数学第一部分 方法、思想解读 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想 2 转化与化归思想 文 .ppt
二、转化与化归思想二、转化与化归思想-2-转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.-3-1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.-4-应用一应用二应用三应用四应用一应用一特殊与一般的转化特殊与一般的转化-5-应用一应用二应用三应用四思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.-6-应用一应用二应用三应用四突破训练突破训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是 .-7-应用一应用二应用三应用四应用二应用二命题的等价转化命题的等价转化例2若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为16.转化一若只根据f(x)图象关于直线x=-2对称,得零点对称,条件转化为f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求导完成,恐有因式分解的障碍.转化二由于函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当x取一对相反数时,函数值不变,将函数y=f(x)的图象向左平移2个单位,得函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,当(x+2)取一对相反数时,函数值不变,于是,函数的解析式只能含(x+2)的偶次方.-8-应用一应用二应用三应用四解析:(法一)函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.-9-应用一应用二应用三应用四故f(x)的最大值为16.(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-(x+2)2-52+16,故最大值为16.思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几种解题方法.-10-应用一应用二应用三应用四突破训练突破训练2若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是(-,-8.解析:(法一)设t=3x,则原命题等价于关于t的一元二次方程t2+(4+a)t+4=0有正解,所以a-8,即实数a的取值范围是(-,-8.-11-应用一应用二应用三应用四(法二)设t=3x,得t2+(4+a)t+4=0.所以a-8,即实数a的取值范围是(-,-8.-12-应用一应用二应用三应用四应用三应用三常量与变量的转化常量与变量的转化例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为 .-13-应用一应用二应用三应用四解析:由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.对-1a1,恒有g(x)0,即(a)0对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围为(-,-10,+).思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.-16-应用一应用二应用三应用四突破训练突破训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立.所以函数h(x)在1,+)内为减函数.又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.-17-应用一应用二应用三应用四且函数h(x)在1,+)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.-18-1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.
