数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题3 新人教A版选修1-1 .ppt

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题【阅读教材阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记命题的概念、结构，初根据下面的知识结构图阅读教材，并识记命题的概念、结构，初步掌握其真假的判断方法步掌握其真假的判断方法.【知识链接知识链接】1.1.语句的分类：语句一般分为陈述句、疑问句、祈使句、感叹句等，语句的分类：语句一般分为陈述句、疑问句、祈使句、感叹句等，如如“是无理数吗？是无理数吗？”属于疑问句属于疑问句.2.2.相关数学结论：指已学过的概念、公理、定理、推论等数学结论相关数学结论：指已学过的概念、公理、定理、推论等数学结论.如平行于同一条直线的两直线平行等如平行于同一条直线的两直线平行等.主主题题一：一：命命题题的定的定义义及分及分类类【自主自主认认知知】1.1.阅读阅读下面的下面的语语句，它句，它们们的表述形式有什么特点？的表述形式有什么特点？(1)2+4=7.(1)2+4=7.(2)(2)若若x x2 2=1=1，则则x=1.x=1.(3)(3)两个全等三角形的面两个全等三角形的面积积相等相等.(4)3(4)3能被能被2 2整除整除.提示：提示：从这些语句可以看到，它们都是陈述句从这些语句可以看到，它们都是陈述句.2.2.能判断以上能判断以上语语句的真假句的真假吗吗？若能，？若能，请请指出真假指出真假.提示：提示：可以判断真假，其中语句可以判断真假，其中语句(3)(3)判断为真，语句判断为真，语句(1)(2)(4)(1)(2)(4)判断为判断为假假.3.3.通通过对过对以上以上语语句的研究，你句的研究，你发现这发现这些些语语句有什么特点？句有什么特点？提示：提示：通过研究发现它们都是能判断真假的陈述句通过研究发现它们都是能判断真假的陈述句.根据以上探究过程，试着写出命题的定义及分类：根据以上探究过程，试着写出命题的定义及分类：语言、符号或句子语言、符号或句子真假真假真真假假【合作探究合作探究】1.1.以前学以前学习习了很多定理、推了很多定理、推论论，这这些定理、推些定理、推论论是否是命是否是命题题？提示：提示：这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题形式表述的，是命题.2.2.如何判断一个数学命如何判断一个数学命题题是假命是假命题题？提示：提示：数学中判定一个命题是真命题，要经过证明数学中判定一个命题是真命题，要经过证明.而要判断一个命而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可题是假命题，只需举一个反例即可.3.3.公理是真命公理是真命题吗题吗？提示：提示：在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理是公理.因而公理是真命题，不需要证明因而公理是真命题，不需要证明.【拓展延伸拓展延伸】数学中定理和命数学中定理和命题题的区的区别别数学中的定数学中的定义义、定理、公式、公理都是命、定理、公式、公理都是命题题，但命，但命题题与定理是有区与定理是有区别别的，命的，命题题有真假之分，而定理都是真的有真假之分，而定理都是真的.【过过关小关小练练】1.1.下列下列语语句是命句是命题题的是的是()A.A.函数函数y=2y=2x x是增函数是增函数吗吗？B.B.作射作射线线ABABC.C.中国中国领领土不可侵犯土不可侵犯!D.D.当当x1x1时时，x x2 2-3x+20-3x+20【解析解析】选选D.AD.A，B B，C C都不是陈述句，根据命题定义可知，都不是陈述句，根据命题定义可知，D D是命题是命题.2.(1)2.(1)命命题题若若abab，则则a a2 2bb2 2是是_命命题题.(2)(2)命命题题若若x-3x-3，则则x x2 2+x-60+x-60是是_命命题题.(.(填填“真真”或或“假假”)【解析解析】(1)(1)设设a=1b=-2a=1b=-2，但，但a a2 2b-3x=4-3，但，但x x2 2+x-6=140+x-6=140，假命，假命题题.答案：答案：假假主主题题二：二：命命题题的的结结构形式构形式【自主自主认认知知】1.1.观观察下列察下列语语句，判断它句，判断它们们是命是命题吗题吗？(1)(1)若整数若整数a a是素数，是素数，则则a a是奇数是奇数.