数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2 北师大版必修4 .ppt

3.23.2两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数3.2.13.2.1两角差的余弦函数两角差的余弦函数3.2.23.2.2两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数【知知识识提提炼炼】两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数名称名称 公式公式 简记简记 差的正弦差的正弦 sin(sin(-)=)=_S S-差的余弦差的余弦 cos(cos(-)=)=_C C-sin sin coscos -cos-cos sinsin coscos coscos +sin+sin sinsin 名称名称 公式公式 简记简记 和的正弦和的正弦 sin(sin(+)=)=_S S+和的余弦和的余弦 cos(cos(+)=)=_C C+sin sin coscos +cos+cos sinsin coscos coscos -sin-sin sinsin 【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题:(1)cos 60-cos 30=cos(60-30)(1)cos 60-cos 30=cos(60-30)成立成立吗吗?提示提示:不成立不成立.(2)cos-cos=(2)cos-cos=cos(-cos(-)成立成立吗吗?提示提示:不一定不一定.(3)(3)两角和与差的正弦、余弦公式与两角和与差的正弦、余弦公式与诱导诱导公式有什么关系公式有什么关系?提示提示:和差角公式是诱导公式的推广和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例诱导公式是和差角公式的特例.如如sin(2sin(2-)=sin2)=sin2coscos-cos2-cos2sinsin=0=0coscos-1-1sinsin=-sinsin.当当或或中有一个角是中有一个角是 的整数倍时的整数倍时,通常使用诱导公式较通常使用诱导公式较为方便为方便.2.cos(-15)2.cos(-15)的的值值是是()【解析解析】选选C.cos(-15C.cos(-15)=cos(30)=cos(30-45-45)=)=coscos 30 30cos 45cos 45+sin 30sin 30sin 45sin 45=3.3.化化简简cos(45-)cos(+15)-sin(45-)sin(+15)cos(45-)cos(+15)-sin(45-)sin(+15)的的结结果果为为()【解析解析】选选A.A.原式原式=coscos（45-45-）+（+15+15）=cos 60=.=cos 60=.4.sin 14cos 16+sin 76cos 74=_.4.sin 14cos 16+sin 76cos 74=_.【解析解析】原式原式=sin 14=sin 14cos 16cos 16+cos 14+cos 14sin 16sin 16 =sin(14=sin(14+16+16)=sin 30)=sin 30=.=.答案答案:5.cos 165=_.5.cos 165=_.【解析解析】cos 165cos 165=cos(45=cos(45+120+120)=cos 45)=cos 45cos 120cos 120-sin 45sin 45sin 120sin 120=答案答案:-【知识探究知识探究】知知识识点点 两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式观观察如察如图图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题问题:问题问题1:1:两角和与差的正弦、余弦公式各有什么特点两角和与差的正弦、余弦公式各有什么特点?问问题题2:2:根根据据公公式式C C的的识识记记规规律律,你你能能总总结结出出公公式式S S的的记记忆忆规规律律吗吗?【总结总结提升提升】1.1.公式的公式的记忆记忆(1)(1)对对于两角和与差的余弦公式于两角和与差的余弦公式C C可以可以简记为简记为:“:“余余正正余余正正,和差相和差相反反”.(2)(2)对对于两角和与差的正弦公式于两角和与差的正弦公式S S可以可以简记为简记为:“:“正余余正正余余正,和差相和差相同同”.2.2.公式的适用条件公式的适用条件公式中的公式中的,不不仅仅可以是任意具体的角可以是任意具体的角,也可以是一个也可以是一个“团团体体”,如如coscos 中的中的“”“”相当于公式中的角相当于公式中的角“”,“”,“”相当于公式中的角相当于公式中的角“”.”.因此因此对对公式的理解要注意公式的理解要注意结结构形式构形式,而不要而不要局限于具体的角局限于具体的角.3.3.公式的作用公式的作用(1)(1)正用正用:把把sin(),cos(sin(),cos()从左向右展开从左向右展开.(2)(2)逆用逆用:公式的右公式的右边边化化简简成左成左边边的形式的形式.