2023年高考全国乙卷数学(文)真题（含解析）.docx

2023年高考数学全国乙卷(文)满分150分 考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1. （ ）A. 1B. 2C. 5D. 52 设全集，集合，则（ ）A. 0,2,4,6,8B. C. 1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ） A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC中，内角对边分别是a,b,c，若acosBbcosA=c，且C=5，则（ ）A. 10B. 5C. 310D. 255. 已知f(x)=xexeax1是偶函数，则a=（ ）A. 2B. C. 1D. 26. 正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED=（ ）A. 5B. 3C. 25D. 57. 设O为平面坐标系坐标原点，在区域x,y1x2+y24内随机取一点A，则直线OA的倾斜角不大于4的概率为（ ）A. 18B. 16C. 14D. 128. 函数存在3个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. 4,1D. 3,09. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A. 56B. C. 12D. 10. 已知函数f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，直线x=6和x=23为函数的图像的两条对称轴，则f512=（ ）A. 32B. 12C. 12D. 3211. 已知实数x,y满足x2+y24x2y4=0，则xy的最大值是（ ）A. 1+322B. 4C. 1+32D. 712. 设A，B为双曲线x2y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A. 1,1B. 1,2C. 1,3D. 1,4二、填空题13. 已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为_.14. 若，则sincos=_15. 若x，y满足约束条件x3y1x+2y93x+y7，则z=2xy的最大值为_.16. 已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA=_三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yii=1,2,10试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为z，样本方差为s2（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知（1）求an的通项公式；（2）求数列an前n项和Tn19. 如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB=2，PB=PC=6，的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BFAO（1）求证：EF /平面ADO；（2）若POF=120°，求三棱锥PABC的体积20. 已知函数（1）当a=1时，求曲线在点1,fx处的切线方程（2）若函数fx在0,+单调递增，求a的取值范围21. 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53，点A2,0在C上（1）求C的方程；（2）过点2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2：x=2cosy=2sin（为参数，2<<）.（1）写出C1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围【选修4-5】（10分）23. 已知fx=2x+x2（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组fxyx+y60所确定的平面区域的面积2023年高考全国乙卷数学(文)满分150分 考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1. （ ）A. 1B. 2C. 5D. 5【答案】C【解析】由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i，则2+i2+2i3=1-2i=12+-22=5.故选：C.2. 设全集，集合，则（ ）A. 0,2,4,6,8B. C. 1,2,4,6,8D. U【答案】A【解析】由题意可得UN=2,4,8，则MUN=0,2,4,6,8.故选：A.3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ） A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1,C1,D1,A1三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A1B1C1D1去掉长方体ONIC1-LMHB1之后所得的几何体， 该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2+4×2×3-2×1×1=30.故选：D.4. 在ABC中，内角的对边分别是a,b,c，若acosB-bcosA=c，且C=5，则（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC，即sinAcosB-sinBcosA=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，整理可得sinBcosA=0，由于B0,，故sinB>0，据此可得cosA=0,A=2，则B=-A-C=-2-5=310.故选：C.5. 已知f(x)=xexeax-1是偶函数，则a=（ ）A. -2B. C. 1D. 2【答案】D【解析】因为fx=xexeax-1为偶函数，则fx-f-x=xexeax-1-xe-xe-ax-1=xex-ea-1xeax-1=0，又因为x不恒为0，可得ex-ea-1x=0，即ex=ea-1x，则x=a-1x，即1=a-1，解得a=2.故选：D.6. 正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED=（ ）A. 5B. 3C. 25D. 5【答案】B【解析】方法一：以AB,AD为基底向量，可知AB=AD=2,ABAD=0，则EC=EB+BC=12AB+AD,ED=EA+AD=-12AB+AD，所以ECED=12AB+AD-12AB+AD=-14AB2+AD2=-1+4=3；方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E1,0,C2,2,D0,2，可得EC=1,2,ED=-1,2，所以ECED=-1+4=3；方法三：由题意可得：ED=EC=5,CD=2，在CDE中，由余弦定理可得cosDEC=DE2+CE2-DC22DECE=5+5-42×5×5=35，所以ECED=ECEDcosDEC=5×5×35=3.故选：B.7. 设O为平面坐标系的坐标原点，在区域x,y1x2+y24内随机取一点A，则直线OA的倾斜角不大于4的概率为（ ）A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】C【解析】因为区域x,y|1x2+y24表示以O0,0圆心，外圆半径R=2，内圆半径r=1的圆环，则直线OA的倾斜角不大于4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角MON=4，结合对称性可得所求概率P=2×42=14.