(2)(2)若平面上两条直若平面上两条直线线不相交，不相交，则这则这两条直两条直线线平行平行.(3)(3)若整数若整数a a能被能被2 2整除，整除，则则a a是偶数是偶数.(4)(4)若若abab，则则acacbcbc.提示：提示：它们都是命题它们都是命题.2.2.你你发现发现以上以上语语句的句的结结构有什么特点？由几部分构成？构有什么特点？由几部分构成？提示：提示：它们都是它们都是“若若p p，则，则q q”的形式，由条件和结论两部分构成的形式，由条件和结论两部分构成.根据以上探究过程，试着写出命题的一般形式：根据以上探究过程，试着写出命题的一般形式：若若P,P,则则q q条件条件P,P,结论结论q q【合作探究合作探究】1.1.如何找到如何找到“若若p p，则则q q”命命题题的条件和的条件和结论结论？提示：提示：一般地，一般地，“若若”后面是条件，后面是条件，“则则”后面是结论后面是结论.2.2.一个命一个命题题写成写成“若若p p，则则q q”的形式后，如何判断命的形式后，如何判断命题题的真假？的真假？提示：提示：当一个命题改写成当一个命题改写成“若若p p，则，则q q”的形式后，判断这种命题真假的形式后，判断这种命题真假的方法是：若由的方法是：若由p p经过逻辑推理推出经过逻辑推理推出q q，则该命题为真；若判定该命题，则该命题为真；若判定该命题为假，只需举出一个反例即可为假，只需举出一个反例即可.【过过关小关小练练】1.1.命命题题“如果一个函数的如果一个函数的图图象是一条直象是一条直线线，那么，那么这这个函数个函数为为一次函数一次函数”的条件是的条件是_；结论结论是是_._.【解析解析】其条件是：一个函数的图象是一条直线，结论是：这个函数其条件是：一个函数的图象是一条直线，结论是：这个函数为一次函数为一次函数.答案：答案：一个函数的图象是一条直线这个函数为一次函数一个函数的图象是一条直线这个函数为一次函数2.2.把把“奇函数的奇函数的图图象关于原点象关于原点对对称称”改写成改写成“若若p p，则则q q”的形式的形式为为_._.【解析解析】改写成改写成“若若p p，则，则q q”的形式为：若一个函数是奇函数，则这的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称个函数的图象关于原点对称.答案：答案：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称【归纳总结归纳总结】1.1.一个语句是命题应具备的两个要素一个语句是命题应具备的两个要素(1)(1)陈述句：一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题陈述句：一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.例如，例如，疑问句疑问句“a a是无理数吗？是无理数吗？”；祈使句；祈使句“求证：求证：是无理数是无理数”；感叹句；感叹句“今天的天气真好啊今天的天气真好啊!”等都不是命题等都不是命题.(2)(2)能判断真假：不能判断真假的就不是命题能判断真假：不能判断真假的就不是命题.这两个条件缺一不可这两个条件缺一不可.2.2.对命题分类的两点说明对命题分类的两点说明(1)(1)真假两类：命题可分为真命题和假命题两种真假两类：命题可分为真命题和假命题两种.因而，给定一个命题，因而，给定一个命题，要么真，要么假，二者必居其一要么真，要么假，二者必居其一.(2)(2)命题、真命题、假命题的联系与区别：命题、真命题、假命题的联系与区别：真命题、假命题是命题，而命题不一定是假命题，也不一定是真命题，真命题、假命题是命题，而命题不一定是假命题，也不一定是真命题，且不是命题的一定不是假命题或真命题且不是命题的一定不是假命题或真命题.3.3.对命题结构形式的两点说明对命题结构形式的两点说明(1)(1)命题构成：一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对命题构成：一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若若p p，则，则q q”的命题，的命题，p p是条件，是条件，q q是结论是结论.(2)(2)形式不唯一：在将一个命题改写成形式不唯一：在将一个命题改写成“若若p p，则，则q q”的形式时，为叙的形式时，为叙述通顺，必要时可添加一些词语，有些命题改法不唯一述通顺，必要时可添加一些词语，有些命题改法不唯一.类类型一：型一：命命题题的判断的判断【典例典例1 1】判断下列判断下列语语句是不是命句是不是命题题，并，并说说明理由明理由.