数学四 数列与数学归纳法 4.2 数列求和与数学归纳法 理 .ppt

第第2 2讲数列求和与数学归纳法讲数列求和与数学归纳法-2-热点考题诠释高考方向解读1.(2017全国2,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏 C.5盏D.9盏 答案解析解析关闭 答案解析关闭-3-热点考题诠释高考方向解读2.(2017全国1,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330 C.220D.110 答案解析解析关闭 答案解析关闭-4-热点考题诠释高考方向解读3.(2017全国3,文17)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;答案 答案关闭-5-热点考题诠释高考方向解读4.(2017天津,理18)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.-6-热点考题诠释高考方向解读(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1-7-热点考题诠释高考方向解读高考中对数列求和及其综合应用的考查,主、客观题均会出现.主观题常与函数、不等式等知识点交汇,综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.考查内容主要是:以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和;利用递推关系求数列的通项、前n项的和;根据题设信息,研究有关数列的性质,利用数学归纳法进行证明.该部分的重点是等差、等比数列的基本公式和性质的理解和应用,难点是数列与函数、解析几何、不等式等知识点的交汇问题,也会涉及对数列不等式放缩等技巧.考向预测:从前几年考试情况来看,2018年浙江高考数列与不等式的综合应用仍然是热点和难点,是高考的压轴题.平时应注意数列的不等式放缩技巧和数学归纳法技巧的积累.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四例1(1)设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.求通项公式an;求数列|an-n-2|的前n项和.(2)已知数列an的前n项和为Sn,若a1=1,且Sn=tan-,其中nN*.求实数t的值和数列an的通项公式;-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四规律方法规律方法在处理一般数列求和问题时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.(1)在利用分组求和法求和时,如果数列的各项是正负交替的,那么一般需要对项数n进行讨论,最后验证是否可以合并为一个公式.(2)错位相减法求数列的前n项和是一种重要的方法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征,即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.(3)裂项相消法的解题思想是利用通项变形,将通项分裂成两项或几项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项(即前后“对称”).-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四迁移训练2已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四例2数列an各项均为正数,且对任意nN*,满足an+1=an+c (c0且为常数).(1)若a1,2a2,3a3依次成等比数列,求a1的值(用常数c表示);-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四规律方法规律方法数列与不等式相结合的问题是近几年高考热点,常见题型是数列前n项的和Sn与某常数或某式的不等关系问题,或证明或求值.证不等式的常用方法有:作差、作商、比较;判断数列的单调性,根据数列的取值范围证明不等式;合理利用放缩法.而求值问题则常常转化为解不等式来解决.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-22-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-23-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四例3已知数列xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.-24-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.-25-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)过P1,P2,P3,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q3,Qn+1,由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1,-,得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1-26-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四规律方法规律方法数列与函数、方程、解析几何、不等式的综合问题是近几年高考的热点,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在该问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于解该类问题.-27-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-28-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-29-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-30-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-31-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-32-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-33-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-34-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四规律方法规律方法数学归纳法可用来证明一些与自然数有关的命题,应用数学归纳法证题时,要注意以下几点:(1)弄清命题结构:弄清当n取初始值n0时及当n=k,n=k+1时的命题的结构;(2)用好归纳假设:在第二步进行归纳证明时,一定要用上归纳假设,完成从n=k到n=k+1时的归纳证明;(3)注意解题格式:第一步是归纳基础,做好初始值时的命题证明;第二步是归纳证明,即在假设n=k时命题成立的基础上证明n=k+1时命题也成立,最后是结语,由(1)(2)可知命题对任意nN*(nn0)都成立.-35-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-36-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-37-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-38-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-39-解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.典例(本题15分)设数列an满足an+1=-an+1(nN*),Sn为an的前n项和.证明:对任意nN*,(1)当0a11时,0an1;-40-41-42-1234 答案解析解析关闭 答案解析关闭-43-12342.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S4=24,S7=63.(1)求数列an的通项公式;-44-1234-45-1234-46-1234-47-1234-48-1234-49-1234-50-1234