大题02 数列（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf

黄金冲刺大题 02 数列（精选 30 题）黄金冲刺大题 02 数列（精选 30 题）1（2024江苏南通江苏南通二模）二模）设数列 na的前n项和为nS，若2112nnSan-=+，*nN.(1)求1a，2a，并证明：数列1nnaa+是等差数列；(2)求20S.2（2024福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足12a=，12nnaan-=+（2n）(1)求数列 na的通项公式；(2)记数列1na的前n项和为nS，证明：1nS 3（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足121,1,nnnanaan+-=+为奇数为偶数且11a=(1)求数列 na的通项公式(2)求数列 na的前 100 项和100S4（2024浙江宁波浙江宁波二模）二模）已知等差数列 na的公差为 2，记数列 nb的前n项和为12,0,2nS bb=且满足12nnnbSa+=+.(1)证明：数列1nb+是等比数列；(2)求数列nna b的前n项和nT.5（2024浙江杭州浙江杭州二模）二模）已知等差数列 na的前n项和为nS，且*4224,21nnSS aan=+N(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb满足13b=，令21nnnnabab+=，求证：192nkkb=6（2024浙江浙江二模）二模）欧拉函数*Nnnj的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：11j=，42j=，84j=，数列 na满足*2Nnnanj=.(1)求1a，2a，3a，并求数列 na的通项公式；大题02 数列（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）(2)记222log1nnnnaba=-，求数列 nb的前n和nS.7（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足*12323(1)!,Nnaaanann+=+L(1)求 na的通项公式；(2)若1023k 且*Nk，记10241024kkkabaa-=，讨论数列 kb的单调性8（2024河北邯郸河北邯郸二模）二模）已知正项数列 na的前n项和为nS，23a=，且11nnSSS+=+(1)求 na的通项公式；(2)若14nnnnSba a+=，求数列 nb的前n项和nT9（2024福建三明福建三明三模）三模）已知数列 na满足2*1212Nnnnna aaan+-=L，(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 na的前 n 项和为nS，若不等式2114nnntSS-对任意的*Nn恒成立，求实数 t 的取值范围；(3)记221lognnba=，求证：*23112122Nnnnbbbbbbnbbb+-+L10（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知等差数列 na的前n项和为nS，数列 nb是等比数列，1133441,2,2abSbSb=+=+(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设1nnncbS=+，求数列 nc的前n项和nT11（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足12323(1)21nnaaanan+=-+L(1)求数列 na的通项公式；(2)若1232nnnabnn+=+，求数列 nb的前n项和nS12（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足1212133.34nnnnnaaaa-+=，*Nn(1)求数列 na的通项公式；(2)若1nnba=-，证明：121117.9nbbb+(1)求证：当5n 时，na成等差数列；(2)求na的前 n 项和nS16（2024湖南岳阳湖南岳阳三模）三模）已知等差数列 na满足：12a=，且1a，2a，4a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若等差数列 na的公差不为零且数列 nb满足：2411nnnnbaa=-+，求数列 nb的前n项和nT17（2024湖南湖南二模）二模）记nS为数列 na的前n项和，已知12121nnnanaaS+-+=-L.