(1)x(1)x2 2+4x+40(xR).+4x+40(xR).(2)(2)你是高二的学生你是高二的学生吗吗？(3)(3)若若x+yx+y和和xyxy都是有理数，都是有理数，则则x x，y y都是有理数都是有理数.(4)60 x+94.(4)60 x+94.(5)(5)求求证证：y=sin 2xy=sin 2x的最小正周期是的最小正周期是.(6)(6)难难道函数道函数y=y=不是偶函数不是偶函数吗吗？【解题指南解题指南】结合命题的定义，先判断其是否为陈述句结合命题的定义，先判断其是否为陈述句(反意疑问句反意疑问句)，再判断其是否能判断真假，进而作出判断，再判断其是否能判断真假，进而作出判断.【解析解析】(1)(1)是命题，因为是命题，因为x x2 2+4x+4=(x+2)+4x+4=(x+2)2 20,0,它包括它包括x x2 2+4x+4+4x+40 0或或x x2 2+4x+4=0+4x+4=0两部分两部分.对于对于xRxR,可以判断真假，它是命题可以判断真假，它是命题.(2)(2)是疑问句，不涉及真假，不是命题是疑问句，不涉及真假，不是命题.(3)(3)是命题是命题,都是有理数，但都是有理数，但2,-22,-2都是都是无理数无理数.(4)(4)不是命题，因语句中含有变量不是命题，因语句中含有变量x x，在没给定，在没给定x x的值之前，无法判断的值之前，无法判断语句的真假语句的真假.(5)(5)是祈使句，不是命题是祈使句，不是命题.(6)(6)是命题，为反意疑问句，意思是函数是命题，为反意疑问句，意思是函数 是偶函数是偶函数.【规规律律总结总结】判断一个判断一个语语句是命句是命题题的思路及的思路及说说明明(1)(1)思路：一般地，判定一个思路：一般地，判定一个语语句是不是命句是不是命题题，要先判断，要先判断这这个个语语句是不句是不是是陈陈述句，再看能不能判断真假述句，再看能不能判断真假.(2)(2)说说明：反意疑明：反意疑问问句含有肯定的意思，只不句含有肯定的意思，只不过语过语气更加气更加强强烈，所以反烈，所以反意疑意疑问问句也是命句也是命题题.提醒：提醒：不要把不要把错误错误的命的命题误认为题误认为不是命不是命题题.【巩固巩固训练训练】判断下列判断下列语语句是不是命句是不是命题题，并，并说说明理由明理由.(1)(1)函数函数f(xf(x)=3)=3x x(xR)(xR)是指数函数是指数函数.(2)x(2)x2 2-3x+2=0.-3x+2=0.(3)(3)函数函数y=y=cosxcosx是周期函数是周期函数吗吗？(4)(4)集合集合aa，b b，cc有有3 3个子集个子集.【解析解析】(1)(1)是命题，满足指数函数的定义，为真是命题，满足指数函数的定义，为真.(2)(2)不是命题，不能判定真假不是命题，不能判定真假.(3)(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假不是命题，是疑问句，不能判断真假.(4)(4)是是命命题题.因因为为aa，b b，cc有有2 23 3=8=8个个子子集集，所所以以集集合合aa，b b，cc有有3 3个个子集，为假子集，为假.因此因此(1)(1)与与(4)(4)是命题；是命题；(2)(2)与与(3)(3)不是命题不是命题.【补偿训练补偿训练】判断下列判断下列语语句是否句是否为为命命题题.(1)(1)若平行四若平行四边边形的形的边边都相等，都相等，则则它是菱形它是菱形.(2)(2)空集是任何集合的真子集空集是任何集合的真子集.(3)(3)对顶对顶角相等角相等吗吗？(4)(4)对顶对顶角不相等角不相等.(5)63.(5)63.(6)x3.(6)x3.【解析解析】(1)(1)是陈述句，能判断真假，是命题；是陈述句，能判断真假，是命题；(2)(2)是陈述句，能判断真假，是命题；是陈述句，能判断真假，是命题；(3)(3)不是陈述句，不是命题；不是陈述句，不是命题；(4)(4)是陈述句，能判断真假，是命题；是陈述句，能判断真假，是命题；(5)(5)是陈述句，能判断真假，是命题；是陈述句，能判断真假，是命题；(6)(6)是陈述句，但不能判断真假，故不是命题是陈述句，但不能判断真假，故不是命题.类类型二：型二：判断命判断命题题的真假的真假【典典例例2 2】判判断断下下列列语语句句是是否否是是命命题题，若若是是，判判断断其其真真假假，并并说说明明理理由由.(1)(1)一个等比数列的公比大于一个等比数列的公比大于1 1时时，该该数列数列为递为递增数列增数列.(2)(2)求求证证：xRxR时时，方程，方程x x2 2-x+2=0-x+2=0无无实实根根.