数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制2 新人教A版必修4 .ppt

1.1.21.1.2弧度制弧度制【知识提炼知识提炼】1.1.度量角的两种制度度量角的两种制度角度制角度制定定义用用_作作为单位来度量角的位来度量角的单位制位制1 1度的角度的角周角的周角的_为1 1度角，度角，记作作1 1弧度制弧度制定定义以以_为单位来度量角的位来度量角的单位制位制1 1弧度弧度的角的角长度等于度等于_的弧所的弧所对的的圆心角叫做心角叫做1 1弧度的弧度的角角.1.1弧度弧度记作作1_1_度弧度半径长rad2.2.弧度数的计算弧度数的计算正数负数03.3.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算4.4.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为设扇形的半径为R R，弧长为，弧长为l，(02)(02)为其圆心角，则为其圆心角，则(1)(1)弧长公式：弧长公式：l=_.=_.(2)(2)扇形面积公式：扇形面积公式：S=_=_.S=_=_.R【即时小测即时小测】1.1.判断判断.(1)1rad(1)1rad的角等于的角等于1 1度的角度的角.(.()(2)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应.(.()(3)(3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关关.(.()【解析解析】(1)错误.1 rad57.30与与1度的角不相等度的角不相等.(2)正确正确.对于弧度数于弧度数为的角有唯一的角度数的角有唯一的角度数为 度角与之度角与之对应.(3)错误.用角度制或用弧度制度量角，均与用角度制或用弧度制度量角，均与圆的半径的半径长短无关短无关.答案：答案：(1)(2)(3)2.2.与与120120角终边相同的角的集合是角终边相同的角的集合是()A.|A.|=k=k360360+，kZkZ B.|B.|=2k+120=2k+120，kZkZ C.|C.|=k=k180180+120+120，kZkZ D.|D.|=2k+=2k+，kZkZ【解析解析】选D.与与120角角终边相同的角：相同的角：=120+k360，k Z或或=+2k，k Z.3.3.半径为半径为2 2，圆心角为，圆心角为 的扇形的面积是的扇形的面积是()【解析解析】选C.C.由扇形的面由扇形的面积公式可得，此扇形的面公式可得，此扇形的面积是是4 4把下列各角从弧度化为角度把下列各角从弧度化为角度.（1 1）=_.=_.（2 2）-=_.-=_.【解析解析】（1）（2）答案：答案：（1）210 （2）-2405 5把下列各角从角度化为弧度把下列各角从角度化为弧度.（1 1）315315=_.=_.（2 2）-75-75=_.=_.【解析解析】（1）315=（2）-75=答案：答案：（1）（2）【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 角度制与弧度制角度制与弧度制观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：角与实数能否一一对应？：角与实数能否一一对应？问题问题2 2：比值：比值 与所取的圆的半径大小是否有关？与所取的圆的半径大小是否有关？【总结提升总结提升】1.1.角与实数的对应角与实数的对应(1)(1)角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集合与实数集R R之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的一个实数一个实数(例如这个角的度数或弧度数例如这个角的度数或弧度数)与它对应；反过来每一个实数与它对应；反过来每一个实数也都有惟一的一个角也都有惟一的一个角(如弧度或角度数等于这个实数的角如弧度或角度数等于这个实数的角)与之对应与之对应.(2)(2)由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便.2.2.“角度角度”与与“弧度弧度”的区别与联系的区别与联系(1)(1)区别：区别：定义不同定义不同.单位不同单位不同.弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是为单位，单位可以省略，而角度制是以以“度度”为单位，单位不能省略为单位，单位不能省略.弧度制是十进制，而角度制是六十进制弧度制是十进制，而角度制是六十进制.(2)(2)联系：联系：不管以不管以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是一个与圆的半为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关.“弧度弧度”与与“角度角度”之间可以相互转化之间可以相互转化.3.3.常见的角度与弧度的换算结论常见的角度与弧度的换算结论知识点知识点2 2 弧度制下扇形的弧长、面积公式弧度制下扇形的弧长、面积公式观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：计算扇形的弧长和面积关键是需要哪几个量？