数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词2 新人教A版选修1-1 .ppt

1.3简单的逻辑联结词【自主自主预习预习】1.1.用用逻辑联结词逻辑联结词构成新命构成新命题题构成新命题构成新命题记作记作读作读作用联结词用联结词“且且”把命题把命题p p和和命题命题q q联结起来联结起来,就得到一个就得到一个新命题新命题_pqpqp p且且q q构成新命题构成新命题记作记作读作读作用联结词用联结词“或或”把命题把命题p p和和命题命题q q联结起来联结起来,就得到一个就得到一个新命题新命题_对一个命题对一个命题p p全盘否定全盘否定,就得就得到一个新命题到一个新命题_pqpqp p或或q q p p非非p p或或p p的的否定否定2.2.含含逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题的真假判断的真假判断p pq qpqpqpqpq p p真真真真_真真假假_假假真真_假假假假_真真真真假假假假真真假假假假真真真真假假假假真真【即即时时小小测测】1.1.已知命已知命题题p:p:若若=,=,则则sinsin=;=;命命题题q:q:若若sinsin=,=,则则=.=.下面四个下面四个结论结论中正确的是中正确的是()A.pqA.pq是真命是真命题题 B.pqB.pq是真命是真命题题C.C.p p是真命是真命题题 D.D.q q是假命是假命题题【解析解析】选选B.B.由题意可知由题意可知,命题命题p p为真命题为真命题,命题命题q q为假为假命题命题,所以所以p pq q是真命题是真命题.2.2.已知命已知命题题p:p:所有有理数都是所有有理数都是实实数数,命命题题q:q:正数的正数的对对数数都是都是负负数数,则则下列命下列命题题中中为为真命真命题题的是的是()A.(A.(p)qp)q B.pqB.pqC.(C.(p)(p)(q q)D.(D.(p)(p)(q q)【解析解析】选选D.D.不难判断命题不难判断命题p p为真命题为真命题,命题命题q q为假命题为假命题,从而从而 p p为假命题为假命题,q q为真命题为真命题,所以所以A,B,CA,B,C均为假命题均为假命题.3.3.用用“充分、必要、充要充分、必要、充要”填空填空:(1)pq(1)pq为为真命真命题题是是pqpq为为真命真命题题的的_条件条件.(2)(2)p p为为假命假命题题是是pqpq为为真命真命题题的的_条件条件.【解析解析】因为或命题为真因为或命题为真,则一真即真则一真即真,且命题为真且命题为真,必必须都为真须都为真,因此第一个命题中因此第一个命题中,条件是结论成立的必要条件是结论成立的必要条件条件,而第二个命题中而第二个命题中,非非p p为假为假,说明说明p p为真为真,则或命题则或命题为真为真,则一真即真则一真即真,因此第二个命题中因此第二个命题中,条件是结论成立条件是结论成立的充分条件的充分条件.答案答案:(1)(1)必要必要(2)(2)充分充分【知知识识探究探究】探究点探究点逻辑联结词逻辑联结词的含的含义义1.xAB1.xAB的含的含义义是什么是什么?提示提示:x xA A或或x xB B,有三种情况有三种情况:x xA A但但x x B;xB;xB B但但x x A;xA;xA A并且并且x xB B.2.2.p p是命是命题题p p的否命的否命题吗题吗?提示提示:不是不是,设命题设命题p p为为:若若m m则则n,n,那么命题那么命题p p的否命题是若的否命题是若 m m则则 n,n,而而 p p是若是若m m则则 n.n.【归纳总结归纳总结】对逻辑联结词对逻辑联结词的理解的理解(1)(1)“且且”表示同表示同时时的意思的意思,“或或”表示至少一个表示至少一个,“非非”表示表示对对原命原命题题否定否定.(2)(2)从集合与串、并从集合与串、并联电联电路理解路理解逻辑联结词逻辑联结词;从交集、串从交集、串联电联电路看路看“且且”命命题题(i)(i)对对于于逻辑联结词逻辑联结词“且且”的理解的理解,可可联联系集合中系集合中“交集交集”的的概念概念,即即AB=AB=x xxAxA且且xBxB,二者含二者含义义是一致的是一致的,都都表示表示“既既,又又”的意思的意思.(ii)(ii)对对于含有于含有逻辑联结词逻辑联结词“且且”的命的命题题真假的判断真假的判断,可以可以联联系系电电路中两个串路中两个串联联开关的开关的闭闭合或断开与合或断开与电电路的通或断路的通或断的的对应对应加以理解加以理解(如如图图所示所示).).从并集、并从并集、并联电联电路看路看“或或”命命题题(i)(i)对对于于逻辑联结词逻辑联结词“或或”的理解的理解,可可联联系集合中系集合中“并集并集”的的概念概念,即即AB=AB=x xxAxA或或xBxB,二者含二者含义义是一致的是一致的,如如果果p:p:集合集合A;qA;q:集合集合B;B;则则pqpq:集合集合AB.AB.