故选：C.8. 函数存在3个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. -4,-1D. -3,0【答案】B【解析】f(x)=x3+ax+2，则f'(x)=3x2+a，若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则a<0，令f'(x)=3x2+a=0，解得x=-a3或-a3，且当x-,-a3-a3,+时，f'(x)>0，当x-a3,-a3，f'(x)<0，故fx的极大值为f-a3，极小值为f-a3，若fx要存在3个零点，则f-a3>0f-a3<0，即a3-a3-a-a3+2>0-a3-a3+a-a3+2<0，解得a<-3，故选：B.9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A. 56B. C. 12D. 【答案】A【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A62=30种，则其概率为3036=56，故选：A.10. 已知函数f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，直线x=6和x=23为函数的图像的两条对称轴，则f-512=（ ）A. -32B. -12C. 12D. 32【答案】D【解析】因为f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，所以T2=23-6=2，且>0，则T=，w=2T=2，当x=6时，fx取得最小值，则26+=2k-2，kZ，则=2k-56，kZ，不妨取k=0，则fx=sin2x-56，则f-512=sin-53=32，故选：D.11. 已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）A. 1+322B. 4C. 1+32D. 7【答案】C【解析】法一：令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+2k-6y+k2-4k-4=0，因为存在实数y，则0，即2k-62-4×2k2-4k-40，化简得k2-2k-170，解得1-32k1+32，故x-y 的最大值是，法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得x-22+y-12=9，令x=3cos+2，y=3sin+1，其中0,2，则x-y=3cos-3sin+1=32cos+4+1，0,2，所以+44,94，则+4=2，即=74时，x-y取得最大值，法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=|2-1-k|23，解得1-32k1+32故选：C.12. 设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A. 1,1B. -1,2C. 1,3D. -1,-4【答案】D【解析】设，则AB的中点，可得kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x12-y129=1x22-y229=1，两式相减得x12-x22-y12-y229=0，所以kABk=y12-y22x12-x22=9.对于选项A： 可得k=1,kAB=9，则AB:y=9x-8，联立方程y=9x-8x2-y29=1，消去y得72x2-2×72x+73=0，此时=-2×722-4×72×73=-288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=-2,kAB=-92，则AB:y=-92x-52，联立方程y=-92x-52x2-y29=1，消去y得45x2+2×45x+61=0，此时=2×452-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3,kAB=3，则AB:y=3x由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,kAB=94，则AB:y=94x-74，联立方程y=94x-74x2-y29=1，消去y得63x2+126x-193=0，此时=1262+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.二、填空题13. 已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为_.【答案】94【解析】由题意可得：52=2p×1，则2p=5，抛物线的方程为y2=5x，准线方程为x=-54，点A到C的准线的距离为1-54=94.故答案为：94.14. 若，则sin-cos=_【答案】-55【解析】因为0,2，则sin>0,cos>0，又因为tan=sincos=12，则，且cos2+sin2=4sin2+sin2=5sin2=1，解得sin=55或sin=-55（舍去），所以sin-cos=sin-2sin=-sin=-55.故答案为：-55.15. 若x，y满足约束条件x-3y-1x+2y93x+y7，则z=2x-y的最大值为_.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：z=2x-y，移项得y=2x-z，联立有x-3y=-1x+2y=9，解得x=5y=2，设A5,2，显然平移直线y=2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z最大，代入得z=8，故答案为：8.16. 已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA=_【答案】2【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN-ABC，设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r=ABsinACB=332=23，可得r=3，设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA,OO1，则OA=2,OO1=12SA，因OA2=OO12+O1A2，即4=3+14SA2，解得SA=2.故答案为：2.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yii=1,2,10试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为z，样本方差为s2（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1）z=11，； （2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【1】x=545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y=536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z=x-y=552.3-541.3=11， 的值分别为: ，故【2】由（1）知:z=11，故有z2s210所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知（1）求an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Tn【答案】（1）an=15-2n （2）Tn=14n-n2,n7n2-14n+98,n8【解析】【1】设等差数列的公差为d，由题意可得a2=a1+d=11S10=10a1+10×92d=40，即a1+d=112a1+9d=8，解得a1=13d=-2，所以an=13-2n-1=15-2n，【2】因为Sn=n13+15-2n2=14n-n2，令an=15-2n>0，解得n<152，且nN*，当n7时，则an>0，可得Tn=a1+a2+an=a1+a2+an=Sn=14n-n2；当n8时，则an<0，可得Tn=a1+a2+an=a1+a2+a7-a8+an=S7-Sn-S7=2S7-Sn=214×7-72-14n-n2=n2-14n+98；综上所述：Tn=14n-n2,n7n2-14n+98,n8.19. 