(1)证明：数列 nS是等比数列；(2)求最小的正整数m，使得1212nnmaaa+L对一切*nN都成立.18（2024河北石家庄河北石家庄二模）二模）已知数列 na满足113,7,2,.nnnanaaan+-=为奇数为偶数(1)写出234,a a a;(2)证明:数列216na-为等比数列;(3)若2nnba=，求数列3nnb-的前n项和nS.19（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，且23,22nnaSn a=+(1)求数列 na的通项公式；(2)若存在*nN，使得112231111nnnaa aa aa al+L成立，求实数l的取值范围20（2024湖北湖北二模）二模）已知各项均不为 0 的数列 na的前n项和为nS，且1111,4nnna aaS+=(1)求 na的通项公式；(2)若对于任意*,2nnnSlN成立，求实数l的取值范围21（2024湖北湖北模拟预测）模拟预测）数列 na中，11a=，29a=，且2128nnnaaa+=+，(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb的前n项和为nS，且满足2nnba=，10n nb b+，求nS22（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知nS是各项均为正数的数列 na的前n项和，22113230,13nnnnaaaaS+-=(1)求数列 na的通项公式；(2)若41nnbna=-，求数列 nb的前n项和nT23（2024湖北黄石湖北黄石三模）三模）已知等差数列 na的前n项和为nS，756S=，2820aa+=，等比数列 nb满足11ba=，3b是2a，8a的等比中项.(1)求数列 nb的通项公式；(2)设数列 nc满足cossin22nnnnncab=+，求数列 nc前4n项的和4nT.24（2024山东菏泽山东菏泽一模）一模）已知数列 na的前n项和为nS，且*22NnnSan=-(1)求数列 na的通项公式；(2)若221lognnba-=，11nnncb b+=，求证：12312ncccc+，求 na的通项公式.27（2024河北邢台河北邢台二模）二模）已知数列 na的前n项和为nS，且21nnSa=-(1)求 na的通项公式；(2)求证：12311112nSSSS+L28（2024江苏南通江苏南通二模）二模）已知数列na的前 n 项和为nS，14+=-nnnSaa，11a=-.(1)证明：数列12nnaa+-为等比数列；(2)设4(1)+=+nnabn n，求数列 nb的前 n 项和；(3)是否存在正整数 p，q（6pq），使得pS，6S，qS成等差数列？若存在，求 p，q；若不存在，说明理由.29（2024辽宁辽宁二模）二模）已知数列 na的各项是奇数，且na是正整数n的最大奇因数，34212nnSaaaaa=+L.(1)求620,a a的值；(2)求123,S SS的值；(3)求数列 nS的通项公式.30（2024山东山东二模）二模）记nS为数列 na的前n项和，211,cos42nnnaSanp=+=(1)求3a和 na的通项公式；(2)设数列1na的前n项和为nT，证明：12111118846nnkkT=-黄金冲刺大题 02 数列（精选 30 题）黄金冲刺大题 02 数列（精选 30 题）1（2024江苏南通江苏南通二模）二模）设数列 na的前n项和为nS，若2112nnSan-=+，*nN.(1)求1a，2a，并证明：数列1nnaa+是等差数列；(2)求20S.【答案】(1)14a=，22a=，证明见解析；(2)420.【分析】（1）直接代入1n=可得14a=，再代入2n=，结合1a的值求出22a=；再由2112nnSan-=+仿写出2111112nnSan-=-+，作差后得到142nnaan-+=-，即可证明结果.（2）由（1）知数列1nnaa+为等差数列，然后代入等差数列的前n项和公式求解即可.【详解】（1）当1n=时，由条件得11122aa-=，所以14a=.当2n=时，由条件得122152aaa+-=，所以22a=.因为2112nnSan-=+，所以2111112nnSan-=-+（2n），两式相减得：1112122nnnaaan-+=-，即142nnaan-+=-，所以 11412424nnnnaaaann+-+-+=+-=，从而数列1nnaa+为等差数列.（2）由（1）知142nnaan-+=-，所以141242nnaann+=+-=+，所以数列1nnaa+为等差数列，首项为126aa+=，所以 1219202012341920102aaaaSaaaaaa+=+=L，所以 20106784 224 424 2024202S+=-+-+-=L.2（2024福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足12a=，12nnaan-=+（2n）(1)求数列 na的通项公式；(2)记数列1na的前n项和为nS，证明：1nS【答案】(1)2nann=+，*nN；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）数列 na中，当2n 时，12nnaan-=+，即12nnaan-=，则12112312()()()()nnnnnaaaaaaaaaa-=-+-+2222462222nnnannnn+=+-+=+，而12a=满足上式，所以数列 na的通项公式是2nann=+，*nN（2）由（1）知21nannn n=+=+，*nN，则111111nan nnn=-+，因此11111 22 311nSnnn n=+-+1111111111223111nnnnn=-+-+-+-=-+，而1n，则1111n-+，所以1nS 3（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足121,1,nnnanaan+-=+为奇数为偶数且11a=(1)求数列 na的通项公式(2)求数列 na的前 100 项和100S【答案】(1)1222,21,nnnnan-=-为奇数为偶数(2)503 253-【分析】（1）由递推公式得，当*Nk，21ka-是首项为 