数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数1 北师大版必修4 .ppt

3.2 两角和与差的三角函数 3.2.1 两角差的余弦函数3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 2.2.若若 是单位向量是单位向量,则则1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积3.3.平面向量的数量积的坐标运算平面向量的数量积的坐标运算4.4.写出五组诱导公式写出五组诱导公式 规律小结：函数名不变，规律小结：函数名不变，符号看象限符号看象限问题问题1 1:15:15能否写成两个特殊角的和或差的形式能否写成两个特殊角的和或差的形式?如何求如何求coscos（375375）的值？）的值？解：解：coscos(375375)=cos375)=cos375=cos(360=cos(360+15+15)=cos15)=cos15 问题问题2 2:cos15:cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30 成立成立吗吗?1515=45=45-30-30 所以所以cos(45cos(45 -30-30)cos45)cos45 -cos30-cos30.所以所以 coscos（+）=cos+coscos+cos不总是成立不总是成立.问题问题3:3:究竟究竟cos15cos15=?=?问题问题4:4:cos(45cos(45-30-30)能否用能否用4545 和和3030 的角的三角函的角的三角函数值来表示数值来表示?问题问题5:5:如果能如果能,那么一般情况下那么一般情况下cos(cos(-)能否用角能否用角,的三角函数值来表示的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！请进入本节课的学习！1.1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点）（重点）2.2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式角和与差的正弦公式.（难点）（难点）3.3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数.（难点）（难点）探究一探究一 两角差的余弦函数两角差的余弦函数在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，为半径作单位圆，又以原点为顶点，x x轴非负半轴轴非负半轴为始边分别作角为始边分别作角，且且，我们首先研究，我们首先研究，均为锐角的情况均为锐角的情况由图可知：单位圆上由图可知：单位圆上P1，P2两点，两点，我们称上式为两角差的余弦公式，记作我们称上式为两角差的余弦公式，记作问问题题：公公式式cos(-cos(-)=)=coscos+sinsincoscos+sinsin是是否对任意角否对任意角,都成立？都成立？提示：提示：当当0-0-时，公式显然成立；时，公式显然成立；当当-不不在在0,0,内内时时，利利用用诱诱导导公公式式，存存在在 0,20,2，使使-=+2k,kZ=+2k,kZ，若若0,0,，coscos=cos(-cos(-)；若若(，22，2-2-0,)0,)，cos(2-cos(2-)=)=coscos=cos(-cos(-)，故故上上述述公公式式对对任任意意角角,都成立都成立.注：注：1.1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）公式中两边的符号正好相反（一正一负）.2.2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后前正弦在后.我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，利用诱导公式试求利用诱导公式试求cos(+)？探究二探究二 两角和的余弦函数两角和的余弦函数C =C C S S 公式应用公式应用解解 cos75cos75=coscos（4545+30+30）=cos45=cos45cos30cos30-sin45-sin45sin30sin30例例1 1 不查表，求不查表，求cos75cos75，cos15cos15的值的值.公式形式公式形式为为ccss=cos45=cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30cos15cos15=coscos（4545-30-30）变式练习变式练习DB变式练习变式练习技巧方法：技巧方法：1.1.求求，的正弦值、余弦值的正弦值、余弦值,注注 意意，的取值范围的取值范围.2.2.代入公式代入公式.探究三探究三 两角和与差的正弦函数两角和与差的正弦函数两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式1 1.两角和的正弦公式两角和的正弦公式2 2.两角差的正弦公式两角差的正弦公式简记简记：简记简记：【提升总结提升总结】公式公式 的结构特征的结构特征(1)(1)的的结结构构特特征征：左左边边是是两两角角和和、差差的的正正弦弦，右右边边是是前前一一角角的的正正弦弦与与后后一一角角余余弦弦的的积积与与前前一一角角的的余余弦与后一角正弦的积的和、差弦与后一角正弦的积的和、差.(2)(2)公式中的角公式中的角,是任意的角是任意的角.令令化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式【变式练习变式练习】.【总结提升总结提升】灵活应用公式求三角函数值的三个注意点灵活应用公式求三角函数值的三个注意点(1)(1)公公式式应应用用时时要要注注意意区区分分已已知知与与未未知知的的差差别别，利利用角的分解与组合建立它们之间的联系用角的分解与组合建立它们之间的联系.(2)(2)求求三三角角函函数数值值时时要要注注意意利利用用平平方方关关系系，并并注注意意角的取值范围角的取值范围.(3)(3)注注意意题题目目中中的的隐隐含含条条件件，如如解解决决三三角角形形问问题题时时，要注意三角形内角和等于要注意三角形内角和等于180180这一暗含条件这一暗含条件.1.cos501.cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20的值为的值为()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析：解析：cos50cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20 =cos(50 =cos(50-20-20)=cos30)=cos30=C CA AC C解：解：4.4.cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195=_.=_.解析：解析：cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195 =cos75 =cos75cos15cos15+sin75+sin75sin15sin15 =cos(75 =cos(75-15-15)=.=.5.(2015四川高考四川高考)sin15+sin75的值是的值是.解解：sin15+sin75=sin15+cos15=sin(15+45)=解：解：7.7.化简：化简：2.2.公式的灵活使用：公式的灵活使用：注意逆向使用注意逆向使用.;.1.1.两角和与差的正弦、余弦公式：两角和与差的正弦、余弦公式：;3.3.未知角用已知角表示的注意点：未知角用已知角表示的注意点：（1 1）凑角，即尽可能用已知角表示未知角）凑角，即尽可能用已知角表示未知角：（2 2）角的范围，它决定符号取正、负的问题）角的范围，它决定符号取正、负的问题.4.4.辅助角公式辅助角公式.读书好似爬山，爬得越高，望得越远；读书好似耕耘，汗水流得越多，收获越丰满.臧克家