广东省广州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）.docx

广州中学2022-2023学年高二第一学期期末考试数学试题班级_姓名_考号_一、单项选择题(每小题5分，共40分)1. 经过点且与直线垂直的直线方程为( )A. B. C. D. 2. 若平面，的法向量分别为(1，2，4)，(x，1，2)，且，则x的值为( )A. 10B. 10C. D. 3. 已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为( )A. B. C. D. 4. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 A. B. C. D. 5. 已知等比数列满足，且成等差数列，则( )A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A. 2B. C. D. 7. 在四面体中，点G是的重心，设，则( )A. B. C. D. 8. 已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是A. B. ,C D. )二、多项选择题(每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分)9. 已知圆：和圆：，以下结论正确的是( )A. 若和只有一个公共点，则B. 若，则和关于直线对称C. 若，则和外离D. 若且和公共弦长为，则10. 已知曲线C的方程为(，且，)，则下列结论正确的是( )A. 当时，曲线C为圆B. 若曲线C为椭圆，且焦距为，则C. 当或时，曲线C为双曲线D. 当曲线C为双曲线时，焦距等于411. 已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是( )A. 若是等差数列，则B. 若是等比数列，则C. 若是递减等差数列，则当取得最大值时，或D. 若是递增等差数列，对恒成立，则12. 如图所示，在正方体中，为的中点.则( )A. B. C. D. 三、填空题(每小题5分，共20分)13. 两直线与平行，则它们之间的距离为_.14. 已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则_15. 如图,在棱长都为1的平行六面体中,两两夹角均为,则_.16. 已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_.四、解答题(共6小题，共计70分)17. 已知等差数列满足.(1)求数列通项公式;(2)若数列满足,再从;这三个条件中任选一个作为已知,求数列的前项和.18. 已知双曲线(1)若，求双曲线焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线离心率为，求实数的取值范围19. 如图，在长方体中，E为AB的中点.(1)证明：；(2)求点E到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.20. 已知抛物线的准线方程是.()求抛物线的方程；()设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.21. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面，是中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：二面角的大小是；若_，求与平面所成角的正弦值22. 已知圆，P(2，0)，M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C(1)求曲线C方程；(2)已知直线l：x8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，垂足为，垂足为，若D(3，0)，且的面积是ABD面积的5倍，求ABD面积的最大值广州中学2022-2023学年高二第一学期期末考试数学试题班级_姓名_考号_一、单项选择题(每小题5分，共40分)1. 经过点且与直线垂直的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.【详解】因为所求直线与直线垂直，所以其斜率为，又所求直线过点，因此，所求直线方程为，即.故选：C.2. 若平面，的法向量分别为(1，2，4)，(x，1，2)，且，则x的值为( )A. 10B. 10C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值【详解】解：因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以(1，2，4)·(x，1，2)0，解得x10故选：B3. 已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出原点到直线的距离，即为所求.【详解】当与直线垂直时，圆的半径最小，因此，圆半径的最小值为.故选：B.4. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】依题意,所以,从而,故选B【考点定位】考查双曲线方程5. 已知等比数列满足，且成等差数列，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值【详解】成等差数列，得，即：，所以16，故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.6. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.【详解】易知抛物线的焦点(2，0)，准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为 ，又因为c=2解得a=4所以离心率 故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.7. 在四面体中，点G是的重心，设，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设是中点，.故选：B8. 已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是A. B. ,C. D. )【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C(2,0)，半径r，设P(x，y)，因为两切线，如下图，PAPB，由切线性质定理，知：PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形PACB为正方形，所以，PC2，则：，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.直线过定点(0，2)，直线方程即，只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是).本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多项选择题(每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分)9. 已知圆：和圆：，以下结论正确的是( )A. 若和只有一个公共点，则B. 若，则和关于直线对称C. 若，则和外离D. 若且和的公共弦长为，则【答案】BCD【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.圆心距.当时，两圆内切，和只有一个公共点，A选项错误.当时，两个圆的半径相等，和关于直线对称，B选项正确.当时，即，和外离，C选项正确.当，所以，所以两圆相交，两式相减并化简得，即相交弦所在直线方程为，所以公共弦长为，D选项正确.故选：BCD10. 已知曲线C的方程为(，且，)，则下列结论正确的是( )A. 当时，曲线C为圆B. 若曲线C为椭圆，且焦距为，则C. 当或时，曲线C为双曲线D. 当曲线C为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【解析】【分析】写出当时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当或时，判断的正负，即可判断C; 当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；若曲线C为椭圆，且焦距为，则当焦点在x轴上， 且 ，解得 ；当焦点在y轴上， 且 ，解得 ,故此时或，故B错误；当时， ，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；当时， ，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；当曲线C为双曲线时， ，即或，当时，焦距 ，当时，焦距 ，故D错误，故选：AC11. 已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是( )A. 若是等差数列，则B. 若是等比数列，则C. 