数学五 立体几何 5.3 立体几何中的向量方法 理 .ppt
5.35.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法-2-3-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量证明空间的平行与垂直【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直?例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1AB1;(2)求证:BC1平面CA1D.-4-命题热点一命题热点二命题热点三证明：如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).-5-命题热点一命题热点二命题热点三-6-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,与不重合),则(1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0.(2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使a=1(3)e1e2存在实数,使e2=e1(e10);e1e2e1e2=0.-7-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),-8-命题热点一命题热点二命题热点三即B1DEG,B1DEF,又EGEF=E,因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.-9-命题热点一命题热点二命题热点三利用向量求空间角【思考】如何用空间向量求空间角?例2(2017全国,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.-10-命题热点一命题热点二命题热点三-11-命题热点一命题热点二命题热点三-12-命题热点一命题热点二命题热点三-13-命题热点一命题热点二命题热点三-14-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量求空间角的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为n,m.-15-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2(2017全国,理19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.-16-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明:由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.-17-命题热点一命题热点二命题热点三-18-命题热点一命题热点二命题热点三-19-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2017江苏,22)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,BAD=120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.-20-命题热点一命题热点二命题热点三-21-命题热点一命题热点二命题热点三-22-命题热点一命题热点二命题热点三-23-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量求空间中的距离【思考】如何用空间向量求空间中的距离?例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC底面ABCD,E为PC的中点.(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;(2)求点D到平面PAB的距离.-24-命题热点一命题热点二命题热点三解：如图,取DC的中点O,连接PO,PDC为正三角形,PODC.又侧面PDC底面ABCD,PO底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.-25-命题热点一命题热点二命题热点三-26-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思求空间中距离的方法:(1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.(2)点P到平面的距离d=(其中n为的法向量,M为内任一点).(3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离d=-27-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD.(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长;在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.-28-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明：因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.因为ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解：以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图.在平面ABCD内作CEAB交AD于点E,则CEAD.在RtCDE中,DE=CDcos45=1,CE=CDsin45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),-29-命题热点一命题热点二命题热点三-30-命题热点一命题热点二命题热点三假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由消去t,化简得m2-3m+4=0.因为方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.-31-规律总结拓展演练1.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等.2.用向量证明空间中的平行关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.(3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则u1u2.-32-规律总结拓展演练3.用向量证明空间中的垂直关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0.(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0.4.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补.(1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为,a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos=|cos|=.-33-规律总结拓展演练(2)直线和平面所成的角:如图,sin=|cos|=.(3)平面与平面所成的二面角为,两平面的法向量分别为m,n,则|cos|=.-34-规律总结拓展演练5.点到平面的距离的向量求法:如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则点B到平面的距离d=.-35-规律总结拓展演练1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()答案解析解析关闭 答案解析关闭-36-规律总结拓展演练2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-37-规律总结拓展演练3.(2017天津,理17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.-38-规律总结拓展演练解:如图,以A为原点,分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).-39-规律总结拓展演练-40-规律总结拓展演练-41-规律总结拓展演练
