数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广1 北师大版必修4 .ppt

1.2 角的概念的推广 1.1.在初中角是如何定义的？在初中角是如何定义的？定义定义1 1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角角.顶点顶点边边边边定义定义2 2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角到另一个位置所形成的图形叫作角.A AB BO O顶点顶点始边始边终边终边2.2.角是如何度量的角是如何度量的?角的单位是度角的单位是度.规定规定:周角的周角的 为为1 1度的角度的角.3.3.我们学过哪些角我们学过哪些角?它们的大小是多少它们的大小是多少?锐角锐角:大于大于0 0 小于小于9090 直角：等于直角：等于9090 钝角钝角:大于大于9090 小于小于180180 平角：等于平角：等于180180周角：等于周角：等于360360 我们以前所学过的角都是大于我们以前所学过的角都是大于0 0，小于或等于，小于或等于360360的角的角.生活中很多实例不在生活中很多实例不在0 0360360范围内范围内.像体操运动员转体像体操运动员转体720720，跳水运动员向内、向外转，跳水运动员向内、向外转体体1 0801 080.本节课我们进一步研究更广泛的角本节课我们进一步研究更广泛的角.地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？角这就是这节课我们所要学习的内容这就是这节课我们所要学习的内容角角1.1.通过实例深刻理解推广后角的概念通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点重点)2.2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角的概念的概念.（重点）（重点）3.3.掌握所有与角掌握所有与角终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法.（难点）（难点）探究点探究点1 1 任意角的概念任意角的概念思考思考1 1：下面的角度如何表示？下面的角度如何表示？（）你的手表慢了分钟，想将它校准，（）你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？（）假如你的手表快了（）假如你的手表快了2.52.5小时，想将它校准，小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.顺时针旋转顺时针旋转3030逆时针旋转逆时针旋转900900提示：提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对类比正负数可表示具有相反意义的量，对于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示来表示.思考思考2 2：类比数系的扩充，思考角的概念是否类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广也可以推广?逆时针逆时针 顺时针顺时针任意角定义任意角定义：正角：正角：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：负角：按按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：零角：一条射线从起始位置一条射线从起始位置OAOA没没有作任何旋转，终止位置有作任何旋转，终止位置OBOB与起与起始位置始位置OAOA重合重合任任意意角角记法：角记法：角 或或 ,可简记为可简记为 .注意角的注意角的旋转方向和旋转方向和旋转量旋转量.【特别提醒特别提醒】1.1.角的正负由角的正负由旋转方向旋转方向决定决定.2.2.角可以任意大小，其数值的大小由角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数旋转次数及及终边位置终边位置决定决定.这样，我们就把角的概念推广到了任意角这样，我们就把角的概念推广到了任意角.下列说法正确的是下列说法正确的是()()A.A.一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大越大B.B.在坐标系中，将在坐标系中，将y y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋转到转到x x轴的非负方向形成的角为轴的非负方向形成的角为9090C.C.将钟表调快一个小时，则分针转了将钟表调快一个小时，则分针转了360360D.D.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角形成的角【即时训练即时训练】【解析解析】如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故A A不不正确正确.在坐标系中，将在坐标系中，将y y 轴的非负方向绕坐标原点旋轴的非负方向绕坐标原点旋转到转到x x轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为形成的角为-90-90，故，故B B不正确不正确.将钟表调快一个小时，将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了也是按顺时针转动，故分针转了-360-360，C C不正确不正确.顺顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故向旋转形成的正角，故D D正确正确.答案：答案：D.D.oyx思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的角的始边与始边与x x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？角的终边可能落在哪些位置？提示：提示：如图，可以是坐标轴、如图，可以是坐标轴、第一象限、第二象限、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限第三象限、第四象限探究点探究点2 2 象限角象限角象限角象限角1.1.角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合.2.2.角的始边重合于角的始边重合于x x轴的轴的非负半轴非负半轴.