2024年高考数学终极押题密卷1（全国甲卷理科）含答案.doc

2024年高考数学终极押题密卷1（全国甲卷理科）一选择题（共12小题）1已知集合Ax|x24x0，xZ，Bx|1x4，则AB（）A1，4B0，4）C0，1，2，3，4D0，1，2，32已知i为虚数单位，若复数z4m2（m2）i为纯虚数，则实数m（）A0B2C2D43“1m3”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a11，S43S3+1，则a3（）ABC9D275若函数f（x）cos（x+）的图象关于直线对称，下列选项中，（）不是f（x）的零点A1BC0D26已知函数，存在x0使得f（x0）0，则实数a的取值范围是（）A（，1B（，0）C0，+）D（0，+）7已知函数f（x）x2+2lnx的图象在A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为（）AB1C2D8佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图1的ABCD由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A平行B相交C异面且垂直D异面且不垂直9甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）ABCD10过双曲线C：（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2a2的切线，切点为A，直线FA与C的渐近线在第一象限交于点B，若，则C的离心率为（）ABC2D311已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为DD1的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（）ABC3D12已知x0，ex+lny1，给出下列不等式：x+lny0；ex+y2；lnx+ey0；x+y1，其中一定成立的个数为（）A1B2C3D4二填空题（共4小题）13已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 14若（x+5）2023a0+a1x+a2x2+a2023x2023，Ta0+a1+a2+a2023，则T被5除所得的余数为 15若函数f（x）|sin（x+）|（1）在区间，上单调递减，则实数的取值范围是 16已知f（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，曲线f（x1）关于（1，0）对称，且满足f（x）f（6x）3x，则f（2022）+f（2028） ；f（2025） 三解答题（共7小题）17已知数列an的前n项和为Sn，a12，an+1Sn+2（1）求数列an的通项公式；（2）设，记数列bn的前n项和为Tn，证明184月15日是全民国家安全教育日以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础作为知识群体的青年学生，是强国富民的中间力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数x和平均数n（同一组数据用该组中点值代替）（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关高敏感低敏感总计男生80女生80总计560附：独立性检验临界值表P（K2k0）0.10.050.010.0050.001K22.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中na+b+c+d19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1B1C13，D为A1B1的中点（1）证明：B1C平面AC1D（2）若以AB1为直径的球的表面积为48，求二面角CADC1的余弦值20双曲线C：（a0，b0）上一点到左、右焦点的距离之差为6（1）求C的方程；（2）已知A（3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）axex1（a0），（）讨论函数f（x）的零点个数；（）若|f（x）|x+xlnx恒成立，求函数f（x）的零点x0的取值范围22曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的直角坐标方程为x+y10以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的极坐标方程；（2）若直线l：ykx与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率时，求|OA|+的取值范围23设函数f（x）|2x2|+|x+2|（1）解不等式f（x）6x；（2）令f（x）的最小值为T；正数a，b，c满足a+b+cT，证明：2024年菁优高考数学终极押题密卷1（全国甲卷理科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1已知集合Ax|x24x0，xZ，Bx|1x4，则AB（）A1，4B0，4）C0，1，2，3，4D0，1，2，3【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【答案】D【分析】求出集合A，利用交集定义能求出AB【解答】解：集合Ax|x24x0，xZx|0x4，xZ0，1，2，3，4，Bx|1x4，则AB0，1，2，3故选：D【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2已知i为虚数单位，若复数z4m2（m2）i为纯虚数，则实数m（）A0B2C2D4【考点】纯虚数；复数的运算菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算【答案】C【分析】根据已知条件，结合纯复数的概念，即可求解【解答】解：z4m2（m2）i为纯虚数，解得m2故选：C【点评】本题主