1，公比为 2 的等比数列，令21kkba=+，kb是首项为 2，公比为 2 的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前n项和公式计算即可【详解】（1）由题意，得当*kN时，22121kkaa-=-，2121kkaa+=+将代入，得21212kkaa+-=，所以21ka-是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以1212kka-=又因为222121kkaa+=-，所以22221kkaa+=+，所以222121kkaa+=+令21kkba=+，则12kkbb+=，而21211aa=-=，1212ba=+=，所以 kb是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以2kkb=，所以221kka=-所以1222,21,nnnnan-=-为奇数为偶数（2）100139924100Saaaaaa=+01491250222212121=+-+-+-0149125022222250=+-505011 221 2501 21 2-=+-503 253=-4（2024浙江宁波浙江宁波二模）二模）已知等差数列 na的公差为 2，记数列 nb的前n项和为12,0,2nS bb=且满足12nnnbSa+=+.(1)证明：数列1nb+是等比数列；(2)求数列nna b的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析；(2)21 3112nnnTn n-+=-+.【分析】（1）根据通项与前n项和之间的关系，作差可得132nnbb+=+，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】（1）2n 时，111222nnnnnnnbbSSaab+-=-+-=+，即132nnbb+=+.又120,2bb=，也符合2132bb=+，所以1n 时，132nnbb+=+，即1131nnbb+=+.又1110b+=，所以10nb+，所以1131nnbb+=+，所以数列1nb+成等比数列.（2）由（1）易得131nnb-=-.由2112bba=+可得12a=，所以2nan=.所以11231232nnnna bnnn-=-=-，所以01212 1 32 33 331nnTnn n-=+-+L.令01211 32 33 33nMn-=+L，则12331 32 33 33nMn=+L，所以012121 311 323333331 32nnnnnnMnn-+-=-+=-=-L，所以21 312112nnnTMn nn n-+=-+=-+.5（2024浙江杭州浙江杭州二模）二模）已知等差数列 na的前n项和为nS，且*4224,21nnSS aan=+N(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb满足13b=，令21nnnnabab+=，求证：192nkkb=【答案】(1)21nann*=-N(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，由题意可得11114684212211adadandand+=+-=+-+，解方程求出1,a d，即可求出数列 na的通项公式；（2）由（1）可得12123nnbnbn+-=+，由累乘法可求出 nb的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d由4224,21nnSS aa=+，得11114684212211adadandand+=+-=+-+，解得：1a1,d2=，所以12121nannn*=+-=-N（2）由（1）知，12123nnnbnb+-=+，即12123nnbnbn+-=+，12321nnbnbn-=+，122521nnbnbn-=-，322151,75bbbb=，利用累乘法可得：12112123 253 1321 217 5nnnnnbbbnnbbbbbnn-=+-9911221212 2121nnnnn=-+-+，13b=也符合上式，11231kknnnbbbbbb=-=+L9111111112335572121nn=-+-+-+-+L911221n=-+所以191912212kknbn=-，kb单调递增，又211024!1023 10245122!(10242)!2bb=-，所以当*1512,Nkk时，kb单调递增；当*5131024,Nkk时，11kkbb-=-，所以当*5121024,Nkk时，kb单调递减8（2024河北邯郸河北邯郸二模）二模）已知正项数列 na的前n项和为nS，23a=，且11nnSSS+=+(1)求 na的通项公式；(2)若14nnnnSba a+=，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)21nan=-(2)21nnTnn=+【分析】（1）首先求出11a=，可证明数列nS为首项为1，公差为1的等差数列，得到2nSn=，利用1nnnaSS-=-得到 na的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)nnnnSnba ann+=-+，化简可得11112 2121nbnn=+-+，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列 nb的前n项和nT.