(ii)(ii)对对于含有于含有逻辑联结词逻辑联结词“或或”的命的命题题真假的判断真假的判断,可以可以联联系系电电路中两个并路中两个并联联开关的开关的闭闭合或断开与合或断开与电电路的通或断路的通或断的的对应对应加以理解加以理解(如如图图所示所示).).从从补补集及集及电电路看路看“非非”命命题题(i)(i)“非非”:从集合的角度看从集合的角度看,若若设设P=P=x|xx|x满满足命足命题题p,p,则则“p p”对应对应于集合于集合P P在全集在全集U U中的中的补补集集=x|xUx|xU,且且x x P,pP,p与与“p p”的真假关系的真假关系:真假真假对对立立.(ii)ii)“p p”:从从电电学来学来讲讲,“p p”相当于一个相当于一个电电路断开路断开时时的情的情形形,p,p与与“p p”的真假关系的真假关系:真假相反真假相反,即即p p为为真真时时,“p p”为为假假;p;p为为假假时时,“p p”为为真真(如如图图所示所示).).特特别别提醒提醒:有的命有的命题题表面上不含表面上不含逻辑联结词逻辑联结词,但有与但有与联结联结词词等效的等效的词语词语,注意辨注意辨识识.类类型一型一含有含有逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题构成构成【典例典例】1.1.命命题题“菱形的菱形的对对角角线线垂直并且互相平分垂直并且互相平分”中中使用的使用的逻辑联结词逻辑联结词是是_,_,所以此命所以此命题题是是_形式的命形式的命题题.2.2.写出下列各写出下列各组组命命题题构成的构成的“p p或或q q”“”“p p且且q q”以及以及“非非p p”形式的命形式的命题题.(1)p:(1)p:是有理数是有理数,q:,q:是整数是整数.(2)p:(2)p:不等式不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集是的解集是(-,-1),(-,-1),q:q:不等式不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集是的解集是(3,+).(3,+).【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中有中有逻辑联结词吗逻辑联结词吗?提示提示:有有,为为“且且”.2.2.改写改写“p p或或q q”“”“p p且且q q”以及以及“非非p p”命命题题的关的关键键是什么是什么?提示提示:准确理解准确理解“或或”“”“且且”“”“非非“的含义的含义.【解析解析】1.1.命题使用了命题使用了“且且”,是是“p p且且q q”形式的命题形式的命题.答案答案:且且p p且且q q2.(1)p2.(1)p或或q:q:是有理数或是有理数或 是整数是整数;p p且且q:q:是有理数且是有理数且 是整数是整数;非非p:p:不是有理数不是有理数.(2)p(2)p或或q:q:不等式不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集是的解集是(-,-1)(-,-1)或不等式或不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集是的解集是(3,+);(3,+);p p且且q:q:不等式不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集是的解集是(-,-1)(-,-1)且不等式且不等式x x2 2-2x-302x-30的解集是的解集是(3,+);(3,+);非非p:p:不等式不等式x x2 2-2x-30-2x-30的解集不是的解集不是(-,-1).(-,-1).【方法技巧方法技巧】用用逻辑联结词逻辑联结词构造新命构造新命题题的两个步的两个步骤骤第一步第一步:确定两个确定两个简单简单命命题题p,qp,q;第二步第二步:分分别别用用逻辑联结词逻辑联结词“且且”“”“或或”将将p p和和q q联结联结起来起来,就就得到一个新命得到一个新命题题“pqpq”“”“pqpq”,用用“非非”将命将命题题p p全全盘盘否否定定,得到命得到命题题“p p”.【拓展延伸拓展延伸】简单简单命命题题与复合命与复合命题题不含不含逻辑联结词逻辑联结词“且且”“”“或或”“”“非非”的命的命题题是是简单简单命命题题,由由简简单单命命题题与与逻辑联结词逻辑联结词构成的命构成的命题题是复合命是复合命题题,因此就有因此就有“pqpq”“”“pqpq”“”“p p”形式的复合命形式的复合命题题,其中其中p,qp,q是是简单简单命命题题,由由简单简单命命题题构成复合命构成复合命题题的关的关键键是是对逻辑联结词对逻辑联结词“且且”“”“或或”“”“非非”的理解的理解.【变变式式训练训练】1.1.分分别别指出下列命指出下列命题题的形式及构成它的的形式及构成它的简单简单命命题题:(1)3(1)3是是质质数或合数数或合数.(2)(2)他是运他是运动员动员兼教兼教练员练员.(3)(3)相似三角形不一定是全等三角形相似三角形不一定是全等三角形.