要考查纯虚数的概念，属于基础题3“1m3”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】椭圆的性质；充分条件与必要条件菁优网版权所有【专题】简易逻辑【答案】B【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+1表示椭圆，则满足，即，即1m3且m2，此时1m3成立，即必要性成立，当m2时，满足1m3，但此时方程+1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件即充分性不成立故“1m3”是“方程+1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键4已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a11，S43S3+1，则a3（）ABC9D27【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【答案】C【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q，分析可得1+q+q2+q33（1+q+q2）+1，变形可得q的值，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a11，S43S3+1，则有1+q+q2+q33（1+q+q2）+1，变形可得q（1+q+q2）3（1+q+q2），而1+q+q20，则q3，故a3a1q21×99故选：C【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题5若函数f（x）cos（x+）的图象关于直线对称，下列选项中，（）不是f（x）的零点A1BC0D2【考点】余弦函数的图象菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【答案】B【分析】结合余弦函数的对称性先求出，然后结合函数零点的概念检验各选项即可判断【解答】解：若函数f（x）cos（x+）的图象关于直线对称，则+k，kZ，所以k，f（x）cos（x+k），当x1时，f（1）cos（k）0，即1是函数f（x）的零点；当x时，f（）cosk0，即不是函数f（x）的零点；当x0时，f（0）cos（k）0，即0是函数f（x）的零点；当x2时，f（2）0，即2是函数f（x）的零点故选：B【点评】本题主要考查了三角函数对称性的应用，还考查了函数零点的判断，属于基础题6已知函数，存在x0使得f（x0）0，则实数a的取值范围是（）A（，1B（，0）C0，+）D（0，+）【考点】分段函数的应用菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学运算【答案】D【分析】先由对数函数的性质算出f（x）在区间（，0上的最小值大于等于0，然后根据a的正负讨论f（x）在（0，+）上的最小值，且这个最小值为负数，由此列式算出实数a的取值范围【解答】解：当x0时，f（x）lg（x+1），在（，0上是减函数，f（x）f（0）0当x0时，f（x）x3ax，求导数得f（x）3x2a，若a0，则f（x）3x2a0恒成立，f（x）在（0，+）上是增函数，可得f（x）f（0）0，此时不存在x0使得f（x0）0；若a0，则f（x）0的根为（舍负），在（0，）上f（x）为负数，在（，+）上f（x）为正数，所以f（x）在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数，可得f（x）minf（）a因为0恒成立，所以a0时f（x）在（0，+）上的最小值小于0，满足条件“存在x0使得f（x0）0”综上所述，a0，即实数a的取值范围是（0，+）故选：D【点评】本题主要考查对数函数的单调性、分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题7已知函数f（x）x2+2lnx的图象在A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为（）AB1C2D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【答案】D【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再由x10、x20、x1x2，即可得到x1x21，最后由基本不等式求出x1+x2的范围，即可判断【解答】解：由f（x）x2+2lnx，得，则，依题意可得，且x10、x20、x1x2，x1x21，则，经验证，当x1、x2分别取3、时，满足题意故选：D【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题8佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图1的ABCD由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A平行B相交C异面且垂直D异面且不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象【答案】B【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系【解答】解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且A，C两点重合，故选：B【点评】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题9甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）ABCD【考点】几何概型；简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题【答案】A【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率【解答】解