数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算2 新人教A版必修4 .ppt

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算【知识提炼知识提炼】1.1.平面向量正交分解的定义平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个把一个平面向量分解为两个_的向量的向量.2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与基底：在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个_i，j作为作为_._.互相垂直单位向量基底(2)(2)坐标：对于平面内的一个向量坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数，有且仅有一对实数x x，y y，使得，使得a=_=_，则有序实数对，则有序实数对(x(x，y)y)叫做向量叫做向量a的坐标的坐标.(3)(3)坐标表示：坐标表示：a=(x=(x，y).y).(4)(4)特殊向量的坐标：特殊向量的坐标：i=_=_，j=_=_，0=(0=(0，0).0).xi+yj(1，0)(0，1)3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算设向量设向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，RR，则有下表：，则有下表：文字描述文字描述符号表示符号表示加加法法两个向量和的坐两个向量和的坐标标分分别别等于等于这这两个向量相两个向量相应应坐坐标标的的_a+b=_=_减减法法两个向量差的坐两个向量差的坐标标分分别别等于等于这这两个向量相两个向量相应应坐坐标标的的_a-b=_=_和差(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)文字描述文字描述符号表示符号表示数数乘乘实实数与向量的数与向量的积积的坐的坐标标等于等于用用这这个个实实数乘原来向量的相数乘原来向量的相应应坐坐标标a=_=_重重要要结结论论一个向量的坐一个向量的坐标标等于表示此等于表示此向量的有向向量的有向线线段的段的_的的坐坐标标减去减去_的坐的坐标标已知已知A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则则 =_=_(x1，y1)终点起点(x2-x1，y2-y1)【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：提示：与与x x轴平行的向量的平行的向量的纵坐坐标为0 0，即，即a=(x=(x，0)0)；与；与y y轴平行的向平行的向量的横坐量的横坐标为0 0，即，即b=(0=(0，y).y).(2)(2)若把向量若把向量 平移到平移到 ，则，则 和和 的坐标相同吗？的坐标相同吗？的坐标的坐标是是C C点的坐标吗？点的坐标吗？提示：提示：相同，相同，的坐的坐标不是不是C C点的坐点的坐标，只有点，只有点B B与原点与原点O O重合重合时 的的坐坐标才是才是C C点坐点坐标.2.2.如图所示，在矩形如图所示，在矩形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD交于点交于点O O，下列是正交分解的，下列是正交分解的是是()()【解析解析】选B.B.由于由于 ，则 是正交分解是正交分解3.3.在平面直角坐标系内，已知在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若是两个互相垂直的单位向量，若a=i-2 2j，则向量用坐标表示，则向量用坐标表示a=_.=_.【解析解析】由于由于i，j是两个互相垂直的是两个互相垂直的单位向量，位向量，所以所以a=(1=(1，-2).-2).答案：答案：(1(1，-2)-2)4.4.若若a=(2=(2，3)3)，b=(-3=(-3，1)1)，则，则a+b=_.=_.【解析解析】a+b=(2=(2，3)+(-33)+(-3，1)=(-11)=(-1，4).4).答案：答案：(-1(-1，4)4)5.5.若点若点M(3M(3，5)5)，点，点N(2N(2，1)1)，用坐标表示向量，用坐标表示向量 =_=_【解析解析】=(2，1)-(3，5)=(-1，-4).答案：答案：(-1，-4)【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：点的坐标与向量的坐标有什么区别？：点的坐标与向量的坐标有什么区别？问题问题2 2：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点一定相同吗：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点一定相同吗？【总结提升总结提升】1.1.解读平面向量的坐标表示解读平面向量的坐标表示(1)(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关置无关.(2)(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了向量确定后，向量的坐标就被确定了.(3)(3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示数表示.有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决解决.2.2.辨析点的坐标与向量坐标辨析点的坐标与向量坐标(1)(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同的坐标相同.