数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件3 新人教A版选修1-1 .ppt

1.2.2充要条件【阅读教材阅读教材】根据下面的知识结构阅读教材，并识记充要条件的概念，初步掌根据下面的知识结构阅读教材，并识记充要条件的概念，初步掌握充要条件的判断与证明方法握充要条件的判断与证明方法.【知识链接知识链接】1.1.充分与必要条件：指的是若充分与必要条件：指的是若p pq q，则称，则称p p为为q q的充分条件，的充分条件，q q为为p p的必的必要条件要条件.2.2.充分条件与必要条件的判断方法：充分条件与必要条件的判断方法：(1)(1)定义法：看定义法：看p pq q成立还是成立还是q qp p成立成立.(2)(2)集合法：看集合法：看A AB B还是还是B BA.A.主主题：充要条件的概念充要条件的概念【自主自主认知知】1.1.已知已知p p：整数：整数a a是是6 6的倍数，的倍数，q q：整数：整数a a是是2 2和和3 3的倍数的倍数.请判断：判断：p p是是q q的的充分条件充分条件吗？p p是是q q的必要条件的必要条件吗？提示：提示：p pq q，故，故p p是是q q的充分条件，又的充分条件，又q qp p，故，故p p是是q q的必要条件的必要条件.2.2.通通过判断，你判断，你发现了什么？了什么？这种关系是否种关系是否对任意一个任意一个“若若p p，则q q”的命的命题只要具只要具备上述命上述命题的条件都成立？你能用数学的条件都成立？你能用数学语言概括出来言概括出来吗？提示：提示：可以发现可以发现p p既是既是q q的充分条件，又是的充分条件，又是q q的必要条件，且这种关系的必要条件，且这种关系对对“若若p p，则，则q q”的命题只要具备的命题只要具备p pq q，q qp p都成立，即都成立，即p pq q.根据以上探究过程，试着完成充要条件的概念：根据以上探究过程，试着完成充要条件的概念：一般地，如果一般地，如果_，又有，又有_，就记作，就记作_._.此时我们说，此时我们说，p p是是q q的充分必要条件，简称充要条件的充分必要条件，简称充要条件.显然，显然，q q也是也是p p的充要条件，概括的充要条件，概括地说：如果地说：如果p pq q，那么，那么p p与与q q互为充要条件互为充要条件.既有既有p pq qq qp pp pq q【合作探究合作探究】1.1.符号符号“”的含的含义是什么？是什么？提示：提示：符号符号“”的含义是的含义是“等价于等价于”.例如，例如，“p pq q”可以理解为可以理解为“p p是是q q的充要条件的充要条件”“”“p p等价于等价于q q”“”“q q必须且只须必须且只须p p”；“p pq q”的含的含义还可以理解为义还可以理解为“p pq q，且，且q qp p”.2.p2.p是是q q的充要条件与的充要条件与q q是是p p的充要条件的意的充要条件的意义相同相同吗？提示：提示：不相同不相同.两者都有两者都有p p与与q q等价的含义，但是两种叙述方式中的条等价的含义，但是两种叙述方式中的条件与结论不同：件与结论不同：“p p是是q q的充要条件的充要条件”中，中，“p p”是条件，是条件，“q q”是结论，是结论，即即p pq q为真，充分性成立，为真，充分性成立，q qp p为真，必要性成立；而为真，必要性成立；而“q q是是p p的充要的充要条件条件”中的条件是中的条件是“q q”，结论是，结论是“p p”，即，即q qp p为真，充分性成立，为真，充分性成立，p pq q为真，必要性成立为真，必要性成立.3.3.若若p p不是不是q q的充分条件，的充分条件，则q q可能是可能是p p的必要条件的必要条件吗？p p可能是可能是q q的必要的必要条件条件吗？提示：提示：充分条件与必要条件是共存的，如果充分条件与必要条件是共存的，如果p p不是不是q q的充分条件，则的充分条件，则q q也不是也不是p p的必要条件的必要条件.p.p可能是可能是q q的必要条件的必要条件.【过关小关小练】1.b=01.b=0是函数是函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c+bx+c为偶函数的偶函数的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选C.C.