：计算扇形的弧长和面积关键是需要哪几个量？问题问题2 2：角度制和弧度制下的弧长公式和面积公式哪个更简洁？：角度制和弧度制下的弧长公式和面积公式哪个更简洁？【总结提升总结提升】1.1.对弧度数计算公式的两点说明对弧度数计算公式的两点说明(1)(1)我们常用我们常用=来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数.但在平面直角坐标系中，但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角上添加正负号，故上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为这个求弧度数的公式常常记为|=.|=.(2)(2)在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：l=|=|r|r，S=S=lr r=|r=|r2 2，其中，其中为圆心角的弧度数，为圆心角的弧度数，r r为扇形的半径为扇形的半径.2.2.对弧度制下弧长公式、扇形的面积公式的三点说明对弧度制下弧长公式、扇形的面积公式的三点说明(1)(1)公式中共四个量分别为公式中共四个量分别为，l，r r，S S，由其中的两个量可以求出另，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二外的两个量，即知二求二.(2)(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是简单得多，但要注意它的前提是为弧度制为弧度制.(3)(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：l=|=|r r，|=|=，r=r=；S=|rS=|r2 2，|=|=【题型探究题型探究】类型一类型一 角度与弧度的互化及应用角度与弧度的互化及应用【典例典例】1.1.把下列各角从弧度化为度把下列各角从弧度化为度.(1)=_.(2)=_.(1)=_.(2)=_.2.2.把下列各角从度化为弧度把下列各角从度化为弧度.(1)-1440(1)-1440=_.(2)67=_.(2)6730=_.30=_.3.3.把把下下列列各各角角化化成成2k+(022k+(02，kZkZ)的的形形式式，并并指指出出是是第第几几象限角象限角.(1)-1500(1)-1500.(2).(3)-4.(2).(3)-4.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，从弧度化为度时要乘以多少？中，从弧度化为度时要乘以多少？提示：提示：弧度数弧度数()()=度数度数.2.2.典例典例2 2中，从度化为弧度时要乘以多少？中，从度化为弧度时要乘以多少？提示：提示：度数度数 radrad=弧度数弧度数.3.3.典例典例3 3中，中，2k+(kZ)2k+(kZ)与与的终边有什么关系？的终边有什么关系？提示：提示：终边相同相同.【解析解析】1.（1）（2）答案：答案：(1)108 (2)152.（1）-1 440=（2）6730=67.5=答案：答案：3.(1)因因为-1 500=-1 800+300=-5360+300.所以所以-1 500可化成可化成-10+，是第四象限角，是第四象限角(2)因因为所以所以与与终边相同，是第四象限角相同，是第四象限角(3)因因为-4=-2+(2-4)，2-4.所以所以-4与与2-4终边相同，是第二象限角相同，是第二象限角【方法技巧方法技巧】角度制与弧度制的互化的原则、方法以及注意点角度制与弧度制的互化的原则、方法以及注意点(1)(1)原则：牢记原则：牢记180180=radrad，充分利用，充分利用1 1=radrad和和1 1 radrad=()()进行换算进行换算.(2)(2)方法：设一个角的弧度数为方法：设一个角的弧度数为，角度数为，角度数为n n，则，则 radrad=()；n n=n=n .(3)(3)注意点：注意点：以以“弧度弧度”为单位度量角时，为单位度量角时，“弧度弧度”二字或二字或“radrad”可以省略不写可以省略不写.以以“弧度弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如的形式，如无特别要求，不必把无特别要求，不必把写成小数写成小数.度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.【拓展延伸拓展延伸】角度制与弧度制互化的简单化法角度制与弧度制互化的简单化法记住记住180180=radrad，可以采用比例的方式来进行角度制与弧度制的互，可以采用比例的方式来进行角度制与弧度制的互化，如设化，如设7575=x=x radrad，则，则 ，得，得x=x=radrad，这样求解更简单、，这样求解更简单、方便方便.【变式训练变式训练】1.1.（20152015银川高一检测）银川高一检测）1 9201 920的角转化为弧度数是的角转化为弧度数是（）【解析解析】选D.因因为1=rad，所以，所以1 920=(1 920 )rad=2.2.将将-1 485-1 485化为化为2k+(022k+(02，kZkZ)的形式是的形式是_【解析解析】因因为-1 485=-5360+315，所以所以-1 485可以表示可以表示为-10+答案：答案：-10+类型二类型二 用弧度制表示角的集合用弧度制表示角的集合【典例典例】1.1.