则角的终边（除端点外）在则角的终边（除端点外）在第几象限，第几象限，就是就是第第几象限角几象限角.x xy y O O始边始边终边终边 终边终边 终边终边 终边终边 提示：提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小映角的大小.象限角的图形表示象限角的图形表示思考思考2 2：如图所示的角如图所示的角、角角是第几象限角？怎样是第几象限角？怎样判断一个角是第几象限角判断一个角是第几象限角？提示：提示：角角是第一象限角，角是第一象限角，角是第三象限角是第三象限角.判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与边与x x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说的该角是第几象限角限，就说的该角是第几象限角.坐标轴上的角坐标轴上的角如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限个角不属于任何象限.例如：角的终边落在例如：角的终边落在x x轴或轴或y y轴上轴上.坐标轴上的角坐标轴上的角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角第三象限角第三象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角第一象限角第一象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角象限角象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角角角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角按终边的位置分类按终边的位置分类第二象限角第二象限角1.1.锐角是第几象限的角？锐角是第几象限的角？2.2.第一象限的角是否都是锐角？第一象限的角是否都是锐角？3.3.小于小于9090的角都是锐角吗？的角都是锐角吗？答：答：锐角是第一象限的角锐角是第一象限的角.答：答：第一象限的角并不都是锐角第一象限的角并不都是锐角.答：答：小于小于9090的角并不都是锐角，它也有可能是零角的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角或负角.【即时训练】【即时训练】思考思考1 1：在坐标轴上画出在坐标轴上画出3030,390,390,-330,-330,它它们有什么共同点和内在们有什么共同点和内在联系？联系？提示：提示：终边相同，且终边相同，且3030=30=30+0+0360360 xyO3030390390-330390390=30=30+360+360-330-330=30=30-360-360=30=30+1+1360360 =30=30-1-1360360探究点探究点3 3 终边相同的角终边相同的角390390,-330,-330两个角都可以表示成两个角都可以表示成3030角与角与k k个周角个周角的和的和,其中其中k k为整数为整数.提示：提示：集合集合思考思考2 2：所有与所有与3030角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同3030角角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合S S吗？吗？提醒：提醒：所有与所有与3030角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同3030角在角在内，都是集合内，都是集合S S的元素；反过来，集合的元素；反过来，集合S S的任一元素的任一元素显然都与显然都与3030角终边相同角终边相同.终边相同的角的表示终边相同的角的表示所所有有与与角角终终边边相相同同的的角角，连连同同角角在在内内，可可构构成成一个集合：一个集合：S=S=即即任任何何一一个个与与角角终终边边相相同同的的角角，都都可可以以表表示示成成角角与周角的整数倍的和与周角的整数倍的和.|=+k=+k360360,kZ,kZ(1)(1)kZ.(2)(2)是任意角是任意角.(3)(3)k k360360与与 之间是之间是“+”号，号，如如k k360360-30-30,应看成应看成k k360360+（-30-30）.(4)(4)k的两层含义：的两层含义：特殊性：每对特殊性：每对k k赋一个值可得一个具体角；赋一个值可得一个具体角；一般性：表示了所有与终边一般性：表示了所有与终边重合的角的集合重合的角的集合.【特别提醒】【特别提醒】(5)(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360360的整数倍的整数倍.例例1 1 判定下列各角是第几象限角：判定下列各角是第几象限角：（1 1）-60-60.（2 2）606606.（3 3）-950-9501212.解解:（1 1）因为因为-60-60角的终边在第四象限，角的终边在第四象限，所以它是第四象限角所以它是第四象限角.（2 2）因为）因为606606=360=360+246+246,所以所以606606与与246246角的终边重合，而角的终边重合，而246246的终边在的终边在第三象限，所以第三象限，所以606606是第三象限角是第三象限角.（3 3）因为）因为-950-95012=12=（-2-2）360360-230-23012,12,而而-230-2301212的终边在第二象限，所以的终边在第二象限，所以-950-9501212 是第二象限角是第二象限角.【总结提升】【总结提升】判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把它们化为它们化为 +k k360360,k kZZ，（，（0 0 360360），然后只要考查），然后只要考查 的相关问题即可的相关问题即可.【变式练习】【变式练习】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x x轴的轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角象限的角.(1)-75(1)-75.(2)855.(2)855.(3)-510.(3)-510.【解析】【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：作出各角，其对应的终边如图所示：(1)(1)由图可知：由图可知：-75-75是第四象限的角是第四象限的角.