(3)(3)垂直于同一直垂直于同一直线线的两条直的两条直线线平行平行吗吗？(4)(4)当当x=3x=3时时，3x-80.3x-80.【解解题题指指南南】判判定定一一个个命命题题是是假假命命题题，只只要要举举出出一一个个反反例例即即可可，而而要要判定一个命题是真命题，一般要经过严格的推理论证判定一个命题是真命题，一般要经过严格的推理论证.【解解析析】(1)(1)是是命命题题：当当首首项项小小于于零零，公公比比大大于于1 1时时该该数数列列为为递递减减数数列列，该该命命题题为为假假命命题题.(2).(2)该该语语句句为为祈祈使使句句，不不是是命命题题.(3).(3)不不是是命命题题，它它是是疑问句，没有做出判断疑问句，没有做出判断.(4).(4)是命题，当是命题，当x=3x=3时，时，3x-803x-80，是真命题，是真命题.【延伸探究延伸探究】本例中本例中语语句不句不变变，把不是命，把不是命题题的的语语句改句改为为真命真命题题.【解析解析】(2)(3)(2)(3)不是命题不是命题(2)(2)改为真命题是：若改为真命题是：若xRxR，方程，方程x x2 2-x+2=0-x+2=0无实根无实根.(3)(3)改改为为真真命命题题是是：垂垂直直于于同同一一直直线线的的两两条条直直线线可可能能平平行行，可可能能相相交交，也可能异面也可能异面.【规规律律总结总结】1.1.判断命判断命题题真假的两个技巧真假的两个技巧(1)(1)真命真命题题：判断一个命：判断一个命题为题为真命真命题时题时，会涉及学，会涉及学习过习过的概念、定理、的概念、定理、公理、法公理、法则则、公式等，借助于、公式等，借助于题题目中的已知条件，目中的已知条件，经过严经过严格推理格推理论证论证得出要得出要证证的的结论结论.(2)(2)假命假命题题：判断一个命：判断一个命题为题为假命假命题时题时，只要，只要举举一反例即可一反例即可.2.2.判断命题真假的三种方法判断命题真假的三种方法【补偿训练补偿训练】1.(20151.(2015济济南高二南高二检测检测)下列命下列命题题中真命中真命题题有有()mxmx2 2+2x-1=0+2x-1=0是一元二次方程是一元二次方程抛物抛物线线y=axy=ax2 2+2x-1+2x-1与与x x轴轴至少有一个至少有一个交点交点互相包含的两个集合相等互相包含的两个集合相等空集是任何集合的真子集空集是任何集合的真子集A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【解析解析】选选A.A.中当中当m=0m=0时，是一元一次方程，故时，是一元一次方程，故假；假；中当中当=4+4a0=4+4a0时，抛物线与时，抛物线与x x轴无交点，故轴无交点，故假；假；正确正确.若若A AB B，B BA A，则，则A=BA=B；中空集不是它本身的真子集，故中空集不是它本身的真子集，故假假.2.2.下列命下列命题题中是假命中是假命题题的个数的个数为为()多多边边形的外角和与形的外角和与边边数有关；数有关；如果数量如果数量积积ab=0=0，那么向量，那么向量a=0或或b=0；二次方程二次方程a a2 2x x2 2+2x-1=0+2x-1=0有两个不相等的有两个不相等的实实根；根；函数函数f(xf(x)在区在区间间aa，bb有零点，有零点，则则f(a)f(a)f(bf(b)0.)00，故，故正确，多边形外角和恒为正确，多边形外角和恒为360360与边数无关，故与边数无关，故错；错；ab=0=0，即，即|a|b|coscos=0=0，所以，所以a=0或或b=0或或ab，故，故错；错；f(xf(x)在在aa，bb上有零点时，上有零点时，f(a)f(a)f(bf(b)0)0a0，则则二元一次不等式二元一次不等式x+ay-10 x+ay-10表示直表示直线线x+ay-1=0 x+ay-1=0的右上方区域的右上方区域(包括包括边边界界)，条件，条件p p：_，结论结论q q：_，是，是_命命题题.(.(填填“真真”或或“假假”)(2)(2)把下列命题写成把下列命题写成“若若p p，则，则q q”的形式，并判断其真假的形式，并判断其真假.实数的平方是非负数；实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；等底等高的两个三角形是全等三角形；能被能被6 6整除的数既能被整除的数既能被3 3整除也能被整除也能被2 2整除整除.【解题指南解题指南】(1)(1)对若对若p p，则，则q q的命题，直接看出命题的条件和结论的命题，直接看出命题的条件和结论.