数学 第二章 数列 2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的性质及应用 新人教A版必修5 .ppt

2.2.2等差数列的性质及应用等差数列的重要性质(1)an=am+(n-m)d(m,nN*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap.(3)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0,d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三等差数列的综合问题探究三等差数列的综合问题典型例题3在数列an中,a1=2,an+1=an+2n+1.(1)求证:数列an-2n为等差数列;(2)设数列bn满足bn=2log2(an+1-n),求bn的通项公式.思路分析:先用定义证明数列an-2n是等差数列,并求出其通项,进而求出an,再代入bn得bn的通项公式.探究一探究二探究三探究四(1)证明:an+1=an+2n+1,an+1-2n+1-(an-2n)=an+2n+1-2n+1-an+2n=1.数列an-2n是以a1-2=0为首项,以1为公差的等差数列.(2)解:由(1)知an-2n=n-1,an=2n+n-1.bn=2log2(an+1-n)=2log2(2n+n-1+1-n)=2n.方法总结已知数列的递推公式求数列的通项时,要对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项,需掌握常见的几种变形形式,考查推理能力与分析问题的能力.探究一探究二探究三探究四变式训练3已知等差数列an,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2.(2)求数列bn的通项公式.(3)数列bn中的第110项是数列an中的第几项?探究一探究二探究三探究四解:(1)由题意,知等差数列an的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列bn的第n项是数列an的第m项,则需满足m=4n-1,nN*,所以b1=a3=8-53=-7,b2=a7=8-57=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列bn也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d=-20,所以bn=b1+(n-1)d=-7+(n-1)(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,nN*,所以当n=110时,m=4110-1=439,所以数列bn中的第110项是数列an中的第439项.探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析探究四易错辨析易错点错用等差数列的性质致错典型例题4设数列an是等差数列,ap=q,aq=p(pq),试求ap+q.错解:数列an是等差数列,ap+q=ap+aq=p+q.错因分析:性质am+an=ap+aq中必须是两项相加等于两项相加,如a7+a8=a6+a9,并不是下标和相等即可,如一般情况下,a15=a7+8a7+a8.探究一探究二探究三探究四正解:设数列an的公差为d,ap=aq+(p-q)d,从而ap+q=ap+qd=q+q(-1)=0,ap+q=0.探究一探究二探究三探究四1 2 3 4 51.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.答案:B1 2 3 4 52.已知数列an,bn为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列2an-3bn的公差为()A.7B.5C.3D.1解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.答案:D1 2 3 4 53.已知数列an是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=.解析:a3+a15=a1+a17=a5+a13,所以a9=117.所以a3+a15=a9+a9=234.答案:2341 2 3 4 54.在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.解析:设等差数列的公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.答案:201 2 3 4 55.已知三个数成等差数列,其和为15,首末两项的积为9,求这三个数.解:由题意,可设这三个数分别为a-d,a,a+d,所以,当d=4时,这三个数为1,5,9;当d=-4时,这三个数为9,5,1.所以这三个数为1,5,9或9,5,1.