数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念 新人教A版选修1-2 .ppt

第三章第三章 数系的扩充与复数数系的扩充与复数3.1.1 实数系实数系-3.1.2复数的概念复数的概念一、复习引入一、复习引入数数的的发展过程发展过程(经历经历):):自然数自然数 计数的需要计数的需要(正整数和零正整数和零)分数分数表示相反意义的量表示相反意义的量解方程解方程x+3=1负数负数测量、分配中的等分测量、分配中的等分解方程解方程3 x=5数系的扩充数系的扩充一、复习引入一、复习引入数数的的发展过程发展过程(经历经历):):无理数无理数度量度量解方程解方程x2=2实数集实数集循环小数循环小数不循环小数不循环小数解方程解方程x2=-1?数系的扩充数系的扩充NZQR关于无理数的发现关于无理数的发现 古希腊的古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为，世间任何数都可以用世间任何数都可以用整数或分数表示整数或分数表示，并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条。有一天有一天，这个学派中的一个成员这个学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现突然发现边长为边长为1 1的正方形的的正方形的对角线是个奇怪的数对角线是个奇怪的数，于是努力研究于是努力研究,终于证明出它不能用终于证明出它不能用整数或分数表示整数或分数表示。但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条，于于是毕达哥拉斯命令他不许外传是毕达哥拉斯命令他不许外传。但希伯斯却将这一秘密透但希伯斯却将这一秘密透露了出去露了出去。毕达哥拉斯大怒毕达哥拉斯大怒，要将他处死要将他处死。希伯斯连忙外希伯斯连忙外逃逃，然而还是被抓住了然而还是被抓住了，被扔入了大海被扔入了大海，为科学的发展献为科学的发展献出了宝贵的生命出了宝贵的生命。希伯斯发现的这类数希伯斯发现的这类数，被称为无理数被称为无理数。无理数的发现无理数的发现，导致了第一次数学危机导致了第一次数学危机，为数学的发展做为数学的发展做出了重大贡献出了重大贡献。一、复习引入一、复习引入CA1DB1ABCD1111EFBD2=2古老的问题古老的问题:“正方形的对角线是个正方形的对角线是个奇怪奇怪的数的数”BD =？一、复习引入一、复习引入一元二次方程一元二次方程 在实数集范围内的解是在实数集范围内的解是？合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？中，该问题能得到圆满解决呢？思考？思考？二、提出问题二、提出问题三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.复数的基本概念复数的基本概念引入一个新数：引入一个新数：规定规定1.1.定义定义:形如形如a+bia+bi（aRaR，bRbR）的数叫）的数叫复数复数,其中其中i i叫叫虚数虚数单位单位。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z z表示，即复数表示，即复数a+bi(a+bi(aRaR，bRbR)可可记作记作:z=z=a+bi(aRa+bi(aR，bRbR)，把这一表示形式叫做，把这一表示形式叫做复数的代复数的代数形式数形式。复数复数z=z=a+bi(a+bi(aRaR，bRbR)把实数把实数a a，b b叫做复数的叫做复数的实部和虚实部和虚部部。分别记作：。分别记作：R(z),I(zR(z),I(z)。全体复数所组成的集合叫全体复数所组成的集合叫复数集复数集，记作，记作C C。C=C=z|zz|z=a+bia+bi，a,ba,bRR 三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.复数的基本概念复数的基本概念复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集2.2.复数复数z=z=a+bia+bi3.3.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.复数的基本概念复数的基本概念4.4.复数的相等复数的相等即：如果即：如果 ，那么，那么如果两个复数如果两个复数a+bia+bi与与c+dic+di的的实部与虚部对应相等实部与虚部对应相等，我们就，我们就说这两个说这两个复数相等复数相等。记作：。记作：a+bia+bi=c+dic+di顺便说明，两个实数可以比较大小，而顺便说明，两个实数可以比较大小，而两个复数两个复数，如果，如果不不全是实数全是实数，它们之间就，它们之间就不能比较大小不能比较大小，只能说等或者不等。