(2)(2)书写不同：向量书写不同：向量a=(x=(x，y)y)中间用等号连接，而点的坐标中间用等号连接，而点的坐标A(xA(x，y)y)中中间没有等号间没有等号.(3)(3)在平面直角坐标系中，符号在平面直角坐标系中，符号(x(x，y)y)可表示一个点，也可表示一个可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点向量，叙述中应指明点(x(x，y)y)或向量或向量(x(x，y).y).(4)(4)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个.注意：注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同坐标却可以不同.知识点知识点2 2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：两个向量的和与差、实数与向量的积的坐标如何运算？：两个向量的和与差、实数与向量的积的坐标如何运算？问题问题2 2：求向量：求向量 的坐标需要哪些向量？的坐标需要哪些向量？问题问题3 3：向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？：向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？【总结提升总结提升】1.1.两个向量和两个向量和(差差)的坐标的坐标由于向量由于向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)等价于等价于a=x=x1 1i+y+y1 1j，b=x=x2 2i+y+y2 2j，则，则a+b=(x(x1 1i+y+y1 1j)+(x)+(x2 2i+y+y2 2j)=(x)=(x1 1+x+x2 2)i+(y+(y1 1+y+y2 2)j，即，即a+b=(x=(x1 1+x+x2 2，y y1 1+y+y2 2)，同理可，同理可得得a-b=(x=(x1 1-x-x2 2，y y1 1-y-y2 2).).这就是说，两个向量和这就是说，两个向量和(差差)的坐标分别等于这的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和两个向量相应坐标的和(差差).).2.2.实数与向量的积的坐标实数与向量的积的坐标由由a=(x=(x，y)y)，可得，可得a=x xi+y+yj，则，则a=(x(xi+y+yj)=)=xxi+y+yj.从而从而a=(=(xx，yy).).这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标来向量的相应坐标.【题型探究题型探究】类型一类型一 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【典例典例】1.1.已知基向量已知基向量i=(1=(1，0)0)，j=(0=(0，1)1)，m=4=4i-j，则，则m的坐标的坐标是是()A.(4A.(4，1)1)B.(-4B.(-4，1)1)C.(4C.(4，-1)-1)D.(-4D.(-4，-1)-1)2.2.如图，取与如图，取与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量轴同向的两个单位向量i，j作为作为基底，分别用基底，分别用i，j表示表示 并求出它们的坐标并求出它们的坐标.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中向量中向量i与向量与向量j有什么关系？有什么关系？提示：提示：向量向量i与向量与向量j垂直垂直.2.2.典例典例2 2中，点中，点A A，B B的坐标分别是多少，的坐标分别是多少，如何用如何用 表示表示.提示：提示：A(6A(6，2)2)，B(2B(2，4)4)，【解析解析】1.选C.因因为向量向量i与向量与向量j垂直，垂直，m=4i-j，所以，所以m=(4，-1).2.由由图形可知，形可知，=6i+2j，=2i+4j，=-4i+2j，它，它们的坐的坐标表示表示为：=(6，2)，=(2，4)，=(-4，2).【方法技巧方法技巧】求点和向量坐标的常用方法求点和向量坐标的常用方法(1)(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标标.(2)(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.【变式训练变式训练】已知边长为已知边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中，中，ABAB与与x x轴正半轴成轴正半轴成3030角，角，则则 =_ =_，=_.=_.【解析解析】由由题知知B，D分分别是是30，120角的角的终边与与单位位圆的交点的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定由三角函数的定义，得，得x1=cos30=y1=sin30=，所以，所以 x2=cos120=-，y2=sin120=所以所以 所以所以 答案：答案：【补偿训练补偿训练】在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，向量中，向量a，b，c的方向如图所示，且的方向如图所示，且|a|=2|=2，|b|=3|=3，|c|=4|=4，分别计算出它们的坐标，分别计算出它们的坐标.【解解题指南指南】题目中目中给出了向量出了向量a，b，c的模以及与坐的模以及与坐标轴的的夹角，角，要求向量的坐要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它，先将向量正交分解，把它们分解分解为横、横、纵坐坐标的形的形式，然后写出其相式，然后写出其相应的坐的坐标.