【详解】（1）当1n=时，由211SSS=+，即1212aaa+=，解得：11a=，所以111nnSSS+-=，则数列nS为首项为1，公差为1的等差数列；所以nSn=，则2nSn=，当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn-=-=-=-，当1n=时，12 1 11a=-=满足条件，所以 na的通项公式为21nan=-(*)nN（2）由（1）知，2144(21)(21)nnnnSnba ann+=-+，所以2224111111114141(21)(21)2 2121nnbnnnnnn=+=+=+-+-+，故11111111112335212122121nnTnnnnnnn=+-+-+-=+-=+-+L，即21nnTnn=+9（2024福建三明福建三明三模）三模）已知数列 na满足2*1212Nnnnna aaan+-=L，(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 na的前 n 项和为nS，若不等式2114nnntSS-对任意的*Nn恒成立，求实数 t 的取值范围；(3)记221lognnba=，求证：*23112122Nnnnbbbbbbnbbb+-+L【答案】(1)2nna=(2)25 9,3-(3)证明见解析【分析】（1）当1n=时求出1a，2n 时，用121121nnnnaa aaaa aa-=LL，即可求解；（2）由2nna=得出nS，由2114nnntSS-得2114nnnStS+-，根据对勾函数的单调性及nS的值，即可求出t得范围；（3）由（1）得12nbn=，则112(1)nnnbbbn n+-=+，根据放缩法得1112()2(1)1n nnn-+即可证明【详解】（1）当1n=时，2122a=，当2n 时，22121122(111)(2)(2)2(2)nnnnnnnnnna aaaa aaa-+-+-=LL，1n=时成立，所以2nna=（2）由2nna=得，12(12)2212nnnS+-=-，显然*Nn时，nS单调递增，12nSS=，由2114nnntSS-得，2114nnnStS+-，又214142 14nnnnSSSS+=+，当且仅当14nnSS=时，即14nS=时等号成立，因为1232,6,14SSS=，1214SS+，所以当1n=时，1119114SSt+=-，解得9t-，当2n=时，222142531SSt+=-，解得253t，所以25 9,3t-（3）证明：由（1）得2222111loglog 22nnnban=，111122212(1)2nnnbbnnbn nn+-+=+，因为122(1)2(1)n nn n=+22(1)(1)1(1)n nn nn nn n=+21(1)n nnn=+2(1)112()11nnn nnn+-=-+所以2311212nnnbbbbbbbbb+-+L1111112()2()2()12231nn-+-+-+L111111112()122311nnnn=-+-+-+-+L12(1)21n=-+10（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知等差数列 na的前n项和为nS，数列 nb是等比数列，1133441,2,2abSbSb=+=+(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设1nnncbS=+，求数列 nc的前n项和nT【答案】(1)nan=，12nnb-=(2)121nnnTn-=+【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得231dq+=、362dq+=，解之即可求解；（2）由（1）得12221nncnn-=-+，结合裂项相消求和法和等比数列前 n 项和公式计算即可求解【详解】（1）设数列 na的公差为 d，数列 nb的公比为0q q，由111ab=，332Sb=+，442Sb=+得231dq+=，362dq+=，两式相除得2q=，所以314,1dd+=，所以1111naandnn=+-=+-=，1112nnnbbq-=（2）由（1）得11,22nnnnn nan Sb-+=，所以1112222211nnnnncbSn nnn-=+=+=-+，所以2222221 212122311 21nnnnTnnn-=-+-+-+=+-+11（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足12323(1)21nnaaanan+=-+L(1)求数列 na的通项公式；(2)若1232nnnabnn+=+，求数列 nb的前n项和nS【答案】(1)12nna-=(2)1212nnSn+=-+【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造，两式，相减即得数列的通项；（2）求出nb，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】（1）当1n=时，11a=依题意，12323(1)21nnaaanan+=-+L当2n 时，1123123(1)(2)21nnaaanan-+-=-+L得11(1)21(2)212(2)nnnnnannnn-=-+-+=，所以12(2)nnan-=因1n=时，该式也成立，故 na的通项公式为12nna-=（2）由（1）知12nna-=，由1232nnn abnn+=+可得1222(1)(2)21nnnnnbnnnn+=-+则23243222222324354nS=-+-+-+L12112222221121nnnnnnnnnnnn-+-+-+-=-+1212nn+-+12（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足1212133.34nnnnnaaaa-+=，*Nn(1)求数列 na的通项公式；(2)若1nnba=-，证明：121117.9nbbb+【答案】(1)14,14,2nnnan-=(2)证明见解析【分析】（1）考查na与nS的关系，借助na与nS的关系的解题步骤11aS=，12nnnaSSn-=-，检验的思想方法进行求解即可.