大题03 立体几何（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf

黄金冲刺大题 03 立体几何黄金冲刺大题 03 立体几何1（2024黑龙江黑龙江二模）二模）如图，已知正三棱柱111ABCABC-的侧棱长和底面边长均为 2，M 是 BC 的中点，N是1AB的中点，P 是11BC的中点(1)证明：/MN平面1ACP；(2)求点 P 到直线 MN 的距离2（2024安徽合肥安徽合肥二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，60,BADM=是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD 底面ABCD(1)求三棱锥MABC-的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值3（2023福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，平面11AAC C 平面1,2ABC ABACBCAA=，16AB=大题03 立体几何（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）(1)设D为AC中点，证明：AC 平面1ADB；(2)求平面11A AB与平面11ACC A夹角的余弦值4（2024山西晋中山西晋中三模）三模）如图，在六面体ABCDE中，6BCBD=，ECED，且2ECED=，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AECD.(1)证明：平面ABE平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为2 2，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值5（2024辽宁辽宁二模）二模）棱长均为 2 的斜三棱柱111ABCABC-中，1A在平面 ABC 内的射影 O 在棱 AC 的中点处，P 为棱11AB（包含端点）上的动点(1)求点 P 到平面1ABC的距离；(2)若AP平面a，求直线1BC与平面a所成角的正弦值的取值范围6（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）在如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，已知ABCD，90BAD=，2CDAB=，PABV是正三角形，点 M 在侧棱 PB 上且使得/PD平面AMC(1)证明：2PMBM=；(2)若侧面PAB 底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角PACB-的余弦值7（2024安徽安徽模拟预测）模拟预测）2023 年 12 月 19 日至 20 日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚如图所示的七面体ABGCDEHF-是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形 ABCD 是矩形，8AB=m，4=ADm，1EDCF=m，且 ED，CF 都垂直于平面 ABCD，5GAGB=m，HEHF=，平面ABG 平面 ABCD(1)求点 H 到平面 ABCD 的距离；(2)求平面 BFHG 与平面 AGHE 所成锐二面角的余弦值8（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）如图，ACDE 为菱形，2ACBC=，120ACB=，平面ACDE 平面 ABC，点 F 在 AB 上，且2AFFB=，M，N 分别在直线 CD，AB 上(1)求证：CF 平面 ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC=，MN 为直线 CD，AB 的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线 BE 与平面 ABC 所成角为a，若21tan7a，求平面 BCD 与平面 CFD 所成角余弦值的范围9（2024安徽安徽二模）二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体(1)求证：平面ACF 平面BDE；(2)点M为DF上一点，若二面角CAME-的余弦值为13，求MAD10（2024安徽黄山安徽黄山二模）二模）如图，已知AB为圆台下底面圆1O的直径，C是圆1O上异于,A B的点，D是圆台上底面圆2O上的点，且平面DAC 平面ABC，2DADCAC=，4BC=，E是CD的中点，2BFFD=uuu ruuu r(1)证明：2/DOBC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.11（2024黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨一模）一模）正四棱台1111ABCDABC D-的下底面边长为2 2，1112ABAB=，M为BC中点，已知点P满足1112APABADAAlll=-+uuu ruuu ruuuruuur，其中0,1l (1)求证1D PAC；(2)已知平面1AMC与平面ABCD所成角的余弦值为37，当23l=时，求直线DP与平面1AMC所成角的正弦值12（2024辽宁辽宁三模）三模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACC A 底面1,2ABC ACAA=，1,3ABBC=，点E为线段AC的中点.