(2)(2)在改写命题的形式时，要先找准哪部分是命题的条件，哪部分是在改写命题的形式时，要先找准哪部分是命题的条件，哪部分是命题的结论，然后将条件写在前面，结论写在后面命题的结论，然后将条件写在前面，结论写在后面.命题形式的改变命题形式的改变并不改变命题的真假性并不改变命题的真假性.【解析解析】(1)(1)由命题的结构特征知条件由命题的结构特征知条件p p为：为：a0a0，结论，结论q q为：二元一次为：二元一次不等式不等式x+ay-1x+ay-10 0表示直线表示直线x+ay-1=0 x+ay-1=0的右上方区域的右上方区域(包括边界包括边界)；其为；其为真命题真命题.答案：答案：a0a0二元一次不等式二元一次不等式x+ay-1x+ay-10 0表示直线表示直线x+ay-1=0 x+ay-1=0的右上方区的右上方区域域(包括边界包括边界)真真(2)(2)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个这个命题是真命题命题是真命题.原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形三角形.这个命题是假命题这个命题是假命题.原命题可以写成：若一个数能被原命题可以写成：若一个数能被6 6整除，则它既能被整除，则它既能被3 3整除也能被整除也能被2 2整除整除.这个命题是真命题这个命题是真命题.【规规律律总结总结】写出命写出命题题的条件和的条件和结论结论的两种的两种类类型及相型及相应应的策略的策略(1)(1)若若p p，则则q q型：可直接看出命型：可直接看出命题题的条件和的条件和结论结论，p p是条件，是条件，q q是是结论结论.(2)(2)非非“若若p p，则则q q”型：可先确定命型：可先确定命题题的条件和的条件和结论结论，将命，将命题题写成写成“若若p p，则则q q”的形式的形式.改写改写时时要注意：要注意：命命题题中有前提条件中有前提条件时时，前提条件不，前提条件不参与改写，它不是条件，也不是参与改写，它不是条件，也不是结论结论；改写改写时时有有时时需需结结合相关知合相关知识识点点进进行行扩扩写写.提醒：提醒：若命若命题题条件和条件和结论结论比比较隐较隐蔽，要蔽，要补补充完整充完整.【拓展延伸拓展延伸】找出命找出命题题的条件和的条件和结论结论的方法的方法当一个命当一个命题题的条件和的条件和结论结论没有直接表述出来没有直接表述出来时时，应应把命把命题题表述完整，表述完整，把命把命题题改写成改写成“若若p p，则则q q”的形式，的形式，这样这样就可以找出命就可以找出命题题的条件和的条件和结结论论.注意不要把前提条件与命注意不要把前提条件与命题题的条件混淆了，两者有区的条件混淆了，两者有区别别.【巩固巩固训练训练】把下列命把下列命题题改写成改写成“若若p p，则则q q”的形式，并判断命的形式，并判断命题题的的真假真假.(1)(1)奇数不能被奇数不能被2 2整除整除.(2)(2)当当(a-1)(a-1)2 2+(b-1)+(b-1)2 2=0=0时时，a=b=1.a=b=1.(3)(3)两个相似三角形是全等三角形两个相似三角形是全等三角形.(4)(4)在空在空间间中，平行于同一个平面的两条直中，平行于同一个平面的两条直线线平行平行.【解析解析】(1)(1)若一个数是奇数，则它不能被若一个数是奇数，则它不能被2 2整除，是真命题整除，是真命题.(2)(2)若若(a-1)(a-1)2 2+(b-1)+(b-1)2 2=0=0，则，则a=b=1a=b=1，是真命题，是真命题.(3)(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题假命题.(4)(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题是假命题.【补偿训练补偿训练】将下列命将下列命题题改写成改写成“若若p p，则则q q”的形式，并判断真假的形式，并判断真假.(1)(1)垂直于同一条直垂直于同一条直线线的两条直的两条直线线平行平行.(2)(2)负负数的立方是数的立方是负负数数.(3)(3)对顶对顶角相等角相等.【解解析析】(1)(1)若若两两条条直直线线垂垂直直于于同同一一条条直直线线，则则这这两两条条直直线线平平行行.它它是是假命题假命题.(2)(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数若一个数是负数，则这个数的立方是负数.它是真命题它是真命题.(3)(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等若两个角是对顶角，则这两个角相等.它是真命题它是真命题.