(2)(2)由图可知：由图可知：855855是第二象限的角是第二象限的角.(3)(3)由图可知：由图可知：-510-510是第三象限的角是第三象限的角.例例2 2 在直角坐标系中，写出终边在在直角坐标系中，写出终边在y y轴上的角的集轴上的角的集合（用合（用0 0360360的角表示的角表示).).解解:在在0 0360360范围内，终边在范围内，终边在y y轴上的角有两个，即轴上的角有两个，即9090与与270270角（如图）角（如图）.因此，所有与因此，所有与9090角终边相同的角终边相同的角构成集合角构成集合S1 1=而所有与而所有与270270角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合S2 2=于是，终边在于是，终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合S=S1S2=|=9090+k180180,kZ.|=270270+k360360,kZ解：解：S S=丨丨=k360360+6060,kZ.S S 中适合中适合-360-360 720720的元素是的元素是:60 60-1-1360360=-300=-300,60 60+0+0360360=60=60,60 60+1+1360360=420=420.例例3 3 写出与写出与6060角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合S,S,并把并把S S中适中适合不等式合不等式-360-360 720720 的元素的元素 写出来写出来.【变式练习】【变式练习】如图所示：如图所示：则终边在图中所示直线上的角的集合为则终边在图中所示直线上的角的集合为_._.【解题关键】【解题关键】在在0 0360360范围内找出终边落在图中直线范围内找出终边落在图中直线上的角，利用终边相同的角表示出集合即可上的角，利用终边相同的角表示出集合即可.【解析】【解析】由题干图易知，在由题干图易知，在0 0360360范围内，终边在直范围内，终边在直线线y=-xy=-x上的角有两个，即上的角有两个，即135135和和315315，因此，终边在直，因此，终边在直线线y=-xy=-x上的角的集合为上的角的集合为S=|=135S=|=135+k+k360360,kZ,kZ|=315|=315+k+k360360,kZ,kZ=|=135=|=135+k+k180180,kZ.,kZ.答案答案:|=135|=135+k+k180180,kZ,kZ【总结提升】【总结提升】1.1.终边相同角常用的两个结论终边相同角常用的两个结论(1)(1)终边在同一直线上的角之间相差终边在同一直线上的角之间相差180180的整数倍的整数倍.(2)(2)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差终边在相互垂直的两直线上的角之间相差9090的整数倍的整数倍.2.2.表示区间角的三个步骤表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-180-180180180范围内的角范围内的角和和，写出最简区间，写出最简区间x|xx|x；第三步：起始、终止边界对应角第三步：起始、终止边界对应角，再加上再加上360360的整数倍，的整数倍，即得区间角集合即得区间角集合.1.1.时钟经过时钟经过1 1小时，时针转动的角是小时，时针转动的角是()()A.30A.30B.60B.60C.-30C.-30D.-60D.-60【解析】【解析】时钟经过时钟经过1 1小时，时针转过小时，时针转过1 1格是格是3030，又顺，又顺时针旋转，所以大小为时针旋转，所以大小为-30-30.C C2.2.已知已知=-130=-130,则则的终边落在的终边落在()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限C C【解析】【解析】=-130=-130的角的终边处在的角的终边处在-180-180和和-90-90之之间间,所以其终边落在第三象限所以其终边落在第三象限.3.3.与与-800-800终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是_._.【解析】【解析】与与-800-800终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为|=-800|=-800+k+k360360,kZ.,kZ.当当k=3k=3时，得最小正角时，得最小正角-800-800+3+3360360=280=280.答案：答案：2802804.4.有一个小于有一个小于360360的正角，这个角的的正角，这个角的6 6倍的终边与倍的终边与x x轴的轴的正半轴重合，则这个角为正半轴重合，则这个角为_._.【解析】【解析】由题知，由题知，6=k6=k360360，kZkZ，所以，所以=k=k 6060，kZ.kZ.又因为又因为是小于是小于360360的正角，所以满足的正角，所以满足条件的角条件的角的值为的值为6060，120120，180180，240240，300300.答案答案:6060,120,120,180,180,240,240,300,3005 5.在在0 0360360范围内范围内,找出与找出与-990-9901515角终边相角终边相同的角同的角,并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角.【解析】【解析】因为因为-990-99015=8915=8945-45-3 3360360,所以在所以在0 0360360范围内范围内,与与-990-9901515角终边相角终边相同的角是同的角是898945,45,它是第一象限角它是第一象限角.S S1 1=|=k360360,kZZ ;与与180180角终边相同的角构成的集合角终边相同的角构成的集合S S2 2=|=180=180+k360360,kZ Z =|=180=180+2+2k180180,kZ Z.与与0 0角终边相同的角构成的集合角终边相同的角构成的集合S S=S S1 1S S2 2=|=k180180,kZZ .6 6.写出终边落在写出终边落在x x轴上的角的集合轴上的角的集合.解：解：在在0 0360360范围内范围内,终边在终边在x x轴上的角有两个轴上的角有两个0 0,180,180.回顾本节课的收获回顾本节课的收获角的概念的推广角的概念的推广 任意角的概念任意角的概念象限角象限角终边相同的角终边相同的角的表示的表示不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也.荀况