(1)求证：1ABP平面1BEC；(2)若13A AC=，求二面角1ABEC-的余弦值.13（2024广东广州广东广州一模）一模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，DCPV是等边三角形，4DCBPCB=，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：/MN平面PBC；(2)求证：平面PBC平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14（2024广东梅州广东梅州二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PADV为等边三角形，/AD BC，ADAB，22ADABBC=(1)求证：ADPC；(2)点N在棱PC上运动，求ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得/AM平面BDQ，求PQQC的值15（2024广东广州广东广州模拟预测）模拟预测）如图所示，圆台12OO的轴截面11A ACC为等腰梯形，111224,ACAAACB=为底面圆周上异于,A C的点，且,ABBC P=是线段BC的中点.(1)求证：1C P/平面1A AB.(2)求平面1A AB与平面1CCB夹角的余弦值.16（2024广东深圳广东深圳二模）二模）如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBC C 底面 ABC，且ABAC=，11ABAC=(1)证明：1AA 平面 ABC；(2)若12AABC=，90BAC=，求平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值17（2024河北保定河北保定二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA 平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为32，2 3PABC=，24CDAB=.(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足2PEED=uuu ruuu r，求二面角PEFB-的正弦值.18（2024湖南衡阳湖南衡阳模拟预测）模拟预测）如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，6,4POAC=.(1)求证：平面BED 平面ABD；(2)设点M在线段PO上，且2OM=，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.19（2024湖南岳阳湖南岳阳三模）三模）已知四棱锥PABCD-的底面ABCD是边长为4的菱形，60DAB=，PAPC=，2 10PBPD=，M是线段PC上的点，且4PCMC=uuu ruuuu r (1)证明：PC 平面BDM；(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值20（2024湖南湖南二模）二模）如图，直四棱柱1111ABCDABC D-的底面是边长为 2 的菱形，160,ABCBD=o平面11AC D.(1)求四棱柱1111ABCDABC D-的体积；(2)设点1D关于平面11AC D的对称点为E，点E和点1C关于平面a对称（E和a未在图中标出），求平面11AC D与平面a所成锐二面角的大小.21（2024山东济南山东济南二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD，60,1,3,2 3DABPCBCDABPC=，平面PCB 平面 ABCD，F 为线段 BC 的中点，E 为线段 PF上一点.(1)证明：PFAD；(2)当 EF 为何值时，直线 BE 与平面 PAD 夹角的正弦值为74.22（2024山东潍坊山东潍坊二模）二模）如图 1，在平行四边形ABCD中，24ABBC=，60ABC=，E 为CD的中点，将ADEV沿AE折起，连结BD，CD，且4BD=，如图 2 (1)求证：图 2 中的平面ADE 平面ABCE；(2)在图 2 中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC的距离23（2024福建福建模拟预测）模拟预测）如图，在三棱锥-PABC中，,3,6PAPB ABBC ABBC=，已知二面角PABC-的大小为q，PABq=.(1)求点 P 到平面ABC的距离；(2)当三棱锥-PABC的体积取得最大值时，求：（）二面角PABC-的余弦值；（）直线PC与平面PAB所成角.24（2024浙江杭州浙江杭州二模）二模）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，60,244,DABBCPQABM=为BC的中点，,PQBC PDDC QBMD(1)证明：90ABQ=；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值25（2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模）二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA 平面,ABCD PAPQD，222,60BCABPAABC=o.