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P（A）1故选：A【点评】本题考查利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率10过双曲线C：（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2a2的切线，切点为A，直线FA与C的渐近线在第一象限交于点B，若，则C的离心率为（）ABC2D3【考点】双曲线的性质菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【答案】B【分析】先利用已知条件得出AOF，再利用诱导公式与正切的二倍角公式得到a，b之间的关系，再求离心率【解答】解：根据题意，作出如图所示的图形，设渐近线OB的倾斜角为，则tan，在RtOAF中，|OA|a，|OF|c，|AF|b，tanAOF，故AOF，又，|AB|2b，则在RtOAB中，tanAOB，又tanAOBtan（2），即，整理得b22a2，e故选：B【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题11已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为DD1的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（）ABC3D【考点】球的体积和表面积；球内接多面体菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算【答案】D【分析】根据给定条件，求出球心O到平面的距离，再利用球的截面小圆性质求出截面圆半径即可【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1的外接球球心是BD1的中点O，而BD1B，则点O到平面的距离h等于点D1到平面的距离的一半，又平面过线段DD1的中点P，因此点D1与点D到平面的距离相等，由AB平面ADD1A1，AB，得平面ADD1A1，在平面ADD1A1内过D作DEAP于E，而平面ADD1A1AP，于是DE，又，从而，又球O的半径，则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径r，有，所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积故选：D【点评】本题考查了正方体外接球截面圆面积的计算，属于中档题12已知x0，ex+lny1，给出下列不等式：x+lny0；ex+y2；lnx+ey0；x+y1，其中一定成立的个数为（）A1B2C3D4【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【答案】C【分析】由ex+lny1可得xln（1lny），分别构造F（y）lny（1lny），g（y）1lny+y和h（y）ln（1lny）+y，通过求导，求出单调性和最值可判断；取特值可判断【解答】解：由x0，ex+lny1，可得：lny1ex，因为x0，所以ex1，所以1ex0，所以lny0，解得：0y1，由ex+lny1可得：lnexln（1lny），所以xln（1lny），对于命题，x+lnyln（1lny）+lnylny（1lny），令，所以F（y）在（0，1）上单调递增，因为F（y）F（1）0，所以x+lny0，故命题正确；对于命题，由ex+lny1可得：ex1lny，所以，所以g（y）在（0，1）上单调递减，所以g（y）g（1）2，所以ex+y2，故命题正确；对于命题，由ex+lny1，取x1，所以ye1e（0，1），所以lnx+eyey0，所以错误；对于命题，因为xln（1lny），所以x+yln（1lny）+y，0y1，令，令f（y）1+ylnyy，f（y）lny0，所以f（y）1+ylnyy在（0，1）上单调递减，f（y）f（1）0，所以h（y）0，所以h（y）在（0，1）上单调递减，所以h（y）h（1）1，所以x+y1，故命题正确故选：C【点评】本题考查了导数的综合应用，属于难题二填空题（共4小题）13已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 【考点】平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；数学运算【答案】【分析】将，转化为|cos|0，再根据求解即可【解答】解：因为，所以0，即|cos|0，又因为，所以|cos|2|cos|20，解得cos，则故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积，属于基础题14若（x+5）2023a0+a1x+a2x2+a2023x2023，Ta0+a1+a2+a2023，则T被5除所得的余数为 1【考点】二项式定理菁优网版权所有【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算【答案】1【分析】采用赋值法求出T，结合二项展开式计算即可【解答】解：（x+5）2023a0+a1x+a2x2+a2023x2023，Ta0+a1+a2+a2023，令x1，则T（1+5）2023+.