数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.2 等比数列的性质及应用 新人教A版必修5 .ppt
2.4.2等比数列的性质及应用等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq.特例:若m+n=2p(m,n,pN*),则aman=(2)an=amqn-m(m,nN*).(3)在等比数列an中,每隔k项取出一项,取出的项,按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.(4)数列an为等比数列,则数列an(为不等于0的常数)仍然成等比数列.(5)等比数列的单调性当a10,q1或a10,0q0,0q1或a11时,数列an为递减数列;当q=1时,数列an为常数列;当q0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值;(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列an的通项公式.思路分析:利用等比数列的通项及性质求解.探究一探究二探究三解:(1)a2a4+2a3a5+a4a6=25,且数列an是等比数列,又an0,a3+a5=5.探究一探究二探究三变式训练1已知递增的等比数列an中,a2+a8=3,a3a7=2,则=.解析:an是递增的等比数列,a3a7=a2a8=2,又a2+a8=3,a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a2=1,a8=2,q6=2,q3=,答案:探究一探究二探究三探究二灵活设项求解等比数列探究二灵活设项求解等比数列在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为a,aq,aq2或 ,a,aq,此时公比为q;当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3(公比为q),当四个数均为正(负)数时,可设为 ,aq,aq3(公比为q2).探究一探究二探究三典型例题2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.思路分析:根据条件,用两个未知数表示这四个数.探究一探究二探究三所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.探究一探究二探究三探究一探究二探究三变式训练2三个数成等比数列,其积为512,若第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.探究一探究二探究三探究三等差、等比数列的综合问题探究三等差、等比数列的综合问题1.解有关等差、等比数列有关的综合问题时,应注意以下方法与技巧的应用:(1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造出新的等差(比)数列,以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.(4)注意求通项与求和的相互联系.2.对于存在性问题,在解答时,应先假设结论成立,然后结合已知条件运算、推理,最后根据结果确定结论.探究一探究二探究三典型例题3已知数列an的前n项和Sn=3n2+5n,数列bn中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(nN*),an+logcbn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.思路分析:先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.探究一探究二探究三解:Sn=3n2+5n,当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+2.而a1=S1=8适合上式,an=6n+2.bn是首项为8,公比为8-2的等比数列.bn=8(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logcbn=m恒成立,则6n+2+logc83-2n=m,即(6-2logc8)n+(2+3logc8)=m对任意nN*恒成立.故存在常数c=2,使得对任意nN*,an+logcbn恒为常数11.变式训练3在等差数列an中,公差d0,且a2是a1和a4的等比中项,已知 成等比数列,求数列k1,k2,k3,kn的通项kn.解:由题意得 =a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),又d0,所以a1=d.又 成等比数列,所以该数列的公比为所以 =a13n+1.又 =a1+(kn-1)d=kna1,所以kn=3n+1,所以数列kn的通项为kn=3n+1.探究一探究二探究三1 2 3 4 51.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,kN*),则am,ak,an成等比数列.即a3,a6,a9成等比数列.故选D.答案:D1 2 3 4 52.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则 的值等于()解析:1,a1,a2,4成等差数列,3(a2-a1)=4-1,a2-a1=1.又1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则 =14=4,且b2=1q20,b2=2.答案:A1 2 3 4 53.若等比数列an满足a2a4=,则 =.解析:数列an是等比数列,a1 a5=(a1a5)=(a2a4)(a2a4)=(a2a4)2=.答案:1 2 3 4 54.在等比数列an中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=.解析:根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),答案:4801 2 3 4 55.有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.
