九年级数学上册 第4章 一元二次方程 4.7 一元二次方程的应用（第1课时） （新版）青岛版 .ppt
4.7 一元二次方程的应用第1课时1.1.了解几种特殊图形的面积公式了解几种特殊图形的面积公式.2.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题它解决实际问题.1.1.列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤?对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握深刻体会与真正掌握.2.2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？积公式是什么呢？3.3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？又是什么？4.4.梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？5.5.菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？6.6.平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？7.7.圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？例例1 1 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面长宽比例相正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、左、右边衬等宽右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721【解析解析】这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央的矩形依题知正中央的矩形两边之比也为两边之比也为9:7.9:7.【例题例题】解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm9xcm,7xcm 依题意得依题意得解得解得 左、右边衬的宽度为左、右边衬的宽度为:故上、下边衬的宽度为故上、下边衬的宽度为:解方程得解方程得(以下请自己完成以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际方程的哪个根合乎实际意义意义?为什么为什么?解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm,7xcm,依题意得依题意得例例2 2 学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长40m40m、宽、宽20m20m的长方的长方形空地上计划新建一块长形空地上计划新建一块长9m9m、宽、宽7m7m的长方形花圃的长方形花圃.（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m1m2 2，请你给出你，请你给出你认为合适的三种不同的方案认为合适的三种不同的方案.（2 2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加方形花圃的面积能否增加2m2m2 2？如果能，？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.【例题例题】【解析解析】(1)(1)方案方案1 1：长为：长为 m m，宽为，宽为7m;7m;方案方案2 2：长为：长为16m16m，宽为，宽为4m;4m;方案方案3 3：长：长=宽宽=8m;=8m;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2 2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面 积不能增加积不能增加2m2m2 2.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16m.16m.设长方形花圃的设长方形花圃的长为长为xmxm，则宽为（，则宽为（16-x16-x）m.m.x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2，x x2 2-16x+65=0-16x+65=0，此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加加2m2m2 21.1.用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若能若能够够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcmxcm,则宽为则宽为 cm,cm,即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.【跟踪训练跟踪训练】2.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32m,32m,宽宽20m20m的长方形的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并并请全校同学参与设计请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案现在有两位学生各设计了一种方案(如图如图),),根据两种设计方案各列出方程根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽求图中道路的宽分别是多少时，使图分别是多少时，使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540m540m2 2.(1)(1)(2)(2)【解析解析】（1)1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x xm m，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1m.1m.(1)(1)则横向的路面面积为则横向的路面面积为 （2 2）此题的相等关系是矩形面积）此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于减去道路面积等于540m540m2 2.解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为xmxm，32x m32x m2 2,纵向的路面面积为纵向的路面面积为 20 x m20 x m2 2.注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是x x2 2,所列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是m m2 2.(2)(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是m m2 2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，时，道路总面积为：道路总面积为：草坪面积为草坪面积为323220-100=540 20-100=540（m m2 2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2m.2m.解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改图形经过移动，它的面积大小不会改变变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）原图的位置修路）横向路面横向路面:如图，设路宽为如图，设路宽为xmxm，32x32xm2纵向路面面积为纵向路面面积为:2020 xm2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向草坪矩形的宽（纵向:）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540m=540m2 2(20-x)m(20-x)m（32-x)m32-x)m即即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法一相同再往下的计算、格式书写与解法一相同.(2)(2)1.1.如图是宽为如图是宽为20m,20m,长为长为32m32m的矩形耕地的矩形耕地,要修筑同样宽要修筑同样宽的三条道路的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),),把耕把耕地分成六块大小相等的试验地地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570m570m2 2,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?【解析解析】设道路宽为设道路宽为xmxm，化简得，化简得，其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1m.1m.则则2.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕四周外围环绕着宽度相等的小路着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m246m2 2,求小路求小路的宽度的宽度.A AB BC CD D化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3 m.3 m.【解析解析】设小路宽为设小路宽为x mx m，则，则3.3.如图，有长为如图，有长为24m24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度用长度a a为为10m10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽设花圃的宽ABAB为为x xm m，面积为，面积为SmSm2 2，（1 1）求）求S S与与x x的函数关系式的函数关系式;（2 2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45m45m2 2的花圃，的花圃，ABAB的长是多少米的长是多少米？【解析解析】(1)(1)因为宽因为宽ABAB为为xmxm，则则BCBC为为(24-3x)m(24-3x)m，这时面积，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得 x x8 8xx2 2=3=3不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5m5m1.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.2.这里要特别注意这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问题的要求题的要求.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。雷巴柯夫
