数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式（2）3 新人教A版必修4 .ppt

1.3三角函数的诱导公式(二)【知识提炼知识提炼】1.1.诱导公式五、六诱导公式五、六2.2.公式五和公式六的语言概括公式五和公式六的语言概括(1)(1)函数名称：函数名称：的正弦的正弦(余弦余弦)函数值，分别等于函数值，分别等于的的_函数值函数值.(2)(2)符号：函数值前面加上一符号：函数值前面加上一_原函数值的符号原函数值的符号.(3)(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现作用：利用诱导公式五或六，可以实现_的相的相互转化互转化.余弦(正弦)个把看成锐角时正弦函数与余弦函数【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)诱导公式五、六中的角诱导公式五、六中的角只能是锐角吗？只能是锐角吗？提示：提示：角角不仅是锐角，可以是任意角不仅是锐角，可以是任意角.(2)(2)如何利用公式三和公式五推导出公式六？如何利用公式三和公式五推导出公式六？提示：提示：2.2.化简：化简：sin(+)=_.sin(+)=_.【解析解析】答案：答案：-coscos 3.3.计算：计算：sinsin2 2 11 11+sin+sin2 2 79 79=_.=_.【解析解析】sinsin2 2 11 11+sin+sin2 2 79 79=sin=sin2 2 11 11+cos+cos2 2 11 11=1.=1.答案：答案：1 14.4.若若coscos(+)=m(+)=m，则，则sin=_.sin=_.【解析解析】因因为cos(+)=-sin=m，所以所以sin=-m.答案：答案：-m5.5.将下列三角函数化为将下列三角函数化为0 0到到4545之间角的三角函数之间角的三角函数.(1)sin67(1)sin67=_.=_.(2)cos78(2)cos78=_.=_.(3)tan129(3)tan129=_.=_.【解析解析】(1)sin67=sin(90-23)=cos23.(2)cos78=cos(90-12)=sin12.(3)tan129=tan(180-51)=-tan51.答案：答案：(1)cos23(2)sin12(3)-tan51【知识探究知识探究】知识点知识点 诱导公式五六诱导公式五六观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：设图中单位圆上的：设图中单位圆上的P P1 1坐标为坐标为(x(x，y)y)，能否用其表示出，能否用其表示出sin sin，sin(-)sin(-)，coscos ，coscos(-)(-)的值的值.问题问题2 2：诱导公式一六的统一记忆方法是什么？：诱导公式一六的统一记忆方法是什么？【总结提升总结提升】1.1.对诱导公式五、六的两点说明对诱导公式五、六的两点说明(1)(1)诱导公式五、六反映的是角诱导公式五、六反映的是角 与与的三角函数值之间的关系的三角函数值之间的关系.可借用口诀可借用口诀“函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限”来记忆来记忆.(2)(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.2.2.对诱导公式一六的两点说明对诱导公式一六的两点说明(1)(1)诱导公式一六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函诱导公式一六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系数之间的关系.(2)(2)公式一六的记忆口诀和说明公式一六的记忆口诀和说明口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限.说明：说明：【题型探究题型探究】类型一类型一 利用诱导公式化简、求值利用诱导公式化简、求值【典例典例】1.(20151.(2015临沂高一检测临沂高一检测)若若cos(+Acos(+A)=)=，那么，那么sin(-A)sin(-A)的值为的值为()()2.2.已知已知sin(20sin(20+)=+)=，则，则cos(110cos(110+)=()+)=()3.3.化简：化简：【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，利用诱导公式求中，利用诱导公式求cos(+Acos(+A)，分别等于什么？分别等于什么？提示：提示：cos(+A)=-cos A，=-cos A.2.2.典例典例2 2中，中，2020+与与110110+有什么关系？可以联系到哪组诱导公有什么关系？可以联系到哪组诱导公式？式？提示：提示：20+90=110+，cos(90+)=-sin，sin(90+)=cos.3.3.典例典例3 3中，中，如何化简如何化简.提示：提示：【解析解析】1.选A.因因为cos(+A)=-cos A=所以所以2.选A.cos(110+)=cos90+(20+)=-sin(20+)=3.原式原式=【方法技巧方法技巧】1.1.求值问题中角的转化方法求值问题中角的转化方法2.2.用诱导公式进行化简的要求用诱导公式进行化简的要求三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：(1)(1)化简后项数尽可能的少化简后项数尽可能的少.(2)(2)函数的种类尽可能的少函数的种类尽可能的少.(3)(3)分母不含三角函数的符号分母不含三角函数的符号.(4)(4)能求值的一定要求值能求值的一定要求值.(5)(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.【变式训练变式训练】1.1.若若sin(3+)=-sin(3+)=-，则，则coscos(-)(-)等于等于()()【解析解析】选A.因因为sin(3+)=sin(+)=-sin=所以所以cos(-)=cos4-(+)=cos(+)=-sin=2.2.已知已知coscos 31 31=m=m，则，则sin 239sin 239tan 149tan 149的值是的值是()()【解析解析】选B.sin 239 tan 149=sin(270-31)tan(180-31)=-cos 31(-tan 31)=sin 31=类型二类型二 利用诱导公式证明恒等式利用诱导公式证明恒等式 【典例典例】求证：求证：【解题探究解题探究】本例中，证明等式的策略是什么？