(1)证明：平面PCD 平面PAC；(2)若2 2PQ=，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26（2024浙江绍兴浙江绍兴二模）二模）如图，在三棱锥-PABC中，4AB=，2AC=，60CAB=，BCAP.(1)证明：平面ACP 平面ABC；(2)若2PA=，4PB=，求二面角PABC-的平面角的正切值.27（2024河北沧州河北沧州一模）一模）如图，在正三棱锥ABCD-中，4BCCDBD=，点P满足APACl=uuu ruuur，(0,1)l，过点P作平面a分别与棱 AB，BD，CD 交于 Q，S，T 三点，且/ADa，/BCa.(1)证明：(0,1)l，四边形PQST总是矩形；(2)若4AC=，求四棱锥CPQST-体积的最大值.28（2024湖北湖北二模）二模）如图 1在菱形 ABCD 中，120ABC=，4AB=，AEADl=uuu ruuur，(01)AFABll=uuu ruuu r，沿 EF 将AEF向上折起得到棱锥PBCDEP-如图 2 所示，设二面角PEFB-的平面角为q(1)当l为何值时，三棱锥PBCD-和四棱锥PBDEF-的体积之比为95？(2)当q为何值时，0,1l，平面 PEF 与平面 PFB 的夹角j的余弦值为55？29（2024湖北湖北模拟预测）模拟预测）空间中有一个平面a和两条直线 m，n，其中 m，n 与a的交点分别为 A，B，1AB=，设直线 m 与 n 之间的夹角为3，(1)如图 1，若直线 m，n 交于点 C，求点 C 到平面a距离的最大值；(2)如图 2，若直线 m，n 互为异面直线，直线 m 上一点 P 和直线 n 上一点 Q 满足/PQa，PQn且PQm，（i）求直线 m，n 与平面a的夹角之和；（ii）设01PQdd=，求点 P 到平面a距离的最大值关于 d 的函数 f d30（2024浙江绍兴浙江绍兴模拟预测）模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCDABC D-，底面ABCD为一个菱形，且120BAD=.底面与顶面的对角线交点分别为O，1O.1122ABAB=，11392BBDD=，1AA与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：1OO平面ABCD；(2)现将顶面绕1OO旋转q角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向.此时使得底面与1DC的夹角正弦值为6 4343，此时求q的值(90q，求平面 BCD 与平面 CFD 所成角余弦值的范围【答案】(1)证明见解析(2)913ANAF=(3)5 2 2 5,85【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到CFAC，再根据面面垂直的性质证明；（2）以 C 为原点，CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz-，利用向量的坐标运算根据00MN CDMN AF=uuuu r uuu ruuuu r uuu r，列方程求解即可；（3）利用向量法求面面角，然后根据21tan7a列不等式求解.【详解】（1）2222cos122 3ABACBCAC BCACBAB=+-=，2AFFB=，所以4 33AF=，1233CFCACB=+uuu ruuu ruuu r，22214449993CFCACBCA CB=+=uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，222416433ACCFAF+=+=，则CFAC，又因为平面ACDE 平面 ABC，平面ACDE I平面ABCACCF=，面ABC，故CF 平面 ACDE；（2）以 C 为原点，CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz-，由60EAC=，可得120DCA=，2DC=，所以2 30,0,0,1,0,3,2,0,0,0,03CDAF-所以2 32,03AF=-uuu r，1,0,3CD=-uuu r，设2 32,03ANAFlll=-uuuruuu r，则2 322,03Nll-，设CMCDm=uuuu ruuu r，则,0,3Mmm-，2 322,33MNlmlm=-+-uuuu r，由题知，223004442003MN CDMN AFlmmlml-=-+=uuuu r uuu ruuuu r uuu r，解得913l=，213m=-，故913ANAF=；（3）1,3,0B-，设EACq=，则22cos,0,2sinEqq-，32cos,3,2sinBEqq=-uuu r，可取平面 ABC 的法向量0,0,1n=r，则222sinsinsincos,43cos32cos34sinn BEn BEnBEqqaqqq=-+uuu rruuu rruuu rr，243cossincos43cosqqaq-=-，则2sin21tan743cossinqaqq=-，整理得210cos9cos20qq-+，故2 1cos,5 2q，20,03CF=uuu r，2cos,0,2sinCDqq=-uuu r，1,3,0CB=-uuu r，记平面 CDF 的法向量为1,nx y z=ur，则有112 cos2 sin002003xzn CDyn CFqq-+=ur uuu rur uuu r，可得1sin,0,cosnqq=ur，记平面 CBD 的法向量为2,na b c=uu r，则有222 cos2 sin00300acnCDabnCBqq-+=-+=uu r uuu ruu r uuu r，可得23sin,sin,3cosnqqq=uu