若若b=0b=0，则，则f(xf(x)=ax)=ax2 2+c+c为偶函数；若为偶函数；若f(xf(x)为偶函数，则为偶函数，则有有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)得得b=0b=0，故，故b=0b=0是函数是函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c+bx+c为偶函数的充要条为偶函数的充要条件件.2.x=12.x=1是是x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析解析】选选A.A.因为因为x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的解为的解为x=1x=1或或x=2x=2，所以，所以x=1x=1是是x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的的充分不必要条件充分不必要条件.3.m+53.m+5为无理数是无理数是m m为无理数的无理数的_条件条件.【解析解析】m+5m+5为无理数为无理数m m为无理数为无理数.答案：答案：充要充要【归纳总结归纳总结】1.1.充要条件概念的两个关注点充要条件概念的两个关注点(1)(1)两个条件：只有当两个条件：只有当“p pq q”“”“q qp p”这两个条件同时满足时，这两个条件同时满足时，p p与与q q才互为充要条件才互为充要条件.(2)(2)两层含义：两层含义：p p与与q q互为充要条件有两层含义：互为充要条件有两层含义：p p是是q q的充要条件；的充要条件；q q是是p p的充要条件的充要条件.2.2.常见的充分条件、必要条件的四种关系常见的充分条件、必要条件的四种关系(1)p(1)p是是q q的充分不必要条件：即的充分不必要条件：即p pq q，但，但(2)p(2)p是是q q的必要不充分条件：即的必要不充分条件：即 但但q qp p.(3)p(3)p是是q q的充要条件：即的充要条件：即p pq q且且q qp p.(4)p(4)p是是q q的既不充分也不必要条件：即的既不充分也不必要条件：即 且且【拓展延伸拓展延伸】等价命等价命题的的转化与充要条件化与充要条件由于由于p p是是q q的充要条件和的充要条件和p p与与q q等价是一致的，因而我等价是一致的，因而我们可以通可以通过这一一结论将我将我们所要所要证明判定的明判定的结论和利用的条件和利用的条件进行行转化，即我化，即我们可以把可以把命命题p p转化化为命命题q q来来证明判定，明判定，这就是数学上重要的就是数学上重要的转化思想化思想.类型一：型一：充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014天津高考天津高考)设a a，bRbR，则“abab”是是“a|aa|a|b|bb|b|”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件(2)(2)在下列在下列结论中，正确的有中，正确的有()xx2 299是是x x3 3-27-27的必要不充分条件的必要不充分条件.在在ABCABC中，中，“ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2”是是“ABCABC为直角三角形直角三角形”的充要条件的充要条件.若若a a，bRbR，则“a a2 2+b+b2 200”是是“a a，b b全不全不为0 0”的充要条件的充要条件.若若a a，bRbR，则“a a2 2+b+b2 200”是是“a a，b b不全不全为0 0”的充要条件的充要条件.A.B.A.B.C.C.D.D.【解题指南解题指南】可根据充要条件的特点，分两个步骤进行判断：可根据充要条件的特点，分两个步骤进行判断：判断判断充分性，充分性，判断必要性判断必要性.【解析解析】(1)(1)选选C.C.当当b0bab ba|aa|a|b|bb|b|；当；当b=0b=0时，显然时，显然有有aab ba|aa|a|b|bb|b|；当；当b0b0时，时，abab有有|a|b|a|b|，所以，所以aab ba|aa|a|b|bb|b|.|.综上可知综上可知aab ba|aa|a|b|bb|b|.|.(2)(2)选选C.C.对于结论对于结论，由，由x x3 3-27-27x-3x99，但是，但是x x2 299x-3x3x3x x3 3-272727，不一定有，不一定有x x3 3-271x1”是是”x x3 311”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选C.C.由题易知由题易知“x1x1”可以推得可以推得“x x3 311”,“x x3 311”可以得到可以得到“x1x1”,所以所以“x1x1”是是“x x3 311”的充要条件的充要条件.