终边经过点终边经过点(a(a，a)(a0)a)(a0)的角的角的集合是（的集合是（）A.B.A.B.C.|C.|=+2k=+2k，kZkZ D.|D.|=+=+kk，kZkZ 2.2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界包括边界)，并判断，并判断2 2 012012是不是这个集合的元素是不是这个集合的元素【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，在中，在0 0，22内，哪个角的终边经过点内，哪个角的终边经过点（a a，a a）（）（a0a0）？）？提示：提示：和和 的的终边经过点（点（a a，a a）（）（a0a0）.2.2.典例典例2 2中，在中，在0 0，22内终边在图中阴影区域内角的集合内终边在图中阴影区域内角的集合(包括边包括边界界)是什么？是什么？提示：提示：|.【解析解析】1.选D.终边经过点（点（a，a）（）（a0）的角）的角的集合的集合|=+2k，k Z，终边经过点点(a，a)（a0）的角）的角的集合的集合|=+2k，k Z=|=+（2k+1），k Z，终边经过点（点（a，a）（）（a0）的角）的角的集合是的集合是|=+2k，k Z|=+（2k+1），k Z=|=+k，k Z.2.因因为150=所以所以终边在阴影区域内角的集合在阴影区域内角的集合为S=|+2k +2k，k Z.因因为2 012=212+5360=（+10）rad，又又所以所以2 012=S.【延伸探究延伸探究】典例典例1 1中点的坐标改为中点的坐标改为“（-a-a，a a）（）（a0a0）”，角，角的的集合是什么？集合是什么？【解析解析】角角的集合是的集合是|=+k，k Z.【方法技巧方法技巧】1.1.用弧度表示角的注意点用弧度表示角的注意点（1 1）注意角度与弧度不能混用）注意角度与弧度不能混用.（2 2）各终边相同的角需加）各终边相同的角需加2k2k，kZkZ.（3 3）求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对）求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k k进行进行适当的赋值适当的赋值.2.2.解决解决“弧度弧度”与与“角度角度”概念问题的关键点概念问题的关键点(1)(1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系.(2)(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同；用角度用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同.(3)(3)“角度角度”与与“弧度弧度”可以按照可以按照“180180=radrad”这一等量关系进这一等量关系进行相互转化行相互转化.【变变式式训训练练】用用弧弧度度制制表表示示终终边边在在图图中中阴阴影影区区域域内内角角的的集集合合(不不包包括括边边界界).).【解解题指指南南】先先在在0，2内内确确定定终边在在阴阴影影区区域域内内且且在在第第一一、二二象象限限内的角的集合，然后加内的角的集合，然后加k，k Z.【解析解析】30=，150=.终边在在图中阴影区域内角的集合中阴影区域内角的集合(不包括不包括边界界)是是S=|+k +k，k Z.【补补偿偿训训练练】用用弧弧度度表表示示终终边边落落在在如如图图所所示示阴阴影影部部分分内内(不不包包括括边边界界)的角的角的集合的集合.【解析解析】(1)以以OB为终边的的330角可看成角可看成-30角，化角，化为弧度，即弧度，即而而75=所以所以终边落在阴影部分内的角的集合落在阴影部分内的角的集合为|2k-2k+，k Z.（2）因）因为30=rad，210=rad，这两个角的两个角的终边所在的直所在的直线相同，因此相同，因此终边在直在直线AB上的角上的角为=k+，k Z，而，而终边在在y轴上的角上的角为=k+，k Z，从而，从而终边落落在阴影部分内的角的集合在阴影部分内的角的集合为|k+k+，k Z.类型三类型三 扇形弧长、面积公式的应用扇形弧长、面积公式的应用【典例典例】(2015(2015淮安高一检测淮安高一检测)已知扇形的周长为已知扇形的周长为8cm.8cm.(1)(1)若该扇形的圆心角为若该扇形的圆心角为2rad2rad，求该扇形的面积，求该扇形的面积.(2)(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角.【解题探究解题探究】本例中需要用到哪些公式？求扇形的面积的最大值的基本例中需要用到哪些公式？求扇形的面积的最大值的基本思路是什么？本思路是什么？提示：提示：需要用到弧需要用到弧长公式：公式：l=|=|r|r和面和面积公式：公式：S=S=lr r.求扇形的面求扇形的面积的的最大最大值的基本思路是先建立扇形面的基本思路是先建立扇形面积关于半径的函数，再求函数的最关于半径的函数，再求函数的最大大值.【解析解析】设扇形的半径扇形的半径为r r，弧，弧长为l，扇形面，扇形面积为S.S.（1）由）由题意得：意得：2r+2r+l=8=8，l=2r=2r，解得解得r=2，l=4=4，S=S=lr r=4.