当当结结构不具构不具备备条件条件时时,要用相要用相关公式关公式调节调节后再逆用后再逆用.(3)(3)变变形形应应用用:它涉及两个方面它涉及两个方面,一是公式本身的一是公式本身的变变用用;二是角的二是角的变变用用,也称也称为为角的拆分角的拆分变换变换,如如=(+)-,2=(=(+)-,2=(+)+(-+)+(-).).【题型探究题型探究】类类型一型一 给给角求角求值问题值问题【典例典例】1.cos 105+sin 1951.cos 105+sin 195的的值为值为_._.2.2.的的值为值为_._.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中中105105与与195195的关系是什么的关系是什么?提示提示:195195=105=105+90+90.2.2.典例典例2 2中如何中如何处处理理20?20?提示提示:2020=30=30-10-10.【解析解析】1.cos 1051.cos 105+sin 195+sin 195=cos 105=cos 105+sin(90+sin(90+105+105)=cos 105=cos 105+cos 105+cos 105=2cos 105=2cos 105=2cos(135=2cos(135-30-30)=2(cos 135=2(cos 135cos 30cos 30+sin 135+sin 135sin 30sin 30)答案答案:2.2.原式原式=答案答案:【方法技巧方法技巧】解决解决给给角求角求值问题值问题的策略的策略解解这类题这类题目的关目的关键键是将非特殊角是将非特殊角转转化化为为特殊角特殊角,充分地拆角、凑角充分地拆角、凑角转转化化为为角的正弦、余弦、正切公式角的正弦、余弦、正切公式,同同时时灵活运用两角和与差的正弦、灵活运用两角和与差的正弦、余弦及正切公式余弦及正切公式.【变变式式训练训练】(2015(2015全国卷全国卷)sin20cos10-cos160sin10)sin20cos10-cos160sin10=(=()【解题指南解题指南】由由cos160cos160=-cos20=-cos20,利用两角和的正弦公式求解利用两角和的正弦公式求解.【解析解析】选选D.D.原式原式=sin20=sin20cos10cos10+cos20+cos20sin10sin10=sin30=sin30=.=.【补偿训练补偿训练】sin 347cos 148+sin 77cos 58sin 347cos 148+sin 77cos 58的的值为值为_._.【解析解析】原式原式=sin(-13=sin(-13+360+360)cos(180cos(180-32-32)+)+sin 77sin 77cos 58cos 58=sin(-13=sin(-13)(-cos 32)(-cos 32)+sin 77)+sin 77cos 58cos 58=-sin 13=-sin 13(-cos 32(-cos 32)+sin 77)+sin 77cos(90cos(90-32-32)=cos 77=cos 77cos 32cos 32+sin 77+sin 77sin 32sin 32=cos(77=cos(77-32-32)=cos 45=cos 45=.=.答案答案:类类型二型二 给值给值(式式)求求值值【典例典例】1.1.已知已知 则则coscos =_.=_.2.2.已知已知 求求sinsin的的值值.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中中sinsin的的值值是什么是什么?提示提示:由由 2.2.典例典例2 2中中+与已知与已知+,+,-的关系是什么的关系是什么?提示提示:观察发现观察发现 【解析解析】1.1.因为因为 所以所以 答案答案:2.2.因为因为 故故 所以所以 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问变问法法)典例典例2 2中条件不中条件不变变如何求如何求 的的值值?【解析解析】由典例由典例2 2解析知解析知 又又 2.(2.(改改变问变问法法)典例典例2 2中条件不中条件不变变如何求如何求cos2cos2的的值值?【解析解析】由典例解析知由典例解析知 又又 所以所以 由由【延伸探究延伸探究】1 1知知,【方法技巧方法技巧】给值给值(式式)求求值值的策略的策略解解决决这这类类问问题题的的关关键键在在于于从从整整体体上上把把握握所所求求的的角角与与已已知知条条件件中中角角的的运运算关系算关系,具体有以下几种情况具体有以下几种情况:(1)(1)当当“已已知知角角”有有两两个个时时,“,“所所求求角角”一一般般表表示示为为两两个个“已已知知角角”的的和和或或差的形式差的形式.(2)(2)当当“已已知知角角”有有一一个个时时,此此时时应应着着眼眼于于“所所求求角角”与与“已已知知角角”的的和和或或差差的关系的关系,然后然后应应用用诱导诱导公式把公式把“所求角所求角”变变成成“已知角已知角”.【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a=(=(cos,sin),cos,sin),b=(=(cos,sin),|cos,sin),|a-b|=|=,求求cos(-cos(-).).