数学第一部分 思想方法研析指导 4 转化与化归思想 理 .ppt
四、转化与化归思想四、转化与化归思想-2-高考命题聚焦思想方法诠释转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.转化的具体解题方法都是化归的手段,转化与化归的思想方法渗透到所有的数学解题过程中.-3-高考命题聚焦思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.-4-高考命题聚焦思想方法诠释(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四特殊与一般的转化【思考】如何实现由特殊到一般的转化?例1 (其中e为自然常数)的大小关系是()答案解析解析关闭 答案解析关闭-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,然后推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题的等价转化【思考】在应用化归与转化思想去解决问题时应遵循怎样的原则?例2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且qp.(1)求sin A的值;(2)求三角函数式 的取值范围.解：(1)pq,2acos C=2b-c,根据正弦定理,得2sin Acos C=2sin B-sin C.又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化繁为简的原则;(2)化生为熟的原则;(3)等价性原则;(4)正难则反的原则;(5)形象具体化原则.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2设a,b0,a+b=5,则 的最大值为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四常量与变量的转化【思考】在怎样的情况下常常进行常量与变量之间的转化?例3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为.答案解析解析关闭f(x)在R上是增函数,由f(1-ax-x2)f(2-a),可得1-ax-x22-a,a-1,1.a(x-1)+x2+10对a-1,1恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,则当且仅当g(-1)=x2-x+20,g(1)=x2+x0,解之,得x0或x-1.故实数x的取值范围为x-1或x0.答案解析关闭x-1或x0-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围内取值,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间角色的转化,即可以选取其中的常数(或参数),将其看作变量,而把变量看作常量,从而达到简化运算的目的.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3对于满足0p4的所有实数p,使不等式x2+px4x+p-3成立的x的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数、方程与不等式之间的转化【思考】在怎样的情况下常常要进行函数、方程与不等式之间的转化?例4已知函数f(x)=x2+bsin x-2(bR),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x-5)=F(5-x).(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x在区间(0,1)内单调,求实数a的取值范围;(3)函数h(x)=ln(1+x2)-f(x)-k有几个零点?解：(1)由题设,得F(x)=x2+bsin x.F(x-5)=F(5-x),F(-x)=F(x),x2-bsin x=x2+bsin x,bsin x=0对于任意实数x恒成立,b=0,故f(x)=x2-2.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)由(1),得g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x=x2+2x+aln x,g(x)在(0,1)内单调,只需g(x)0或g(x)0在(0,1)内恒成立,即2x2+2x+a0或2x2+2x+a0在(0,1)内恒成立,需a-(2x2+2x)或a-(2x2+2x)在(0,1)内恒成立.记u(x)=-(2x2+2x),0 x1,可知-4u(x)0,且x1时,比较 与F(x)的大小.解：(1)f(x)=x2-aln x-1在3,5上是单调递增函数,f(x)=2x-0在3,5上恒成立.a2x2在3,5上恒成立.y=2x2在3,5上的最小值为18,a18.故所求a的取值范围为(-,18.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-22-规律总结拓展演练1.在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则.(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题.(2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.(3)直观化原则:将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想,立体几何问题向平面几何问题转化).(4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.-23-规律总结拓展演练2.转化与化归的基本类型(1)正与反、一般与特殊的转化,即正难则反、特殊化原则.(2)常量与变量的转化,即在处理多元问题时,选取其中的常量(或参数)当“主元”,其他的变量看作常量.(3)数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直接地反映函数或方程中变量之间的关系.(4)数学各分支之间的转化,如利用向量方法解几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.(5)相等与不等之间的转化.(6)实际问题与数学模型的转化.-24-规律总结拓展演练1.已知函数f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,34,+)B.3,4C.(-,3D.4,+)答案解析解析关闭f(x)=(x+1-a)ex,依题意,x+1-a0或x+1-a0在区间(2,3)内恒成立,即ax+1或ax+1.x+1(3,4),a3或a4.故选A.答案解析关闭A-25-规律总结拓展演练答案:A-26-规律总结拓展演练-27-规律总结拓展演练-28-规律总结拓展演练-29-规律总结拓展演练3.若关于x的不等式m(x-1)x2-x的解集为x|1x2,则实数m的值为.答案解析解析关闭 答案解析关闭