r，记平面 BCD 与平面 CFD 所成角为g，则1223coscos,3sinn ngq=+ur uu r，2 1cos,5 2q，所以23 21sin,4 25q，215 4 63sin,25q+，故235 2 2 5cos,853singq=+9（2024安徽安徽二模）二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体(1)求证：平面ACF 平面BDE；(2)点M为DF上一点，若二面角CAME-的余弦值为13，求MAD【答案】(1)证明见解析(2)45MAD=【分析】（1）根据面面与线面垂直的性质可得BDAF，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设MADa=，1AB=，利用空间向量法求出二面角CAME-的余弦值，建立方程221 sincos131 sin1 cosaaaa-=+，结合三角恒等变换求出a即可.【详解】（1）由已知得平面ABCD平面ABEF，AFAB，平面ABCD平面ABEFAB=，AF 平面ABEF，所以AF 平面ABCD，又BD平面ABCD，故BDAF，因为ABCD是正方形，所以BDAC，AC，AF 平面ACF，ACAFA=，所以BD平面ACF，又BD平面BDE，所以平面ACF 平面BDE.（2）由（1）知AD，AF，AB两两垂直，以AD，AF，AB所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.设MADa=，1AB=，则0,0,0A，cos,sin,0Maa，1,0,1C，0,1,1E，故cos,sin,0AMaa=uuuu r，1,0,1AC=uuur，0,1,1AE=uuu r设平面AMC的法向量为111,mx y z=r，则0m AC=uuurr，0m AM=uuuu rr故111100 xzx cosy sinaa+=+=，取1sinxa=，则1cosya=-，1sinza=-所以sin,cos,sinmaaa=-r设平面AME的法向量为222,nxyz=r，0n AE=uuu rr，0n AM=uuuu rr故222200yzx cosy sinaa+=+=，取2sinxa=，则2cosya=-，2cosza=所以sin,cos,cosnaaa=-r，所以221 sincoscos,1 sin1 cosm naaaa-=+r r，由已知得221 sincos131 sin1 cosaaaa-=+，化简得：22sin 29sin270aa-+=，解得sin21a=或7sin22a=（舍去）故45a=，即45MAD=.10（2024安徽黄山安徽黄山二模）二模）如图，已知AB为圆台下底面圆1O的直径，C是圆1O上异于,A B的点，D是圆台上底面圆2O上的点，且平面DAC 平面ABC，2DADCAC=，4BC=，E是CD的中点，2BFFD=uuu ruuu r(1)证明：2/DOBC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)6 8585【分析】（1）取 AC 的中点 O，根据面面垂直的性质定理，可得DO 平面ABC，即可求证21/DOOO，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.（2）建系，利用向量法，求解法向量1(1,3)2n=-r与方向向量(1,4,3)DB=-uuu r的夹角，即可求解【详解】（1）证明：取AC的中点为O，连接DO，1OO，12OO，DADC=Q，O为AC中点，DOAC，又平面DAC 平面ABC，且平面DAC 平面ABCAC=，DO 平面DAC,DO平面ABC，12/DOOO，12DOOO=，故四边形12DOOO为矩形，21/DOOO，又O，1O分别是AC，AB的中点，1/OOBC，2/DOBC；（2）CQ是圆1O上异于A，B的点，且AB为圆1O的直径，BCAC，1OOAC，如图以O为原点建立空间直角坐标系，由条件知3DO=，(1A,0,0),(1B-,4,0),(1C-,0,0),(0,0,3)D，13(,0,)22E-，设(F x,y,)z，(1,4,)BFxyz=+-uuu r，(,3)FDxyz=-uuu r，由2BFFD=uuu ruuu r，得1 4 2 3(,)3 33F-，4 4 2 3(,)3 33AF=-uuur，(1,4,3)DB=-uuu r，33(,0,)22AE=-uuu r，设平面AEF法向量为111(,)nx y z=r，则1111133022442 30333n AExzn AFxyz=-+=-+=uuu rruuu rr，取1(1,3)2n=-r，设直线BD与平面AEF所成角为q，则66 85sin|cos,|85172 52n DBq=uuu rr直线BD与平面AEF所成角的正弦值为6 858511（2024黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨一模）一模）正四棱台1111ABCDABC D-的下底面边长为2 2，1112ABAB=，M为BC中点，已知点P满足1112APABADAAlll=-+uuu ruuu ruuuruuur，其中0,1l (1)求证1D PAC；(2)已知平面1AMC与平面ABCD所成角的余弦值为37，当23l=时，求直线DP与平面1AMC所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)24 1391【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）方法一：1112ABAB=，1122 222AA ABAA AD=uuur