（2）先求出1nb，再求和12111.nbbb+，当2n 时对1nb进行放缩变形即可求和证明出不等式.【详解】（1）当1n=时，14a=；当2n 时，1212133.34nnnnnaaaa-+=，231122133.34nnnnnaaaa-+=3-得142nnan-=，因为14a=不满足上式，所以14,14,2nnnan-=.（2）由（1）13,1141,2nnnnban-=-=-，因为1222413 4413 42nnnnn-=+-，所以21123 4nnnb-，当1n=时，111739b=；当2n 时，12101212111111111111.341414133 444nnnbbb-+=+-L1111111411474113339439914nn-=+=+-+=-，综上，对任意的*Nn，121117.9nbbb+，所以11kkkkbbbb-+，即33333133333112121222121122kkkkkkkkkkkkkkkk-+-+，解得33324.852113.8521kk-，又Zk，所以4k=，所以使 nb取得最大项时n的值为 4.15（2024辽宁辽宁一模）一模）已知nS为数列na的前 n 项和，满足2*111(N)22nnnSaan=+-，且12345,a a a a a成等比数列，当5n 时，0na(1)求证：当5n 时，na成等差数列；(2)求na的前 n 项和nS【答案】(1)证明见解析；(2)*2*1(1),14,N152,5,N22nnnnSnnnn-=-+【分析】(1)利用11nnnaSS+=-得到1na+和na的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得105nnaan+=，求出1a和公比，得到 na通项公式，从而根据等差和等比数列前 n项和公式即可求解【详解】（1）2*111(N)22nnnSaan=+-，222nnnSaa=+-，211122nnnSaa+=+-，两式相减，得221112nnnnnaaaaa+=-+-，即1110nnnnaaaa+-=当5n 时，0na，11nnaa+-=，当5n 时，na成等差数列（2）由211111122aaa=+-，解得12a=或11a=-，又12345,a a a a a成等比数列，由(1)得105nnaan+=，进而1q=-，而50a，10a，从而152aa=，12(1),143,5nnnann-=-，*2*1(1),14,N152,5,N22nnnnSnnnn-=-+16（2024湖南岳阳湖南岳阳三模）三模）已知等差数列 na满足：12a=，且1a，2a，4a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若等差数列 na的公差不为零且数列 nb满足：2411nnnnbaa=-+，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)2na=或2nan=；(2)21nnTnn=+.【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；（2）求出数列 nb的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得nT.【详解】（1）设数列 na的公差为d，依题意，2,2,23dd+成等比数列，所以2(2)2(23)dd+=+，解得0d=或2d=，当0d=时，2na=；当2d=时，2(1)22nann=+-=所以数列 na的通项公式为2na=或2nan=.（2）因为等差数列 na的公差不为零，由（1）知*2Nnan n=，则224411(21)(21)nnnnnbaann=-+-+2241 111412121nnnn-+=+-+11112 2121nn=+-+，所以1 111 111 111112 132 352 572 2121nTnnn=+-+-+-+-+，即11122121nnTnnnn=+-=+.17（2024湖南湖南二模）二模）记nS为数列 na的前n项和，已知12121nnnanaaS+-+=-L.(1)证明：数列 nS是等比数列；(2)求最小的正整数m，使得1212nnmaaa+L对一切*nN都成立.【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）用1n+替换已知，再与已知作差，得到12nnSS+=，即可得证；（2）由（1）可得212,21,1nnnnnaSSn-=-=，利用错位相减法求出1212nnnTaaa=+L2722nn-=-+，进而得到结果.【详解】（1）由题知12121nnnanaaS+-+=-L，用1n+替换上式的n，得1211121nnnanaaS+=-L.