本例中，证明等式的策略是什么？提示：提示：从左边开始，使得它等于右边从左边开始，使得它等于右边.【证明明】左左边=右右边.所以原式成立所以原式成立.【延伸探究延伸探究】本例等式左边本例等式左边“sinsin”与与“coscos”互换，右边改为互换，右边改为“”，试证等式成立，试证等式成立.【证明明】左左边=右右边.所以原式成立所以原式成立.【方法技巧方法技巧】证明等式的常用方法证明等式的常用方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：的常用方法有：(1)(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.【变式训练变式训练】证明：证明：【证明明】左左边=-1=右右边.所以原式成立所以原式成立.【补偿训练补偿训练】求证：求证：【证明明】左左边=-tan=右右边.所以原等式成立所以原等式成立.类型三类型三 诱导公式的综合应用诱导公式的综合应用【典例典例】(2015(2015潮州高一检测潮州高一检测)已知已知coscos=-=-，且，且为第三象限角为第三象限角.(1)(1)求求sin sin 的值的值.(2)(2)求求f(f()=)=的值的值.【解题探究解题探究】本例中，本例中，sin sin 的符号如何确定？化简的符号如何确定？化简f(f()用哪几组用哪几组诱导公式？诱导公式？提示：提示：由由为第三象限角知为第三象限角知sin sin 0 0，化简，化简f(f()用公式二、四、五用公式二、四、五.【解析解析】(1)因因为cos=-，且，且为第三象限角，第三象限角，所以所以(2)f()=【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本例条件不变，本例条件不变，求求f(f()=)=的值的值.【解析解析】2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本例条件中本例条件中“coscos=-=-”改为改为“的终的终边与单位圆交于点边与单位圆交于点P(mP(m，)”，“第三象限第三象限”改为改为“第二象限第二象限”.试试求求 的值的值.【解析解析】由已知得由已知得解得解得又因又因为为第二象限角，所以第二象限角，所以m0，故，故所以所以原式原式=【方法技巧方法技巧】用诱导公式化简求值的方法用诱导公式化简求值的方法(1)(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少角函数名最少.(2)(2)对于对于和和 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名而运用后一套公式必须变名.【补偿训练补偿训练】已知已知sin sin 是方程是方程5x5x2 2-7x-6=0-7x-6=0的根，的根，是第三象限角，是第三象限角，求求 的值的值.【解析解析】方程方程5x2-7x-6=0的两个根的两个根为由由是第三象限角，得是第三象限角，得sin=-，则cos=-，tan=所以原式所以原式=【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本例条件不变，本例条件不变，求求 的值的值.【解析解析】原式原式=2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本例条件中本例条件中“sin sin”改为改为“tan tan”，求，求 的值的值.【解析解析】由原由原题知知tan=2，由，由解得解得原式原式=拓展类型三拓展类型三 角复合函数的求值问题角复合函数的求值问题【备选典例备选典例】1.1.已知已知f(cosf(cos x)=x)=coscos 3x 3x，则，则f(sinf(sin x)=()x)=()A.-sin3x A.-sin3x B.sinB.sin 3x C.-3x C.-coscos 3x 3x D.cosD.cos 3x 3x2.2.已知函数已知函数f(xf(x)满足满足f(cosf(cos x)=x(0 x)x)=x(0 x)，求，求f(cosf(cos )的值的值.【解析解析】1.选A.f(sin x)=fcos(-x)2.【方法技巧方法技巧】三角复合函数求值的一般思路三角复合函数求值的一般思路三角复合函数是特殊的函数，是函数三角复合函数是特殊的函数，是函数f(f(外函数外函数)与三角函数与三角函数(内函内函数数)的复合函数，需注意自变量是角，解题的关键是利用诱导公式将的复合函数，需注意自变量是角，解题的关键是利用诱导公式将角转化到定义域中角转化到定义域中.【补偿训练补偿训练】设设f(sinxf(sinx)=3-cos2x)=3-cos2x，则，则f(cosxf(cosx)的值为的值为()A.3-cos2x B.3-sin2xA.3-cos2x B.3-sin2xC.3+cos2x D.3+sin2xC.3+cos2x D.3+sin2x【解析解析】选C.因因为cos x=sin(-x)所以所以f(cos x)=fsin(-x)易错案例易错案例 诱导公式的综合应用诱导公式的综合应用【典例典例】(2015(2015枣庄高一检测枣庄高一检测)已知角已知角终边上一点终边上一点P(-4P(-4，3)3)，则，则 的值为的值为_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是的根本原因是化化简时出出错，实际上上【自我自我矫正正】因因为角角终边过点点P(-4，3)，所以所以所以原式所以原式答案：答案：【防范措施防范措施】1.1.准确把握诱导公式准确把握诱导公式对于六组诱导公式，要从本质上理解对于六组诱导公式，要从本质上理解“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角名称和符号即掌握好三角名称和符号.2.2.注意任意角三角函数的定义及三角函数值符号的规律注意任意角三角函数的定义及三角函数值符号的规律由三角函数的定义易得出三角函数值由三角函数的定义易得出三角函数值“一全正、二正弦、三正切，四一全正、二正弦、三正切，四余弦余弦”的符号规律，用诱导公式化简求值时，要注意这些知识的综合的符号规律，用诱导公式化简求值时，要注意这些知识的综合应用应用.