uuu ruuur uuur1112D AADAA=-uuuu ruuuruuur111111122D PD AAPABADAAlll=+=-+-+-uuuu ruuuu ruuu ruuu ruuuruuur11111122D P ACABADAAABADlll=-+-+-+uuuu r uuuruuu ruuuruuuruuu ruuur22111111122ABADAB AAAD AAllll=-+-+-+-uuu ruuuruuu r uuuruuur uuur118 1841022lll=-+-+-=1D PACuuuu ruuur，即1D PAC方法二：以底面 ABCD 的中心 O 为原点，以 OM 方向为 y 轴，过 O 点平行于 AD 向前方向为 x 轴，以过点 O 垂直平面 ABCD 向上方向为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为 h，则有 2,2,0A-，2,2,0B，2,2,0C-，2,2,0D-，122,22Ah-，122,22Ch-，122,22Dh-，0,2,0M，2 2,2 2,0AC=-uuur1223 23 210,2 2,02 2,0,0,0,2 2,22222APhlllll l=-+-+-=-uuu r13 22,22D Ah=-，113 23 23 23 2,2222D PD AAPhhlll=+=-+-+-uuuu ruuuu ruuu r故10AC D P=uuur uuuu r，所以1D PAC（2）设平面 ABCD 的法向量为0,0,1n=r，设平面1AMC的法向量为,mx y z=r，2,2 2,0AM=-uuuu r，13 2 3 2,22ACh=-，则有100AM mAC m=uuuu rruuuu rr，即22 203 23 2022xyxyhz-+=-+=，令2 2xh=，则2 2,2,3mhh=r又题意可得2233cos,7829m nhh=+r r，可得2h=因为23l=，经过计算可得40,0,3P，122,222D-，142,2,3D P=uuuu r将2h=代入，可得平面1AMC的法向量4 2,2 2,3m=r设直线 DP 与平面1AMC所成角的为 84424 13sincos,91162232899DP mq+=+uuu rr12（2024辽宁辽宁三模）三模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACC A 底面1,2ABC ACAA=，1,3ABBC=，点E为线段AC的中点.(1)求证：1ABP平面1BEC；(2)若13A AC=，求二面角1ABEC-的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)22-【分析】（1）连接1BC，交1BC于点N，连接NE，利用线面平行的判定定理证明；（2）由已知可知，1AAC为等边三角形，故1AEAC，利用面面垂直的性质定理可证得1AE 底面ABC，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】（1）连接1BC，交1BC于点N，连接NE，因为侧面11BCC B是平行四边形，所以N为1BC的中点，又因为点E为线段AC的中点，所以1/NE AB，因为1AB 面1BEC，NE 面1BEC，所以1/AB面1BEC.（2）连接1AC，1AE，因为13A AC=，12ACAA=，所以1AAC为等边三角形，12AC=，因为点E为线段AC的中点，所以1AEAC，因为侧面11ACC A 底面ABC，平面11ACC A I平面ABCAC=，1AE 平面11ACC A，所以1AE 底面ABC，过点E在底面ABC内作EFAC，如图以E为坐标原点，分布以EFuuu r，ECuuu r，1EAuuur的方向为,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，则0,0,0E，31,022B-，10,2,3C，所以31,022EB=-uuu r，10,2,3EC=uuuu r，设平面1BEC的法向量为,mx y z=r，则131022230m EBxym ECyz=-=+=uuu rruuuu rr，令1x=，则3,2yz=-，所以平面1BEC的法向量为1,3,2m=-r，又因为平面ABE的法向量为0,0,1n=r，则22cos,21 34m n-=-+r r，经观察，二面角1ABEC-的平面角为钝角，所以二面角1ABEC-的余弦值为22-.13（2024广东广州广东广州一模）一模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，DCPV是等边三角形，4DCBPCB=，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：/MN平面PBC；(2)求证：平面PBC平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)33.【分析】（1）取PC中点E，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.（2）过P作PQBC于点Q，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取PC中点E，连接,ME BE，由M为DP中点，N为AB中点，得1/,2MEDC MEDC=，又1/,2BNCD BNCD=，则/,MEBN MEBN=，因此四边形BEMN为平行四边形，于是/MNBE，而MN平面,PBC BE 平面PBC，所以/MN平面PBC.