【解析解析】设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)，则a1=|a|cos45=2 a2=|a|sin45=2 b1=|b|cos120=3 b2=|b|sin120=3 c1=|c|cos(-30)=4 c2=|c|sin(-30)=4 因此因此a=()，b=，c=(2 ，-2).类型二类型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【典例典例】1.1.已知平面上三个点已知平面上三个点A(4A(4，6)6)、B(7B(7，5)5)、C(1C(1，8)8)，则则 =_=_，=_.=_.2.2.已知已知a=(1=(1，2)2)，b=(-3=(-3，4)4)，求向量，求向量a+b，a-b，3 3a-4-4b的坐标的坐标【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中 ，的坐标分别为多少？的坐标分别为多少？提示：提示：=(3 =(3，-1)-1)，=(-3 =(-3，2).2).2.2.典例典例2 2中如何求向量和、差、数乘的坐标？中如何求向量和、差、数乘的坐标？提示：提示：直接利用平面向量的坐直接利用平面向量的坐标运算求解运算求解.【解析解析】1.因因为A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)所以所以 =(7，5)-(4，6)=(3，-1)；=(1，8)-(4，6)=(-3，2)；=(3，-1)-(-3，2)=(6，-3)；=2(3，-1)+(-3，2)=(6，-2)+答案：答案：(6，-3)2.a+b=(1，2)+(-3，4)=(-2，6)；a-b=(1，2)-(-3，4)=(4，-2)；3a-4b=3(1，2)-4(-3，4)=(15，-10)【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1中条件不变，则中条件不变，则 的坐标是多少？的坐标是多少？【解析解析】因因为A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，所以，所以 =(7，5)-(1，8)=(6，-3)，=(4，6)-(7，5)=(-3，1)，所以所以【方法技巧方法技巧】平面向量坐标运算的技巧平面向量坐标运算的技巧(1)(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行算法则进行.(2)(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算进行向量的坐标运算.(3)(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【变式训练变式训练】1.1.若向量若向量 =(2=(2，3)3)，=(4=(4，7)7)，则，则 =()=()A.(-2A.(-2，-4)-4)B.(3B.(3，4)4)C.(6C.(6，10)10)D.(-6D.(-6，-10)-10)【解析解析】选A.因因为 =(2，3)，=(4，7)，2.2.已知已知a=(-1=(-1，2)2)，b=(2=(2，1)1)，求：，求：(1)2(1)2a+3+3b.(2).(2)a-3-3b.(3).(3).【解析解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)=(-2，4)+(6，3)=(4，7)(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)=(-7，-1)【补偿训练补偿训练】如图所示，已知如图所示，已知ABCABC，A(7A(7，8)8)，B(3B(3，5)5)，C(4C(4，3)3)，M M，N N，D D分别是分别是ABAB，ACAC，BCBC的中点，且的中点，且MNMN与与ADAD交于点交于点F F，求，求 的坐标的坐标【解析解析】因因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以所以=(3-7，5-8)=(-4，-3)，=(4-7，3-8)=(-3，-5)又因又因为D是是BC的中点，的中点，所以所以因因为M，N分分别为AB，AC的中点，所以的中点，所以F为AD的中点的中点所以所以类型三类型三 由相等向量求坐标由相等向量求坐标【典例典例】1.(20151.(2015江苏高考江苏高考)已知向量已知向量a=(2=(2，1)1)，b=(1=(1，-2)-2)，若，若m ma+n+nb=(9=(9，-8)(m-8)(m，nRnR)，则，则m-nm-n的值为的值为_._.2.2.已知已知A(2A(2，4)4)、B(-4B(-4，6)6)，若，若 则则 的坐标为的坐标为_._.3.3.已知点已知点O(0O(0，0)0)，A(1A(1，2)2)，B(4B(4，5)5)，及，及 (1)t(1)t为何值时，点为何值时，点P P在在x x轴上？点轴上？点P P在在y y轴上？轴上？(2)(2)四边形四边形OABPOABP能为平行四边形吗？若能，求出能为平行四边形吗？若能，求出t t值；若不能，说明理由值；若不能，说明理由.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何利用中如何利用m ma+n+nb=(9=(9，-8)-8)这个条件？这个条件？提示：提示：先求出先求出m ma+n+nb的坐的坐标，然后根据相等向量的坐，然后根据相等向量的坐标对应相等求解相等求解m m，n.n.2.2.典例典例2 2中中 能确定哪些点的坐标？