数学第一部分 方法、思想解读 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想 1 分类讨论思想 文 .ppt
第第3 3讲分类讨论思想、转化与化归思想讲分类讨论思想、转化与化归思想一、分类讨论思想一、分类讨论思想-3-从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-4-1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.-5-应用一应用二应用三应用一应用一由数学的概念引起的分类讨论由数学的概念引起的分类讨论例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,则(D )A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0解析:当0a1得ba.a1,ba1,b-a0,b-10,a-10,(a-1)(a-b)0.排除A,B,C.当a1时,由logab1得ba1.b-a0,b-10.(b-1)(b-a)0.故选D.-6-应用一应用二应用三思维升华由数学概念引起的分类讨论有:绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等.-7-应用一应用二应用三突破训练突破训练1(2017湖北武汉二月调考,文16)若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,则实数a的取值范围为 .解析:若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,即函数g(x)=ax2+x在(0,1)内单调递增,当a=0时,g(x)=x在(0,1)内单调递增,符合题意,-8-应用一应用二应用三应用二应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论例2设等比数列an的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是(C )-9-应用一应用二应用三思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-10-应用一应用二应用三突破训练突破训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则a的取值范围是(C )A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)解析:当a-2=0即a=2时,不等式为-40,恒成立,所以a=2;所以a的范围是a|-2a2.-11-应用一应用二应用三应用三应用三根据字母的取值情况分类讨论根据字母的取值情况分类讨论例3已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是(A )-12-应用一应用二应用三解析:令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a,若a=0,则f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0;若a0,函数单调增,x-,此时f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.-13-应用一应用二应用三突破训练突破训练3(2017湖北武汉二月调考,文12)若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是(D )-14-应用一应用二应用三解析:函数f(x)=aex-x-2a的导函数f(x)=aex-1,当a0时,f(x)0恒成立,函数f(x)在R上单调,不可能有两个零点;-15-1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.