若是递减等差数列，则当取得最大值时，或D. 若是递增等差数列，对恒成立，则【答案】BC【解析】【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根，由韦达定理得，所以解得，或，；对于A选项：若等差数列，则，故A不正确；对于B选项：若是等比数列，则，因为，所以，则，故B正确；对于C选项：若是递减等差数列，所以，解得公差，首项，所以，故当或时取得最大值，故C正确；对于D选项：若是递增等差数列，所以，解得公差，首项1，所以，因为对恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确.故选：BC.12. 如图所示，在正方体中，为的中点.则( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，则，因为，所以，因为，所以，因此选项A正确；因为，所以，所以选项B正确；因为,所以有，所以选项C正确；因为，所以有，所以不正确，因此选项D不正确，故选：ABC三、填空题(每小题5分，共20分)13. 两直线与平行，则它们之间的距离为_.【答案】【解析】【详解】因为直线与平行，得，所以，即，化为由平行直线距离公式.14. 已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则_【答案】【解析】【分析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】由韦达定理可知，则，从而，且.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.15. 如图,在棱长都为1的平行六面体中,两两夹角均为,则_.【答案】0【解析】【分析】根据空间向量的加减,将转化为之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.【详解】解:由题知平行六面体棱长为1,且两两夹角均为,所以.故答案为:016. 已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【详解】由已知得，故，的面积为，又，又，.即的取值范围为.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题四、解答题(共6小题，共计70分)17. 已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,再从;这三个条件中任选一个作为已知,求数列的前项和.【答案】(1) (2)选时,;选时,;选时,.【解析】【分析】(1)由题意设出公差,代入中,求出基本量即可求出通项公式;(2)先选择一种条件,根据递推关系得到为等比数列,求出的首项和公比,用分组求和即可得.【小问1详解】解:由题知是等差数列,记数列公差为,因为,所以,解得,故;【小问2详解】由(1)知,当选择时:因为,故,所以,即为以2为首项,2为公比的等比数列,所以,;当选择时:因为,故,所以,即为以2为首项,为公比的等比数列,所以;当选择时:因为,故,所以,即为以2为首项,-1为公比的等比数列,所以,.18. 已知双曲线(1)若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线的离心率为，求实数的取值范围【答案】(1)焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为；(2).【解析】【分析】(1)根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)先求(用表示)，再根据解不等式得结果.【详解】(1)当时，双曲线方程化为，所以，所以焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.(2)因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 如图，在长方体中，E为AB的中点.(1)证明：；(2)求点E到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)；(3).【解析】【分析】(1)首先建立空间直角坐标系，证明；(2)求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；(3)求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】(1)如图，以，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系， ，所以；(2)， ， 设平面的法向量为，则，即，令则，所以，则点到平面的距离；(3)由(1)可知，又，且，平面，是平面的法向量，平面与平面夹角是锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.20. 已知抛物线的准线方程是.()求抛物线的方程；()设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】()()详见解析【解析】【详解】试题分析：()利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；()直线y=k(x-2)(k0)与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OMON试题解析：()解：因为抛物线的准线方程为， 所以 ， 解得， 所以 抛物线的方程为. ()证明：设，.将代入，消去整理得 .所以 . 由，两式相乘，得 ， 注意到，异号，所以 所以直线与直线的斜率之积为， 即 . 考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程21. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面，是中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：二面角的大小是；若_，求与平面所成角的正弦值【答案】答案见解析.【解析】【分析】若选，先证明，轴，以为坐标原点，以，所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，再利用向量法求与平面所成角的正弦值；若选，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】若选：因为平面，所以，所以就是二面角的平面角，所以.过作轴，以为坐标原点，以，所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.所以.取平面的一个法向量.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值是.若选，因平面，所以，两两垂直.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.所以.取平面的一个法向量.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值是.【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 已知圆，P(2，0)，M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C(1)求曲线C方程；(2)已知直线l：x8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，垂足为，垂足为，若D(3，0)，且的面积是ABD面积的5倍，求ABD面积的最大值【答案】(1) (2)3【解析】【分析】(1)由定义法求出曲线C的方程；(2)先判断出直线AB过定点H(2,0)或H(4,0)；当H(2,0)时，可设直线AB：.用“设而不求法”表示出，不妨设()，利用函数的单调性求出ABD面积的最大值.【小问1详解】因为线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，所以,所以,符合椭圆的定义，所以点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，其中，所以，所以曲线C的方程为.【小问2详解】不妨设直线l：x8交x轴于G(8,0)，直线AB交x轴于H(h,0)，则,.因为， ，所以.又因为的面积是ABD面积的5倍，所以.因为G(8,0)，D(3，0)，所以，所以H(2,0)或H(4,0).当H(4,0)时，则H与A(或H与B)重合，不合题意；当H(2,0)时，要想构成三角形ABD，直线AB的斜率不为0，可设直线AB：.设,则，消去x可得：，所以，所以.不妨设()，则，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，所以当t=1时，此时最大综上所述，ABD面积的最大值为3.【点睛】(1)“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；(2)解析几何中最值计算方法有两类：几何法：利用几何图形求最值；代数法：表示为函数，利用函数求最值.