=4.（2）由）由2r+2r+l=8=8得得l=8-2r，r（0，4），），则S=lr r=(8-2r)r=4r-r2=-(r-2)2+4，当当r=2时，Smax=4，此，此时l=4=4，圆心角心角=2.=2.【延伸探究延伸探究】1.1.（变换条件，改变问法）典例条件下，若扇形面积为（变换条件，改变问法）典例条件下，若扇形面积为3 cm3 cm2 2，求扇形，求扇形的圆心角的弧度数的圆心角的弧度数【解析解析】设扇形的半径扇形的半径为r r，弧，弧长为l，圆心角心角为，扇形面扇形面积为S.由由题意得：意得：解得解得l=6，r=1或或l=2，r=3，所以所以=6或或2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)典例条件中典例条件中“周长为周长为8cm8cm”改为改为“面积为面积为8cm8cm2 2”，在，在(1)(1)的条件下求该扇形的弧长的条件下求该扇形的弧长.【解析解析】设扇形的半径扇形的半径为r，弧，弧长为l，扇形的面，扇形的面积为S，则由由S=r2得得8=2r2，所以所以r=所以所以l=r=2 =(cm).【方法技巧方法技巧】弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点点(1)(1)解题策略：解题策略：明确弧度制下扇形弧长公式明确弧度制下扇形弧长公式l=|=|r|r，扇形的面积公式，扇形的面积公式S=S=lr r=|r|r2 2(其中其中l是扇形的弧长，是扇形的弧长，是扇形的圆心角是扇形的圆心角).).涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解解或列方程或列方程(组组)求解求解.(2)(2)注意点：注意点：在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.看清角的度量制，选用相应的公式看清角的度量制，选用相应的公式.扇形的周长等于弧长加两个半径长扇形的周长等于弧长加两个半径长.【补偿训练补偿训练】已知扇形已知扇形AOBAOB的圆心角的圆心角为为 ，半径长，半径长R R为为6 6，求：，求：(1)(1)弧弧ABAB的长的长.(2)(2)扇形所含弓形的面积扇形所含弓形的面积.【解解题指南指南】(1)将角度化将角度化为弧度，再根据公式求解弧弧度，再根据公式求解弧长.(2)利用扇形面利用扇形面积减去三角形面减去三角形面积.【解析解析】(1)l=R=6=4，所以弧所以弧AB的的长为4.(2)S扇形扇形OAB=lR=46=12.如如图所示，所示，过点点O作作OD AB，交，交AB于于D点，点，=120，所以所以AOD=60，DAO=30，于是有于是有S OAB=ABOD=26cos303=所以弓形的面所以弓形的面积为S扇形扇形OAB-S OAB=12-所以弓形的面所以弓形的面积是是12-【延伸探究延伸探究】1.1.（变换条件）本题圆心角（变换条件）本题圆心角“”改为改为“”，应如何解答？，应如何解答？【解析解析】（1）弧）弧AB的的长l=R=6=2.（2）S扇形扇形=lR=26=6，因因为OA=OB，AOB=所以所以AOB是等是等边三角形，三角形，S OAB=ABOAsin =66所以弓形的面所以弓形的面积是是S扇形扇形-S OAB=6-2.2.（变换条件）（变换条件）“半径半径R R长为长为6 6”改为改为“周长为周长为+3+3”，求该扇形的面，求该扇形的面积积.【解析解析】设扇形的半径扇形的半径为r，由由题意得：意得：2r+r=+3，2r =+3，解得解得r=所以扇形面所以扇形面积易错案例易错案例 弧度制下扇形的弧长和面积公式的应用弧度制下扇形的弧长和面积公式的应用 【典例典例】（20152015荆门高一检测）工艺扇面是中国书画一种常见的表荆门高一检测）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中已知扇面展开的中心角为心角为120120，外圆半径为，外圆半径为50 cm50 cm，内圆半径为，内圆半径为20 cm.20 cm.则制作这样一面则制作这样一面扇面需要的布料为扇面需要的布料为_cm_cm2 2（用数字作答，（用数字作答，取取3.143.14）【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是没有将角的的根本原因是没有将角的单位化位化为弧度，弧度，实际上公式上公式l=r，S=r2中角中角的的单位是弧度位是弧度.【自我自我矫正正】因因为120=S1=502，S2=202扇面面扇面面积S=S1-S2=502-202=(502-202)=7007003.14=2198(cm2).答案：答案：2198【防范措施防范措施】1.1.应用公式的两个关注点应用公式的两个关注点(1)(1)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度用时，要注意角的单位取弧度.(2)(2)对于弧长和扇形面积公式，把握好表达形式，记准各个量的不同对于弧长和扇形面积公式，把握好表达形式，记准各个量的不同含义含义.2.2.注意公式的灵活应用注意公式的灵活应用灵活运用扇形弧长公式、面积公式是解决此类问题的关键，有时运用灵活运用扇形弧长公式、面积公式是解决此类问题的关键，有时运用方程思想、函数思想和转化思想方程思想、函数思想和转化思想.