数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用 新人教A版必修5 .ppt

第2课时等差数列前n项和的性质与应用等差数列前n项和的性质(1)设等差数列an,Sn为其前n项和,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,仍构成等差数列,且公差为k2d.(2)设等差数列an.若项数为2n(nN*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),且S偶-S奇=nd;若项数为2n-1(nN*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶=an,S偶S奇=(n-1)n.(3)设an,bn均为等差数列,An为数列an的前n项和,Bn为数列bn的前n项和,则(4)设Sn为等差数列an的前n项和,则仍为等差数列,且公差为(4)设Sn为等差数列an的前n项和,则 仍为等差数列,且公差为探究一探究二探究三探究一等差数列前探究一等差数列前n项和的性质应用项和的性质应用在等差数列的有关计算问题中,合理地运用等差数列及其前n项和的性质,可以简化计算,优化解题过程.探究一探究二探究三典型例题1(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227,则公差d=.(3)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为.思路分析:(1)(2)利用项数为2n的等差数列中,S偶-S奇=nd的性质求解或转化为用基本量a1,d求解;(3)利用项数为2n-1的等差数列的性质求解.探究一探究二探究三解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.S偶-S奇=6d,d=5.(3)等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,a中=15.又S2n+1=(2n+1)a中,165+150=(2n+1)15,n=10.答案:(1)C(2)5(3)10方法总结关于奇数项和与偶数项和的问题,用等差数列的性质求解,能简化计算.探究一探究二探究三典型例题2一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求其前110项之和.思路分析:用等差数列中的“Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列”求解.解:易得数列S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列.设其公差为D,则前10项的和为10S10+D=S100=10,解得D=-22,S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.S110=-120+S100=-110.探究一探究二探究三变式训练1等差数列an前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为()A.130B.170C.210D.260解析:数列an为等差数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),30+(S3n-100)=2(100-30),解得S3n=210.答案:C探究一探究二探究三探究二求数列探究二求数列|an|的前的前n项和项和已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤:(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列|an|中各项的绝对值,转化为an的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列an的前n项和公式;(4)将|an|的前n项和写成分段函数的形式.探究一探究二探究三典型例题3已知数列an的前n项和,求数列|an|的前n项和 Tn.思路分析:先求出通项an,再确定出数列中项的正负,再利用Sn求解.当n2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.n=1也适合上式,数列an的通项公式为an=-3n+104(nN*).即当n34时,an0;当n35时,an0.当n8时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=15n-n2.当n9时,Sn=|a1|+|a2|+|a8|+|a9|+|an|=-(a1+a2+a8)+a9+a10+an=-2(a1+a2+a8)+a1+a2+an=112+n2-15n=n2-15n+112.1 2 3 4 5