+，上式中的2024项，只有第1项不能被5整除，则T被5除所得的余数即1被5除所得的余数，即1故答案为：1【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题15若函数f（x）|sin（x+）|（1）在区间，上单调递减，则实数的取值范围是，【考点】正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质【答案】见试题解答内容【分析】由题意求得2，区间，内的x值满足 k+x+k+，kz，求得k+（k+），kz，再给k取值，进一步确定的范围【解答】解：函数f（x）|sin（x+）|（0）在，上单调递减，24，即20，根据函数y|sinx|的周期为，减区间为k+，k+，kz，由题意可得区间，内的x值满足 k+x+k+，kz，即+k+，且+k+，kz解得k+（k+），kz求得：当k0时，不符合题意；当k1时，；当k2时，不符合题意综上可得，故答案为：，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的单调递减区间是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题16已知f（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，曲线f（x1）关于（1，0）对称，且满足f（x）f（6x）3x，则f（2022）+f（2028）2025；f（2025）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【答案】2025；【分析】构造函数g（x）f（x）+，根据已知条件判断g（x）的奇偶性和周期性，从而求得g（2022）+g（2028），进而求出f（2022）+f（2028），再结合g'（x）的周期性，从而求出f'（2025）【解答】解：因为曲线f（x1）关于（1，0）对称，所以曲线f（x）关于坐标原点O对称，即函数f（x）为奇函数又因为xR，所以f（0）0，f（0）f（6）3，所以f（6）3因为f（x）f（6x）3x，整理得，令g（x）f（x）+，则函数g（x）为R上的可导奇函数，g（0）0，且g（x）g（6x）又g（6x）g（x6），所以g（x）g（x6）g（x12），所以函数g（x）的图象关于直线x3对称，且12为函数g（x）的一个周期，所以g（2022）+g（2028）g（168×12+6）+，则因为g（x）g（6x）g（x6），所以g（x）g（6x）g（x6），所以g（3）g（3）g（3），所以g（3）g（3）g（3）0又g（x）g（x12），所以g（x）g（x12），所以函数g（x）也是以12为周期的周期函数因为，所以，所以f（2025）g（2025）因为f（x）+f（x）0，所以f（x）f（x）0，即f（x）f（x），所以故答案为：2025；【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、导数的应用，推理论证能力、运算求解能力，逻辑推理、数学运算，属难题三解答题（共7小题）17已知数列an的前n项和为Sn，a12，an+1Sn+2（1）求数列an的通项公式；（2）设，记数列bn的前n项和为Tn，证明【考点】数列的求和；数列递推式菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用数列的递推式得到an+12an，根据等比数列的通项公式即可求解；（2）利用裂项相消求和即可求解【解答】解：（1）an+1Sn+2，当n2时，anSn1+2，两式相减，得an+1anan，即an+12an，又a12，a2S1+22+24，满足上式，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；证明：（2），Tnb1+b2+bn（1+）【点评】本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题184月15日是全民国家安全教育日以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础作为知识群体的青年学生，是强国富民的中间力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数x和平均数n（同一组数据用该组中点值代替）（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关高敏感低敏感总计男生80女生80总计560附：独立性检验临界值表P（K2k0）0.10.050.010.0050.001K22.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中na+b+c+d【考点】独立性检验；频率分布直方图菁优网版权所有【专题】应用题；数形结合；数学模型法；概率与统计；数据分析【答案】（1）m0.020；中位数是62；平均数是60.2（2）有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关【分析】（1）由频率和为1列方程求出m的值，再根据中位数和平均数在频率分布直方图中的计算方法，求解即可（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值即可得出结论【解答】解：（1）由频率和为1，得（0.003+0.006×2+0.009+0.012×2+0.016×2+m）×101，解得m0.020；因为（0.003+0.006+0.009+0.012+0.016）×100.46，0.46+0.020×100.66，所以中位数在60，70）内，设中位数是x，则（x60）×0.020+0.460.5，解得x62，所以中位数是62；计算平均数n15×0.03+25×0.06+35×0.09+45×0.12+55×0.16+65×0.20+75×0.16+85×0.12+95×0.0660.2（2）根据题意填写列联表如下：高敏感低敏感总计男生80160240女生80240320总计160400560计算K24.6673.841，所以有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关【点评】本题考查了频率分布直方图与列联表和独立性检验的应用问题，是中档题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1B1C13，D为A1B1的中点（1）证明：B1C平面AC1D（2）若以AB1为直径的球的表面积为48，求二面角CADC1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算【答案】（1）证明过程见解答；（2）【分析】（1）由线面平行的判断定理即可证明；（2）由题设条件和球的表面积公式计算可求得AA14，建立空间直角坐标系，由向量法即可求解【解答】解：（1）证明：连接A1C交AC1于点E，则E为A1C的中点，因为D为A1B1的中点，所以DEB1C，又因为DE平面AC1D