（2）过P作PQBC于点Q，连接DQ，由,4DCBPCBCDPC QCQC=，得QCDVQCP，则2DQCPQC=，即DQBC，而2222,4PQDQPQDQPD=+=，因此PQDQ，又,DQBCQ DQ BC=I平面ABCD，则PQ平面ABCD，PQ 平面PBC，所以平面PBC平面ABCD.（3）由（2）知，直线,QC QD QP两两垂直，以点Q为原点，直线,QC QD QP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，则22(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,),(2,2,0)22CPDMA-，22(2,),(2,0,0),(0,2,2)22CMADDP=-=-uuuu ruuuruuu r，设平面PAD的一个法向量(,)nx y z=r，则20220n ADxn DPyz=-+=uuurruuu rr，令1y=，得(0,1,1)n=r，设CM与平面PAD所成角为q，|23sin|cos,|3|32CM nCM nCMnq=uuuu rruuuu rruuuu rr，所以CM与平面PAD所成角的正弦值是33.14（2024广东梅州广东梅州二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PADV为等边三角形，/AD BC，ADAB，22ADABBC=(1)求证：ADPC；(2)点N在棱PC上运动，求ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得/AM平面BDQ，求PQQC的值【答案】(1)证明见解析(2)2 217(3)4【分析】（1）取AD的中点H，连接PH，CH，依题意可得四边形ABCH为矩形，即可证明CHAD，再由PHAD，即可证明AD 平面PHC，从而得证；（2）连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG，即可得到12CGAG=，再根据线面平行的性质得到12CFFM=，在PBCV中，过点M作/MK PC，即可得到2MKCQ=，最后由2PQMK=即可得解.【详解】（1）取AD的中点H，连接PH，CH，则/AH BC且AHBC=，又ADAB，所以四边形ABCH为矩形，所以CHAD，又PADV为等边三角形，所以PHAD，PHCHH=I，,PH CH 平面PHC，所以AD 平面PHC，又PC 平面PHC，所以ADPC.（2）连接HN，由AD 平面PHC，又HN 平面PHC，所以ADHN，所以12ADHSAD HNHN=V，要使ADN的面积最小，即要使HN最小，当且仅当HNPC时HN取最小值，因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PH 平面PAD，所以PH 平面ABCD，又HC 平面ABCD，所以PHHC，在Rt HPCV中，2CH=，3PH=，所以227PCCHPH=+=，当HNPC时2 32 2177PH CHHNPC=，所以ADN面积的最小值为2 217.（3）连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG，因为/AD BC且22ADBC=，所以CGBAGDVV，所以12CGBCAGAD=，因为/AM平面BDQ，又AM 平面ACM，平面BDQI平面ACMGF=，所以/GF AM，所以12CFCGFMAG=，在PBCV中，过点M作/MK PC，则有2MKMFCQCF=，所以2PQMK=，所以24PQMKCQ=，即4PQQC=15（2024广东广州广东广州模拟预测）模拟预测）如图所示，圆台12OO的轴截面11A ACC为等腰梯形，111224,ACAAACB=为底面圆周上异于,A C的点，且,ABBC P=是线段BC的中点.(1)求证：1C P/平面1A AB.(2)求平面1A AB与平面1CCB夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】（1）取AB的中点H，连接1,AH PH，证明四边形11AC PH为平行四边形，进而得1C P/1AH，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】（1）取AB的中点H，连接1,AH PH，如图所示，因为P为BC的中点，所以PH/1,2AC PHAC=.在等腰梯形11A ACC中，11AC/111,2AC ACAC=，所以HP/1111,AC HPAC=，所以四边形11AC PH为平行四边形，所以1C P/1AH，又1AH 平面11,A AB C P 平面1A AB，所以1C P/平面1A AB.（2）因为,ABBC=故2O BAC，以直线22,O A O B，21O O分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC中，111224ACAAAC=，此梯形的高为2211132ACAChAA-=-=.因为11111,2ACAC AC=/AC，则210,0,0,2,0,0,1,0,3,0,2,0,OAAB12,0,0,1,0,3CC-，所以11(1,2,3),(2,2,0),(2,2,0),(1,2,3)BCBCABAB=-=-=-=-uuuu ruuu ruuu ruuur.设平面1A AB的法向量为,mx y z=r，则220,230,xyxyz-+=-+-=令1y=，得31,1,3m=r.设平面1CCB的法向量为,na b c=r，则230,220,abcab-+=-=令3a=，得(3,3,1)n=-r.