，只能说等或者不等。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.数系中的运算数系中的运算在数系的发展过程中，运算是不可缺少的概念，数学上，在数系的发展过程中，运算是不可缺少的概念，数学上，运运算算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量的过是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量的过程。运算的本质是集合之间的映射。常见的数学运算有：加、程。运算的本质是集合之间的映射。常见的数学运算有：加、减、乘、除、乘方、开方等减、乘、除、乘方、开方等按照传统的写法，对于按照传统的写法，对于S S中的两个元素中的两个元素a,ba,b,我们用我们用a*ba*b来表来表示这个运算。示这个运算。如果在某个数系中，对于这个数系中的任意两个数如果在某个数系中，对于这个数系中的任意两个数a a，b b经经过运算过运算“a*b”a*b”使得其运算结果仍然在这个数系中，我们称使得其运算结果仍然在这个数系中，我们称为这个运算在此数系中是为这个运算在此数系中是封闭封闭的。的。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.数系中的运算数系中的运算如果在某个数系中，对于这个数系中的任意两个数如果在某个数系中，对于这个数系中的任意两个数a a，b b经经过运算过运算“a*b”a*b”使得其运算结果仍然在这个数系中，我们称使得其运算结果仍然在这个数系中，我们称为这个运算在此数系中是为这个运算在此数系中是封闭封闭的。的。比如，加法这个算，在自然数系、整数系、有理数系、实比如，加法这个算，在自然数系、整数系、有理数系、实数系及复数系内都是封闭的。而减法在自然数系中是不封数系及复数系内都是封闭的。而减法在自然数系中是不封闭的，在正数系、有理数系、实数系及有理数系是封闭的。闭的，在正数系、有理数系、实数系及有理数系是封闭的。有理数系有很好的封闭性，它对加、减、乘、除有理数系有很好的封闭性，它对加、减、乘、除(0(0除外除外)、乘方、开方都是封闭的。乘方、开方都是封闭的。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.数系中的运算数系中的运算在复数系内，我们解一元二次方程在复数系内，我们解一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0总有两个根总有两个根例子：在复数系内，解方程例子：在复数系内，解方程四、应用举例四、应用举例例例1:1:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 (1)(1)实数实数 (2)(2)虚数虚数 (3)(3)纯虚数纯虚数复数复数 当实数当实数m=m=;时时z z为纯虚数；当实数为纯虚数；当实数m=m=时时z z为零。为零。-2-21 1练习练习四、应用举例四、应用举例例例2.2.求适合下列方程的求适合下列方程的x x和和y(x,yy(x,yR)R)的值的值(1)(1)(2)(2)复数相等复数相等转化转化求方程组的解的问题求方程组的解的问题一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想四、应用举例四、应用举例例例3.3.解下列各题：解下列各题：1.1.设设 是是R R上的一个运算，上的一个运算，A A是是R R的非空子集，若对任意的非空子集，若对任意a,bAa,bA有有 则称则称A A对运算对运算 封闭，下列数集封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法对加法、减法、乘法和除法(除数不等于除数不等于0)0)四则运算都四则运算都是封闭的是是封闭的是()()A.A.自然数集自然数集 B.B.整数集整数集 C.C.有理数集有理数集 D.D.无理数集无理数集2.2.在在R R上定义运算上定义运算 ：。若不等式。若不等式 对任意实数对任意实数x x成立，则成立，则()()A.B.A.B.C.D.C.D.C CC C五、课堂练习五、课堂练习思思考考?课本第课本第8585页，练习页，练习A A，1 1，2 2，3 3六、课堂总结六、课堂总结1 1、虚数单位、虚数单位i i的引入，的引入，数系的扩充数系的扩充；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部复数的实部复数的实部 、虚部、虚部、虚部、虚部复数相等复数相等复数相等复数相等复数的分类复数的分类复数的分类复数的分类