如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，PB=PC=6，的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BFAO（1）求证：EF /平面ADO；（2）若POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积【答案】（1）证明见解析 （2）263【解析】【1】连接DE,OF，设，则，AO=-BA+12BC，BFAO，则BFAO=(1-t)BA+tBC(-BA+12BC)=(t-1)BA2+12tBC2=4(t-1)+4t=0，解得t=12，则F为AC的中点，由分别为的中点，于是DE/AB,DE=12AB,OF/AB,OF=12AB，即DE/OF,DE=OF，则四边形ODEF为平行四边形，EF/DO,EF=DO，又EF平面平面ADO，所以EF/平面ADO.【2】过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB=PC,O是BC中点，所以POBC，在RtPBO中，PB=6,BO=12BC=2，所以PO=PB2-OB2=6-2=2，因为ABBC,OF/AB，所以OFBC，又POOF=O，PO,OF平面POF，所以BC平面POF，又PM平面POF，所以BCPM，又BCFM=O，BC,FM平面ABC，所以PM平面ABC，即三棱锥P-ABC的高为PM，因为POF=120°，所以POM=60°，所以PM=POsin60°=2×32=3，又SABC=12ABBC=12×2×22=22，所以VP-ABC=13SABCPM=13×22×3=263.20. 已知函数（1）当a=-1时，求曲线在点1,fx处的切线方程（2）若函数fx在0,+单调递增，求a的取值范围【答案】（1）ln2x+y-ln2=0； （2）a|a12.【解析】【1】当a=-1时，fx=1x-1lnx+1x>-1，则f'x=-1x2×lnx+1+1x-1×1x+1，据此可得f1=0,f'1=-ln2，所以函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【2】由函数的解析式可得f'x=-1x2lnx+1+1x+a×1x+1x>-1，满足题意时f'x0在区间0,+上恒成立.令-1x2lnx+1+1x+a1x+10，则-x+1lnx+1+x+ax20，令gx=ax2+x-x+1lnx+1，原问题等价于gx0在区间0,+上恒成立，则g'x=2ax-lnx+1，当a0时，由于2ax0,lnx+1>0，故g'x<0，gx在区间0,+上单调递减，此时gx<g0=0，不合题意;令hx=g'x=2ax-lnx+1，则h'x=2a-1x+1，当a12，2a1时，由于1x+1<1，所以h'x>0,hx在区间0,+上单调递增，即g'x在区间0,+上单调递增，所以g'x>g'0=0，gx在区间0,+上单调递增，gx>g0=0，满足题意.当0<a<12时，由h'x=2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x0,12a-1时，h'x<0,hx在区间0,12a-1上单调递减，即g'x单调递减，注意到，故当x0,12a-1时，g'x<g'0=0，gx单调递减，由于g0=0，故当x0,12a-1时，gx<g0=0，不合题意.综上可知：实数a得取值范围是a|a12.21. 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53，点A-2,0在C上（1）求C的方程；（2）过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点【答案】（1）y29+x24=1 （2）证明见详解【解析】【1】由题意可得b=2a2=b2+c2e=ca=53，解得a=3b=2c=5，所以椭圆方程为y29+x24=1.【2】由题意可知：直线的斜率存在，设PQ:y=kx+2+3,Px1,y1,Qx2,y2，联立方程y=kx+2+3y29+x24=1，消去y得：4k2+9x2+8k2k+3x+16k2+3k=0，则=64k22k+32-644k2+9k2+3k=-1728k>0，解得k<0，可得x1+x2=-8k2k+34k2+9,x1x2=16k2+3k4k2+9，因为A-2,0，则直线AP:y=y1x1+2x+2，令x=0，解得y=2y1x1+2，即M0,2y1x1+2,同理可得N0,2y2x2+2，则2y1x1+2+2y2x2+22=kx1+2+3x1+2+kx2+2+3x2+2=kx1+2k+3x2+2+kx2+2k+3x1+2x1+2x2+2=2kx1x2+4k+3x1+x2+42k+3x1x2+2x1+x2+4=32kk2+3k4k2+9-8k4k+32k+34k2+9+42k+316k2+3k4k2+9-16k2k+34k2+9+4=10836=3，所以线段的中点是定点0,3.【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2：x=2cosy=2sin（为参数，2<<）.（1）写出C1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围【答案】（1）x2+y-12=1,x0,1,y1,2 （2）-,022,+【解析】【1】因=2sin，即2=2sin，可得x2+y2=2y，整理得x2+y-12=1，表示以为圆心，半径为1的圆，又因为x=cos=2sincos=sin2,y=sin=2sin2=1-cos2，且42，则22，则x=sin20,1,y=1-cos21,2，故C1:x2+y-12=1,x0,1,y1,2.【2】因为C2:x=2cosy=2sin（为参数，2<<），整理得x2+y2=4，表示圆心为O0,0，半径为2，且位于第二象限圆弧，如图所示，若直线y=x+m过1,1，则1=1+m，解得m=0；若直线y=x+m，即x-y+m=0与C2相切，则m2=2m>0，解得m=22，若直线y=x+m与C1,C2均没有公共点，则m>22或m<0，即实数m的取值范围-,022,+.【选修4-5】（10分）23. 已知fx=2x+x-2（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组fxyx+y-60所确定的平面区域的面积【答案】（1）-2,2； （2）6.【解析】【1】依题意，f(x)=3x-2,x>2x+2,0x2-3x+2,x<0，不等式f(x)6-x化为：x>23x-26-x或0x2x+26-x或x<0-3x+26-x，解x>23x-26-x，得无解；解0x2x+26-x，得0x2，解x<0-3x+26-x，得-2x<0，因此-2x2，所以原不等式的解集为：-2,2【2】作出不等式组f(x)yx+y-60表示的平面区域，如图中阴影ABC， 由y=-3x+2x+y=6，解得A(-2,8)，由y=x+2x+y=6, 解得C(2,4)，又，所以ABC的面积SABC=12|BD|×xC-xA=12|6-2|×|2-(-2)|=8