A【解析】由题意b+ca，则ca+b+bc=ca+b+b+cc-1ca+b+a+b+c2c-1=ca+b+a+b2c-122ca+ba+b2c-12=2-12，当b+c=a且ca+b=a+b2c，即a=2+12c，b=2-12c时取等号；所以ca</p>