【补偿训练】1.1.“a=-2a=-2”是是“直直线ax+2y=0ax+2y=0平行于直平行于直线y=1+xy=1+x”的的()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选C.C.当当“a=-2a=-2”时，时，“直线直线-2x+2y=0-2x+2y=0平行于直线平行于直线y=1+xy=1+x”成成立；若立；若“直线直线ax+2y=0ax+2y=0平行于直线平行于直线y=1+xy=1+x”，则，则2+a=02+a=0，即，即“a=-2a=-2”成成立立.故故“a=-2a=-2”是是“直线直线ax+2y=0ax+2y=0平行于直线平行于直线y=1+xy=1+x”的充要条件的充要条件.2.2.“k=1k=1”是是“函数函数y=cosy=cos2 2kx-sinkx-sin2 2kxkx的最小正周期的最小正周期为”的充分不的充分不必要条件；必要条件；“a=3a=3”是是“直直线ax+2y+3a=0ax+2y+3a=0与直与直线3x+(a-1)y=a-73x+(a-1)y=a-7相互垂直相互垂直”的必要的必要不充分条件；不充分条件；函数函数y=y=的最小的最小值为2.2.其中其中错误的的为_(_(将你将你认为错误的序号全都填上的序号全都填上).).【解题指南解题指南】结合充分条件和必要条件逐一判断结合充分条件和必要条件逐一判断.【解析解析】“函数函数y=cosy=cos2 2kx-sinkx-sin2 2kx=cos2kxkx=cos2kx的最小正周期为的最小正周期为”“k k=1 1”，正确；，正确；当当“a=3a=3”时，时，“直线直线3x+2y+9=03x+2y+9=0不与直线不与直线3x+2y=-43x+2y=-4相互垂直相互垂直”；“直线直线ax+2y+3a=0ax+2y+3a=0与直线与直线3x+(a-1)y=a-73x+(a-1)y=a-7相互垂直相互垂直”，则，则“a3a3”，错，错误；误；函数函数令令 则则当当 时时y y的最小值为的最小值为 错误错误.答案：答案：类型二：型二：充分不必要条件、必要不充分条件的充分不必要条件、必要不充分条件的应用用【典例典例2 2】已知条件已知条件p p：A=x|xA=x|x2 2-(a+1)x+a0-(a+1)x+a0，条件，条件q q：B=x|xB=x|x2 2-3x+20-3x+20，当，当a a为何何值时，(1)p(1)p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.(2)p(2)p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(3)p(3)p是是q q的充要条件的充要条件.【解题指南解题指南】先化简先化简p p，q q对应的集合，再结合对应的集合，再结合p p，q q的关系转化为集合的关系转化为集合A A，B B间的关系，构建方程或不等式可解间的关系，构建方程或不等式可解.【解析解析】因为因为A=x|xA=x|x2 2-(a+1)x+a-(a+1)x+a0=x|(x-1)(x-a)0=x|(x-1)(x-a)0.0.B=x|xB=x|x2 2-3x+2-3x+20=10=1，22，(1)(1)因为因为p p是是q q的充分不必要条件，所以的充分不必要条件，所以A A B B，而当，而当a=1a=1时，时，A=1A=1，显，显然成立，当然成立，当a1a1，A=1A=1，aa，需，需1a21a2，综上可知综上可知1a21a2a2，所以有所以有a2a2时时p p是是q q的必要而不充分条件的必要而不充分条件.(3)(3)因为因为p p是是q q的充要条件，所以的充要条件，所以A=BA=B，故，故a=2.a=2.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法)本例条件不本例条件不变，当，当a a为何何值时，q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件？【解析解析】p p：A=x|(x-1)(x-a)A=x|(x-1)(x-a)00，q q：B=1B=1，22，若，若q q是是p p的充分不必要条件，即的充分不必要条件，即q qp p，但，但p qp q，即，即p p是是q q的必要不充分条件，故的必要不充分条件，故a a的取值范围为的取值范围为a2.a2.2.(2.(变换条件条件)若把本例中若把本例中B B集合改集合改为：B=x|xB=x|x2 2+x-20+x-20，其他条件不，其他条件不变，则a a为何何值？【解析解析】B=x|xB=x|x2 2+x-2+x-20=-20=-2，11，此时，此时，(1)A(1)A B B，得：，得：-2a1.