能确定哪些点的坐标？提示：提示：由由 可确定点可确定点C C的坐的坐标，由，由 可确定点可确定点D D的坐的坐标.3.3.典例典例3 3中点中点P P在在x x轴上，在轴上，在y y轴上的坐标有何特点？轴上的坐标有何特点？提示：提示：点点P P在在x x轴上，上，纵坐坐标为0 0，在，在y y轴上横坐上横坐标为0.0.【解析解析】1.因因为a=(2，1)，b=(1，-2)，所以，所以ma+nb=m(2，1)+n(1，-2)=(2m+n，m-2n).又因又因为ma+nb=(9，-8)，所以，所以解得解得所以所以m-n=-3.答案：答案：-32.设C(x，y)，则由由 得，得，(x-2，y-4)=(-6，2)，解得，解得x=-7，y=7，即点即点C的坐的坐标为C(-7，7)又又设D(m，n)，则由由 得，得，(m+4，n-6)=(6，-2)，解得解得m=4，n=，即，即D点的坐点的坐标为(4，)故故答案：答案：3.(1)=(1，2)+t(3，3)=(1+3t，2+3t)，若点若点P在在x轴上，上，则2+3t=0，所以，所以t=-.若点若点P在在y轴上，上，则1+3t=0，所以，所以t=-.(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t)若四若四边形形OABP为平行四平行四边形，形，则所以所以该方程方程组无解无解故四故四边形形OABP不能成不能成为平行四平行四边形形【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)若本例若本例3 3条件不变，问条件不变，问t t为何值时，为何值时，B B为线段为线段APAP的中点？的中点？【解析解析】由由得得所以当所以当t=2时，B为线段段AP的中点的中点2.(2.(改变问法改变问法)若本例若本例3 3条件不变，问条件不变，问t t为何值时，点为何值时，点P P在第二象限？在第二象限？【解析解析】若点若点P在第二象限，在第二象限，则所以所以【方法技巧方法技巧】坐标形式下向量相等的条件及其应用坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)(1)条件：相等向量的对应坐标相等条件：相等向量的对应坐标相等.(2)(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值此可求某些参数的值.【变式训练变式训练】(2015(2015泰安高一检测泰安高一检测)已知向量已知向量 =(3=(3，-4)-4)，=(6 =(6，-3)-3)，=(2=(2，-6).-6).(1)(1)若四边形若四边形ABCDABCD为平行四边形，求为平行四边形，求D D点坐标点坐标.(2)(2)若若 求实数求实数 的值的值.【解析解析】(1)设D点坐点坐标为(m，n)，则=(m，n)，因因为 =(3，-4)，=(6，-3)，=(2，-6)，所以所以=(6，-3)-(3，-4)=(3，1)，=(2，-6)-(m，n)=(2-m，-6-n).又因又因为四四边形形ABCD为平行四平行四边形，形，所以所以所以所以所以所以所以所以D点坐点坐标为(-1，-7).(2)因因为所以所以(3，-4)=x(6，-3)+y(2，-6)=(6x+2y，-3x-6y)，所以所以解得解得所以所以【补偿训练补偿训练】已知已知A(1A(1，-2)-2)、B(2B(2，1)1)、C(3C(3，2)2)和和D(-2D(-2，3)3)，以，以 为一组基底来表示为一组基底来表示【解析解析】因因为 =(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)，=(-4，2)，=(-5，1)，所以所以=(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8)根据平面向量基本定理，一定存在根据平面向量基本定理，一定存在实数数m、n，使得，使得所以所以(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)，也就是也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)，即即解得解得m=32，n=-22.所以所以易错案例易错案例 向量的坐标与点的坐标向量的坐标与点的坐标【典例典例】(2015(2015湛江高一检测湛江高一检测)已知点已知点A(2A(2，3)3)，B(5B(5，4)4)，C(7C(7，10)10)，若第三象限的点若第三象限的点P P满足满足 则实数则实数的取值范围为的取值范围为()()【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是混淆了向量的根本原因是混淆了向量 的坐的坐标与点与点P P的坐的坐标，误认为(3+5(3+5，1+71+7)为P P的坐的坐标.【自我自我矫正正】选A.方法一：方法一：设P(x，y)，则 =(x-2，y-3)，又又于是可得，于是可得，(x-2，y-3)=(3+5，1+7)，所以所以即即因因为点点P在第三象限，所以在第三象限，所以解得解得-1.故所求故所求实数数的取的取值范范围是是(-，-1)方法二：方法二：所以所以P(5+5，4+7)，因因为点点P在第三象限内，在第三象限内，所以所以所以所以-1.【防范措施防范措施】明确向量坐标与点坐标的关注点明确向量坐标与点坐标的关注点(1)(1)明确向量坐标与点坐标的概念，当且仅当向量的起点为坐标原点明确向量坐标与点坐标的概念，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同时，向量坐标与其终点的坐标相同.(2)(2)明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键确进行向量的坐标运算是解题的关键.