【解析解析】(1)(1)这个命题是这个命题是“p p或或q q”形式形式,其中其中p:3p:3是质数是质数,q:3,q:3是合数是合数.(2)(2)这个命题是这个命题是“p p且且q q”形式形式,其中其中p:p:他是运动员他是运动员,q:,q:他他是教练员是教练员.(3)(3)这个命题是这个命题是“非非p p”形式形式,其中其中p:p:相似三角形一定是相似三角形一定是全等三角形全等三角形.2.2.写出下列命写出下列命题题p p的非的非(否定否定).).(1)p:100(1)p:100既能被既能被4 4整除又能被整除又能被5 5整除整除.(2)p:(2)p:三条直三条直线线两两相交两两相交.(3)p:(3)p:一元二次方程至多有两个解一元二次方程至多有两个解.(4)p:2x3.(4)p:23.x3.类类型二型二含含逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题的真假判断的真假判断【典例典例】1.1.给给出命出命题题p:33;q:p:33;q:函数函数f(xf(x)=)=在在R R上的上的值值域域为为-1,1.-1,1.在下列三个命在下列三个命题题:“pqpq”“pqpq”“”“非非p p”中中,真命真命题题的个数的个数为为()A.0 B.1A.0 B.1 C.2C.2 D.3D.32.2.指出下列命指出下列命题题的形式及命的形式及命题题的真假的真假:(1)48(1)48是是1616与与1212的公倍数的公倍数.(2)(2)方程方程x x2 2+x+3=0+x+3=0没有没有实实数根数根.(3)(3)相似三角形的周相似三角形的周长长相等或相等或对应对应角相等角相等.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中命中命题题p p是什么形式的命是什么形式的命题题?提示提示:或形式的命题或形式的命题.2.2.判断含有判断含有逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题真假的关真假的关键键是什么是什么?提示提示:判断联结词联结的两个命题的真假判断联结词联结的两个命题的真假.【解析解析】1.1.选选B.pB.p为真命题为真命题.对于对于q,q,因为因为f(xf(x)对应的函对应的函数值只有两个数值只有两个,即即1 1或或-1,-1,所以所以f(xf(x)的值域为的值域为1,-1,1,-1,所所以以q q为假命题为假命题,所以所以pqpq假假,pqpq真真,非非p p假假.2.(1)2.(1)这个命题是这个命题是“pqpq”的形式的形式,其中其中p:48p:48是是1616的倍的倍数数,是真命题是真命题;q:48;q:48是是1212的倍数的倍数,是真命题是真命题,所以所以“4848是是1616与与1212的公倍数的公倍数”是真命题是真命题.(2)(2)这个命题是这个命题是“p p”的形式的形式,其中其中p:p:方程方程x x2 2+x+3=0+x+3=0有有实数根实数根,是假命题是假命题,所以命题所以命题“方程方程x x2 2+x+3=0+x+3=0没有实数没有实数根根”是真命题是真命题.(3)(3)这个命题是这个命题是“pqpq”的形式的形式.其中其中p:p:相似三角形的相似三角形的周长相等周长相等,是假命题是假命题;q:;q:相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等,是真是真命题命题,所以所以“相似三角形的周长相等或对应角相等相似三角形的周长相等或对应角相等”是是真命题真命题.【方法技巧方法技巧】判断含判断含逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题真假的三个步真假的三个步骤骤(1)(1)明确命明确命题题的的结结构构,即命即命题题是是“pqpq”“”“pqpq”,还还是是“p p”.(2)(2)对对命命题题p p和和q q的真假作出判断的真假作出判断.(3)(3)由由“pqpq”“”“pqpq”“”“p p”的真假判断方法的真假判断方法给给出出结论结论.【变变式式训练训练】已知命已知命题题p p1 1:函数函数y=2y=2x x-2-2-x-x在在R R上上为为增函数增函数,p,p2 2:函数函数y=2y=2x x+2+2-x-x在在R R上上为为减函数减函数.在命在命题题q q1 1:p:p1 1pp2 2,q,q2 2:p:p1 1pp2 2,q,q3 3:(:(p p1 1)p)p2 2和和q q4 4:p:p1 1(p p2 2)中中,真命真命题题是是()A.qA.q1 1,q,q3 3 B.q B.q2 2,q,q3 3C.qC.q1 1,q,q4 4 D.qD.q2 2,q,q4 4【解析解析】选选C.C.因为因为y=2y=2x x在在R R上为增函数上为增函数,y=2y=2-x-x=()=()x x在在R R上为减函数上为减函数,所以所以y=-2y=-2-x-x=-()=-()x x在在R R上为增函数上为增函数,所以所以y=2y=2x x-2-2-x-x在在R R上为增函数上为增函数,故故p p1 1是真命题是真命题.y=2y=2x x+2+2-x-x在在R R上为减函数是错误的上为减函数是错误的,故故p p2 2是假命题是假命题.