-2a1.(2)B(2)B A A，得：，得：a-2.a-2.(3)A=B(3)A=B，得：，得：a=-2.a=-2.【规律律总结】应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范范围)的一般步的一般步骤(1)(1)根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要条件根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化化为集合集合间的关系的关系.(2)(2)根据集合根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解的关系构建关于参数的方程或不等式求解.【补偿训练补偿训练】(2015(2015厦门高二检测厦门高二检测)设设p p：q q：(x-a)xx-a)x-(a+1)0(a+1)0，若，若q q是是p p的必要而不充分条件，则实数的必要而不充分条件，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】p p：q q：axa+1,axa+1,依题意有依题意有 x|axa+1x|axa+1，得，得 或或答案：答案：类型三：类型三：充要条件的证明充要条件的证明【典例典例3 3】(2015(2015兰州高二检测兰州高二检测)已知已知x,yx,y都是非零实数，且都是非零实数，且x xy y，求，求证：证：的充要条件是的充要条件是xyxy0.0.【解题指南解题指南】先证充分性：先证充分性：xyxy0 0再证必要性：再证必要性：xyxy0.0.【证明证明】(1)(1)充分性：由充分性：由xyxy0 0因为因为xyxy0 0，且，且x xy,y,所以所以(2)(2)必要性：由必要性：由 xyxy0,0,因为因为 即即又因为又因为x xy y，所以，所以y-xy-x0 0，所以，所以xyxy0.0.【规律律总结】1.1.充要条件充要条件证明的两个方面明的两个方面要要证明充要条件，就是要明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要条件；要证明必要不充分条件，就是要明必要不充分条件，就是要证明，一个是必要条件，另一明，一个是必要条件，另一个是不充分条件；要个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要明充分不必要条件，就是要证明，一个是充分明，一个是充分条件，另一个是不必要条件条件，另一个是不必要条件.2.2.充要条件证明的两个关注点充要条件证明的两个关注点(1)(1)证明证明p p是是q q的充要条件，首先要明确的充要条件，首先要明确p p是条件，是条件，q q是结论；其次推证是结论；其次推证p pq q是证明充分性，推证是证明充分性，推证q qp p是证明必要性是证明必要性.(2)(2)充要性的证明，一般有一种情形是比较简单易证的，因此在证明充要性的证明，一般有一种情形是比较简单易证的，因此在证明时，既可以先证明充分性，也可以先证明必要性时，既可以先证明充分性，也可以先证明必要性.【巩固巩固训练】对于两个非零的平面向量于两个非零的平面向量a，b，求，求证：abab=0.=0.【证明证明】(1)(1)必要性：设向量必要性：设向量a与与b的夹角为的夹角为.因为因为a0，b0，ab=0=0，所以所以|a|b|cos|cos=0.=0.又因为又因为|a|b|0|0，所以所以coscos=0=0，又因为又因为00，所以所以 所以所以ab.(2)(2)充分性：因为充分性：因为ab，所以，所以a与与b的夹角为的夹角为所以所以ab=|=|a|b|cos|cos =0.=0.由由(1)(2)(1)(2)，得，得abab=0.=0.【补偿训练】求求证：关于：关于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)，有一正根和，有一正根和一一负根的充要条件是根的充要条件是ac0.ac0-4ac0，x x1 1x x2 2=0=0，所以，所以ac0.ac0.充分性：由充分性：由ac0ac0-4ac0及及x x1 1x x2 2=0=0，所以方程，所以方程axax2 2+bx+c+bx+c=0(a0)=0(a0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程有两个不相等的实根，且两根异号，即方程axax2 2+bx+c+bx+c=0(a0)=0(a0)有一正根和一负根有一正根和一负根.