两式作差，1211122nnnnnaaaaSSS+=-L，即12nnSS+=.而由11121aS=-，可得110S=.从而 nS是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）得12nnS-=，于是212,21,1nnnnnaSSn-=-=，设1212nnnTaaa=+L，则11T=，当2n 时，0212 22nnTn-=+L，故11112 2222nnTn-=+L，两式作差，得1212211121 2155222222221 2nnnnnTnn-=+-=+-L.整理可得2722nnTn-=-+.故7nT，因此满足条件的最小正整数m为7.18（2024河北石家庄河北石家庄二模）二模）已知数列 na满足113,7,2,.nnnanaaan+-=为奇数为偶数(1)写出234,a a a;(2)证明:数列216na-为等比数列;(3)若2nnba=，求数列3nnb-的前n项和nS.【答案】(1)24a=，38a=，45a=(2)证明见解析(3)1(1)2nnSn=+-【分析】（1）由数列的递推式，分别令1n=，2，3，计算可得所求值；（2）推得212162(6)nnaa+-=-，由等比数列的定义，可得证明；（3）求得132nnb-=+，1(3)2nnnbn-=，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和【详解】（1）由113,7,2,.nnnanaaan+-=为奇数为偶数可得2134aa=-=；3228aa=；4335aa=-=；（2）证明：由题可得21221216262662(6)nnnnaaaa+-=-=-=-，则数列216na-是首项为 1，公比为 2 的等比数列；（3）由（2）可得12162nna-=，即12162nna-=+，1221332nnnnbaa-=-=+，1(3)2nnnbn-=，前n项和01211 22 23 2.2nnSn-=+，2321 22 23 2.2nnSn=+，两式相减可得1211 2122.2221 2nnnnnSnn-=+-=-，化简可得1(1)2nnSn=+-19（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，且23,22nnaSn a=+(1)求数列 na的通项公式；(2)若存在*nN，使得112231111nnnaa aa aa al+L成立，求实数l的取值范围【答案】(1)1nan=+；(2)1,16-【分析】（1）当1n=时，求得12a=，当3n 时，得到11212nnSna-=-+，两式相减化简得到11121221nnaannnn-=-，结合叠加法，即可求得数列 na的通项公式；（2）由（1）得到111112nna ann+=-+，求得122311111122nna aa aa an+=-+L，解法 1：根据题意，转化为222nnl+，结合2142224nnnn=+，结合基本不等式，即可求解；解法 2：根据题意，转化为211222nnl-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：当1n=时，111222Saa=+，解得12a=，当3n 时，1122,212nnnnSn aSna-=+=-+，两式相减可得，1212nnnana-=-，则11211112,2,12212332nnnnaaaannnnnnnn-=-=-L，3212 1212aa-=-叠加可得，242111naannn-=-，则1nan=+，而1,2n=时也符合题意，所以数列 na的通项公式为1nan=+（2）解：由（1）知1nan=+，可得111111212nna annnn+=-+，故1223111111111123341222nnna aa aa annn+=-+-+-=+LL；解法 1：由112231111nnnaa aa aa al+L，可得222nnnl+，即222nnl+，即则2max22nnl+，又由2114162224nnnn=+，当且仅当2n=时取等号，故实数l的取值范围为1,16-解法 2：由1223111111222nnna aa aa anl+=-+L，可得22111112224162nnnl-=-+，当24n+=，即2n=时，2max11122162nn-=+，则116l，故实数l的取值范围为1,16-20（2024湖北湖北二模）二模）已知各项均不为 0 的数列 na的前n项和为nS，且1111,4nnna aaS+=(1)求 na的通项公式；(2)若对于任意*,2nnnSlN成立，求实数l的取值范围【答案】(1)21nan=-(2)9,8l+【分析】（1）根据题意，得到2n 时，1141nnnSaa-=+，两式相减得到114nnaa+-=，得到1321,na aa-及242,na aa均为公差为 4 的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）求得2nSn=，证得为22nnl恒成立，设22nnnb=，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】（1）解：因为数列 na的前n项和为nS，且1111,4nnna aaS+=，即141nnnSa a+=+，当2n 时，可得1141nnnSaa-=+，两式相减得114nnnnaaaa+-=-，因为0na，故114nnaa+-=，所以1321,na aa-LL及242,na aaLL均为公差为 4 的等差数列：当1n=时，由11a=及12114a aS+=，解得23a=，所以211412 211nann-=+-=-，23412 21nann=+-=-，所以数列 na的通项公式为21nan=-.