所以所以q q1 1:p:p1 1pp2 2是真命题是真命题,因此排除因此排除B B和和D.D.q q2 2:p:p1 1pp2 2是假命题是假命题,q,q3 3:p p1 1是假命题是假命题,(p p1 1)p)p2 2是假命题是假命题,故故q q3 3是假命题是假命题,排除排除A.A.【补偿训练补偿训练】已知命已知命题题p:p:x x0 0R,R,使使tanxtanx0 0=1,=1,命命题题q:xq:x2 2-3x+20-3x+20的解集是的解集是x|1x2.x|1x2.下列下列结论结论:命命题题“pqpq”是真命是真命题题;命命题题“p(p(q q)”是假命是假命题题;命命题题“(p)qp)q”是真命是真命题题;命命题题“(p)(p)(q q)”是假命是假命题题,其中其中正确的是正确的是_.(_.(填所有正确填所有正确结论结论的序号的序号)【解析解析】命题命题p:p:x x0 0R,R,使使tanxtanx0 0=1,=1,正确正确,命题命题q:xq:x2 2-3x+203x+20的解集是的解集是x|1x2,x|1x2.m2.因为因为q:q:方程方程4x4x2 2+4(m-2)x+1=0+4(m-2)x+1=0无实数根无实数根,所以所以0,0,即即16(m-2)16(m-2)2 2-160,-160,所以所以16(m16(m2 2-4m+3)0,-4m+3)0,所以所以1m3.1m3.因为因为pqpq为真为真,pqpq为假为假,所以所以p p为真为真,q,q为假或者为假或者p p为假为假,q,q为真为真.即即 或或解得解得m3m3或或1m2.1m2.所以所以m m的取值范围为的取值范围为m|m3m|m3或或1m2.12.m2.q:q:方程方程4x4x2 2+4(m-2)x+1=0+4(m-2)x+1=0无实数根无实数根=16(m-2)=16(m-2)2 2-160-160 1m3.1m3.所以实数所以实数m m的取值范围是的取值范围是2m3.2m0,a1.a0,a1.设设p:p:函数函数y=logy=loga a(x+1)(x+1)在在(0,+)(0,+)内内单调递单调递减减;q:;q:曲曲线线y=xy=x2 2+(2a-3)x+1+(2a-3)x+1与与x x轴轴交于不交于不同的两点同的两点.若若p p或或q q为为真真,p,p且且q q为为假假,求求a a的取的取值值范范围围.【解析解析】当当0a10a1a1时时,y=log,y=loga a(x+1)(x+1)在在(0,+)(0,+)内不是单调递减函数内不是单调递减函数,故故p p为真时为真时0a1.0a0,-40,即即aa .a .又又a0,a0,所以所以0a 0a .a .因为因为p p或或q q为真为真,p,p且且q q为假为假,所以所以p,qp,q中必定是一个为真一个为假中必定是一个为真一个为假.(1)(1)若若p p真真,q,q假假,则则即即aa(2)(2)若若p p假假,q,q真真,则则 即即aa综上可知综上可知,a,a的取值范围为的取值范围为自我自我纠错纠错由含由含逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题真假求参数的取真假求参数的取值值范范围围【典例典例】已知命已知命题题p:p:任意任意x2,3,x2,3,使得使得x x2 2-a0-a0都成都成立立,命命题题q:q:指数函数指数函数y=y=(log(log2 2a)a)x x是是R R上的减函数上的减函数,若命若命题题“p(p(q q)”是真命是真命题题,则实则实数数a a的取的取值值范范围围是是_._.【失失误误案例案例】分析解分析解题过题过程程,找出找出错误错误之之处处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是由错误的根本原因是由q q为假命题求为假命题求a a的范围时理解的范围时理解成函数成函数y=(logy=(log2 2a)a)x x是是R R上的增函数上的增函数,还应该包含还应该包含y=(logy=(log2 2a)a)x x不是指数函数的情况不是指数函数的情况,正确做法应该是取正确做法应该是取“指数函数指数函数y=(logy=(log2 2a)a)x x是是R R上的减函数上的减函数”的补集的补集.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析】【解析】命题命题p p是真命题时需满足是真命题时需满足a ax x2 2恒成立恒成立,所以所以a a4,4,命题命题q q为真需满足为真需满足0log0log2 2a1,a1,所以所以1a2,1a2,所以所以q q为为假时假时0a0a1 1或或a a2.2.由已知由已知p p真真q q假假,所以所以0a0a1 1或或2 2a a4.4.答案答案:0a0a1 1或或2 2a a4 4