，B1C平面AC1D，所以B1C平面AC1D；（2）因为A1C1B1C1，D为A1B1的中点，所以C1DA1B1，且因为以AB1为直径的球的表面积为48，所以48，解得AA14，以D为坐标原点，的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面AC1D的法向量为，则，所以，令z1，得设平面ACD的法向量为，则，所以，令z1，得因为，由图可知，二面角CADC1为锐二面角，所以二面角CADC1的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题20双曲线C：（a0，b0）上一点到左、右焦点的距离之差为6（1）求C的方程；（2）已知A（3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质菁优网版权所有【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【答案】（1）；（2）是定值，定值为【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程；（2）对直线l是否垂直于x轴进行讨论，设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，推出直线AM和BN的方程，将两直线方程联立，解得点P在定直线上，进而即可求解【解答】解：（1）因为双曲线C上一点到左、右焦点的距离之差为6，所以，解得a3，b1，则C的方程为；（2）当直线l垂直于x轴时，可得直线l的方程为x5，因为过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，解得y±，不妨令M（5，），N（5，），易得直线MA的方程为y，直线NB的方程为y，联立，解得xP，则点P到直线x2的距离d（2）；当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为xmy+5，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x并整理得（m29）y2+10my+160，此时满足m290，由韦达定理得，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，消去y并整理得，解得，所以点P在定直线上，因为直线与直线x2之间的距离为，综上得，点P到直线x2的距离为定值，定值为【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题21已知函数f（x）axex1（a0），（）讨论函数f（x）的零点个数；（）若|f（x）|x+xlnx恒成立，求函数f（x）的零点x0的取值范围【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【答案】（）函数f（x）有唯一零点；（）【分析】（）求导可得f'（x）aex（x+1），根据f（x）的正负，得到f（x）的单调性，进而判断函数f（x）的零点个数；（）由（1）知f（x）在（0，+）上存在唯一零点，且，由|f（x）|x+xlhx得，设，分x（0，x0）和 xx0，+）两种情况，求导讨论g（x）的单调性和最值，从而得到零点x0的取值范围【解答】解：（）因为f'（x）aex（x+1），由f（x）0得x1，所以f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又当x时，f（x）1；x+时，f（x）+，所以函数f（x）有唯一零点；（）由（1）知f（x）在（0，+）上存在唯一零点，且，当x（0，x0）时，f（x）0，由|f（x）|x+xlhx得：axex+1x+xlnx，即，设，则，g（x）在（0，x0）上单减，所以，解得0，当xx0，+）时，由|f（x）|x+xhx得：axex1x+xlnx，即，设，则，因为axex10，所以h'（x）0，所以h（x）在x0，+）上单增，所以，解得，综上所述，x0的取值范围是【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点个数问题，属于中档题22曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的直角坐标方程为x+y10以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的极坐标方程；（2）若直线l：ykx与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率时，求|OA|+的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】转化思想；直线与圆；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：（1）由消得（x1）2+y21，即x2+y22x0将cosx，siny，2x2+y2代入C1，C2得：C1的极坐标方程为2cos，C2的极坐标方程为（2）设直线l的极坐标方程为，R，联立方程可得A2cos，所以，又，则有，即综上的取值范围为【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23设函数f（x）|2x2|+|x+2|（1）解不等式f（x）6x；（2）令f（x）的最小值为T；正数a，b，c满足a+b+cT，证明：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】对应思想；分析法；不等式的解法及应用；推理和证明；数学运算【答案】（1）x|3x；（2）证明见解析【分析】（1）分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；（2）分类讨论x的取值，求出f（x）的最小值为T，将（+）（a+b+c）展开，利用基本不等式证明（+）（a+b+c）16，即可证明结论【解答】解：（l）当x2时，f（x）6x，即2x+2x26x，解得x3，故3x2；当2x1时，f（x）6x，即2x+2+x+26x，46，则