设平面1A AB与平面1CCB的夹角为q，则313coscos,7773m nm nm nq-=r rr rr r.16（2024广东深圳广东深圳二模）二模）如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBC C 底面 ABC，且ABAC=，11ABAC=(1)证明：1AA 平面 ABC；(2)若12AABC=，90BAC=，求平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)155.【分析】（1）取 BC 的中点 M，连结 MA、1MA，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得BC平面1AMA，进而由11A AB BP得1B BBC，再证明1B B 平面 ABC 即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于1AB的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【详解】（1）取 BC 的中点 M，连结 MA、1MA 因为ABAC=，11ABAC=，所以BCAM，1BCAM，由于 AM，1AM 平面1AMA，且1AMAMM=，因此BC平面1AMA，因为1A A平面1AMA，所以1BCA A，又因为11A AB BP，所以1B BBC，因为平面11BBC C 平面 ABC，平面11BBC CI平面ABCBC=，且1B B 平面11BBC C，所以1B B 平面 ABC，因为11A AB BP，所以1AA 平面 ABC.（2）法一：法一：因为90BAC=，且2BC=，所以2ABAC=以 AB，AC，1AA所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz-，则10,0,2A，2,0,0B，0,2,0C，10,2,2C所以12,0,2AB=-uuur，10,2,2AC=-uuur，110,2,0AC=uuuur设平面1ABC的法向量为111,mx y z=r，则1100m ABm AC=uuurruuurr，可得1111220220 xzyz-=-=，令11z=，则2,2,1m=r，设平面11ABC的法向量为222,nxyz=r，则11100n ABn AC=uuurruuuurr，可得22222020 xzy-=，令21z=，则2,0,1n=r，设平面1ABC与平面11ABC夹角为q，则315cos553m nm nq=r rr r，所以平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值为155.法二法二：将直三棱柱111ABCABC-补成长方体1111ABDCAB DC-连接1C D，过点 C 作1CPC D，垂足为 P，再过 P 作1PQAB，垂足为 Q，连接 CQ，因为BD平面11CDDC，且CP 平面11CDDC，所以BDCP，又因为1CPC D，由于 BD，1C D 平面11ABDC，且1BDC DD=I，所以CP平面11ABDC，则CPQV为直角三角形，由于1AB 平面11ABDC，所以1ABCP，因为CP，PQ 平面 CPQ，且CPPQP=I，所以1AB 平面 CPQ，因为CQ平面 CPQ，所以1CQAB，则CQP 为平面1ABC与平面11ABC的夹角或补角，在1ABCV中，由等面积法可得303CQ=,因为112PQAC=，所以15cos5PQCQPCQ=，因此平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值为155.17（2024河北保定河北保定二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA 平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为32，2 3PABC=，24CDAB=.(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足2PEED=uuu ruuu r，求二面角PEFB-的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)3 1010【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定定理，得到/AB平面PCD，再线面平行的性质定理，得到/ABCD，再利用条件得到4AC=，结合2AB=，2 3BC=，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABE的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.【详解】（1）因为/ABEF，EF 平面PCD，AB 平面PCD，所以/AB平面PCD，因为AB平面ABCD，平面ABCD平面PCDCD=，所以/ABCD，连接AC，因为PA 平面ABCD，所以PCA是PC与平面ABCD的夹角，则2 33tan2PAPCAACAC=，解得4AC=.因为2AB=，2 3BC=，所以222ABBCAC+=，所以ABBC.又ABCD，所以四边形ABCD是直角梯形.（2）取CD的中点 M，连接AM，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,2 3P，2 3,2,0D-，2 3,2,0C，0,2,0B，0,2,0AB=uuu r，2 3,2,2 3PC=-uuu r，2 3,2,2 3PD=-uuu r，由2PEED=uuu ruuu r，得4 34 2 3,333E-，则4 310 2 3,333BE=-uuu r，设平面PCD的法向量为,nx y