【解析解析】因为因为a=(=(coscos,sin,sin),),b=(=(coscos,sin,sin),),所以所以a-b=(=(cos-cos,sin-sincos-cos,sin-sin).).因为因为|a-b|=,|=,所以所以 所以所以2-2cos(-)=.2-2cos(-)=.所以所以cos(-cos(-)=)=.类类型三型三 辅辅助角公式的助角公式的应应用用【典例典例】1.1.函数函数f(xf(x)=(1+)=(1+tanx)cosxtanx)cosx的最小正周期的最小正周期为为()A.2 B.C.D.A.2 B.C.D.2.2.的的值值是是_._.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中求中求f(xf(x)的最小正周期的关的最小正周期的关键键是什么是什么?提示提示:关键是利用三角变换公式将关键是利用三角变换公式将f(xf(x)化成化成Asin(Asin(x+x+)的形式的形式.2.2.典例典例2 2中哪一个角中哪一个角的的 提示提示:=60=60.【解析解析】1.1.选选A.f(xA.f(x)=)=所以最小正周期所以最小正周期T=2.T=2.2.2.原式原式=cos 60=cos 60cos 15cos 15+sin 60+sin 60sin 15sin 15=cos(60=cos(60-15-15)=cos 45)=cos 45=.=.答案答案:【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1中函数中函数f(x)f(x)变为变为“f(x)=”,f(x)=”,则则最小正周期如何最小正周期如何?【解析解析】f(x)=f(x)=所以最小正周期所以最小正周期T=.T=.【方法技巧方法技巧】asinx+bcosxasinx+bcosx的化的化简简步步骤骤(1)(1)提常数提常数,即把即把asinx+bcosxasinx+bcosx提出提出 得到得到 (2)(2)定角度定角度,由由 我我们们不妨不妨设设 sinsin=,=,则则得到得到 (cossinx+sincosxcossinx+sincosx).).(3)(3)化化简简,逆用两角和的正弦公式可得逆用两角和的正弦公式可得asinx+bcosxasinx+bcosx=sin(x+sin(x+).).【变变式式训练训练】(2015(2015四川高考四川高考)sin15+sin75)sin15+sin75的的值值是是_._.【解析解析】sin15sin15+sin75+sin75=sin15=sin15+cos15+cos15=sin(15=sin(15+45+45)=)=答案答案:【补偿训练补偿训练】1.1.求求y=y=的最大的最大值值和周期和周期.【解解题题指指南南】把把函函数数的的解解析析式式化化为为y=Asin(y=Asin(+)的的形形式式,然然后后求求其其最大值和周期最大值和周期.【解析解析】y=y=当当 (kZkZ)时时,所以函数的最大值是所以函数的最大值是 ,周期为周期为.2.2.函数函数f(xf(x)=)=sinx+cosxsinx+cosx的最小正周期是的最小正周期是_._.【解析解析】f(xf(x)=)=最小正周期是最小正周期是2 2.答案答案:2 23.3.函数函数y=2sinx-cosxy=2sinx-cosx的最大的最大值为值为_._.【解析解析】y=2sinx-cosx=y=2sinx-cosx=sin(x-sin(x-)()(其中其中 ).).当当sin(x-sin(x-)=1)=1时时,y ymaxmax=.=.答案答案:易易错错案例案例 求三角函数的求三角函数的值值【典例典例】在三角形在三角形ABCABC中中,则则cosCcosC=_.=_.【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗?提示提示:错误的根本原因是忽视角的范围导致错误错误的根本原因是忽视角的范围导致错误,实际上本题中由实际上本题中由cosBcosB=-=-可知可知B B为钝角为钝角,则角则角A A为锐角为锐角,故故cosAcosA的值是正值的值是正值.【自我矫正自我矫正】因为因为cosBcosB=-,=-,所以所以B B为钝角为钝角,所以所以sinBsinB=所以所以A A为锐角为锐角,cosAcosA=又又C C为锐角为锐角,则则cosCcosC=coscos-(-(A+B)=-A+B)=-cos(A+Bcos(A+B)=-)=-cosAcosB+sinAsinBcosAcosB+sinAsinB=答案答案:【防范措施防范措施】注意角的范注意角的范围围在在三三角角形形中中,每每一一个个内内角角的的范范围围为为(0,),(0,),所所以以其其内内角角的的正正弦弦值值为为正正,余余弦弦值值为为正正值值或或负负值值,如如本本例例由由cosBcosB0,0,可可以以得得出出B B为为钝钝角角,进进而而得得出出A A为为锐锐角角,在在解解决决三三角角函函数数的的问问题题时时要要注注意意角角的的范范围围,以以免免出出现现漏漏解解或或增增解解.