（2）解：由（1）知21nan=-，可得2(21)(21)14nnnSn-+=，因为对于任意*,2nnnSlN成立，所以22nnl恒成立，设22nnnb=，则222111(1)21222nnnnnnnnnbb+-+-=-=，当1212n-+，即*3,Nnn时，110,nnnnbbbb+-所以12345bbbbbL，故3max98nbb=，所以98l，即实数l的取值范围为9,8+.21（2024湖北湖北模拟预测）模拟预测）数列 na中，11a=，29a=，且2128nnnaaa+=+，(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb的前n项和为nS，且满足2nnba=，10n nb b+，求nS【答案】(1)2441nann=-+(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得2118nnnnaaaa+-=-+，即可得到1nnaa+-为等差数列，即可得到18nnaan+-=，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得21nbn=-，由10n nb b+，得到nb与2nb+同号，再对1b分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为2128nnnaaa+=+，所以2118nnnnaaaa+-=-+，所以数列1nnaa+-是公差为8的等差数列，其首项为218aa-=，于是18nnaan+-=，则181nnaan-=-，1282nnaan-=-，L，328 2aa-=，218aa-=，所以211118 1218442nnnaannn+-=+-=-，所以24412nannn=-+；而11a=符合该式，故2441nann=-+.（2）由（1）问知，221nan=-，则21nbn=-，又10n nb b+，则120nnb b+，即20n nb b+，因此nb与2nb+同号，因为1 20bb Q，130nnaa+-=，13nnaa+=，数列 na是公比为 3 的等比数列231231113313Saaaaaa=+=+=Q，11a=，13nna-=（2）由（1）知，1413nnbn-=-，123nnTbbbb=+0213 37 3 11 3413nn-=+-，23133 37 311 3453413nnnTnn-=+-+-，-得02123 34 34 34 3413nnnTn-=+-4 1 3141343331 3nnnnn-=-+-=-，332322nnTn=-+23（2024湖北黄石湖北黄石三模）三模）已知等差数列 na的前n项和为nS，756S=，2820aa+=，等比数列 nb满足11ba=，3b是2a，8a的等比中项.(1)求数列 nb的通项公式；(2)设数列 nc满足cossin22nnnnncab=+，求数列 nc前4n项的和4nT.【答案】(1)2nnb=或2nnb=-(2)4424125nnTn=+-【分析】（1）根据题意结合等差数列可得1,a d，可得na，根据等比数列通项公式结合等比中项可得q，即可得nb；（2）由（1）可知：2 cos2 sin22nnnncn=+，利用分组求和结合并项求和分析求解.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，由题意可知：7128173562420Sadaaad=+=+=+=，解得122da=，所以2212nann=+-=.设等比数列 nb的公比为q，则112ba=，由题意可知：232864baa=，则4464q=，解得2q=，所以12 22nnnb-=或1222nnnb-=-=-.（2）由（1）可知：2 cos2 sin22nnnncn=+，设2 cos2nn前4n项的和为4nA，2 sin2nn前4n项的和为4nB，可知444nnnTAB=+，对任意*nN，因为43 coscos 2 2cos0222nn-=-+=，42 coscos 2 2cos12nn-=-+=-，41 33coscos 2 2cos0222nn-=-+=，4 coscos 2 cos012nn=，则434241443 42 41 4 coscoscoscos2222nnnnnnnnaaaa-+42424nnaad-=-+=，所以444nAnn=，又因为43 sinsin 2 2sin1222nn-=-+=，42 sinsin 2 2sin02nn-=-+=，41 33sinsin 2 2sin1222nn-=-+=-，4 sinsin 2 sin002nn=，则434241443 42 41 4 2sin2sin2sin2sin2222nnnnnnnn-+434143223 2nnn-=-=-，所以459434446 1223 22221 21 25nnnnB-=-+=-，所以4424125nnTn=+-.24（2024山东菏泽山东菏泽一模）一模）已知数列 na的前n项和为nS，且*22NnnSan=-(1)求数列 na的通项公式；(2)若221lognnba-=，11nnncb b+=，求证：12312ncccc+，11121n-+，11112212n-+，故12312ncccc+，求 na的通项公式.【答案】(1)存在，nSn=