安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题(1)含答案.pdf

#QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=#QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=#QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=#QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第1页（共12页）合肥一中 2024 届高三最后一卷 数学参考答案 1已知向量(2,3)a=，(1,3)b=，则2ab=（）A2 B3 C4 D5【答案解析】2(2,3)(2,6)(4,3),25abab=，选 D 2已知复数z满足(1)2zii+=，则=z（）Ai2321+Bi2321 Ci2321 Di2321+【答案解析】2131312222izizii=+，选 A 3已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为23，焦距为2 2，则该椭圆的方程为（）A2213xy+=B2219xy+=C22197xy+=D2213628xy+=【答案解析】222222,3,9,927,1397xyaabcaa=+=，选 C 4已知等比数列na的前n项和为nS，且314S=，32a=，则4a=（）A1 B23或-1 C23 D23或 1【答案解析】由3S=14，3a=2，12q=或41,3qa=23或 1，选 D 5已知为三角形的内角，且15cos4=，则sin2=（）A154+B154+C358 D354【答案解析】1 cos3515sin2284+=，选 B#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第2页（共12页）6甲乙丙丁戊 5 名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A36 种 B48 种 C54 种 D64 种 【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为321133423336A AA A A=种，选 A 7已知四棱锥PABCD的各顶点在同一球面上，若2224ADABBCCD=，PAB为正三角形，且面PAB 面ABCD，则该球的表面积为（）A133 B16 C523 D20 【答案解析】如图，3,23OEFGAE=，22222313()233ROEAE=+=+=，25243SR=，故选 C.8过(0,)Mp且倾斜角为(,)2 的直线l与曲线2:2C xpy=交于,A B两点，分别过,A B作曲线C的两条切线12,l l，若12,l l交于N，若直线MN的倾斜角为则tan()的最小值为（）A22 B2 C2 2 D4 2 【答案解析】如图设00(,)N xy，则ABl为00()x xp yy=+且过(0,)Mp，0yp=且，又设02tanpkx=，2k k=，tantantan()1tantan=+，当且仅当2k=时“=”成立，故选 C 0tanxkp=2()()2 21kkkk kk=+#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第3页（共12页）9.下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据：年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 则下列命题正确的有（）A年收入的均值为 4.3 B年收入的方差为 1.2 C年收入的上四分位数为 5 D若y与x可用回归直线方程0.5yxa=+来模拟，则2.3a=【答案解析】30.14.37y=，A 正确；21.96 1 0.490.01 0.250.812.567.081.277s+=，B 错误；7 0.755.25=，所以上四分位数为 5.2，C 错误；0.54.30.5 42.3ayx=，D 正确；故选 AD 10已知函数2()3sincossin(0)f xxxx=，则下列命题正确的有（）A当2=时，524x=是()yf x=的一条对称轴 B若12|()()|2f xf x=，且12 min|xx=，则12=C存在(0,1)，使得的图像向左平移6个单位得到的函数为偶函数 D若()f x在0,上恰有 5 个零点，则的范围为72,)3【答案解析】1()sin(2)62f xx=+对于 A，当2=时，1()sin(4)62f xx=+，51()242f=，524x=不是()yf x=的一条对称轴，对于 B，由题意知，2T=，12=#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中高三最后一卷合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第4页（共12页）对于 C，11()sin(2()sin(2)662362g xxx=+=+，若()g x为偶函数，则362k+=+，矛盾 对于 D，令t=2,2666x+，由题意知，2529,)66 72,)3 故选 BD 11已知函数()xf xe=，则下列命题正确的有（）A若()g xax恒成立，则1ae B若()yf x=与1yax=相切，则2ae=C存在实数a使得()yf xax=和()yg xax=+有相同最小值 D存在实数a使得方程()f xxa=与()xg xa+=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案解析】对于 A，由()g xax得，令，则2ln1()xh xx=()yh x=在(0,)e单调递减，(,)e+单调递增，min1()()ahxh ee=对 于B，设 切 点 为00(,)xP x e，则 切 线 方 程 为000()xxyeexx=，即000(1)xxye xex=+，又1yax=，000(1)1xxeaex=，(1 ln)1()aa=2ae=不满足式，B 错，对于 C，易知当1a=时()yf xax=和()yg xax=+有相同最小值 1，1 3k=+26+()lng xx=的ln xax ln()xh xx=()的#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第5页（共12页）对于 D，令()()xh xf xxex=，令()()lnxg xxxx=+=，则(),()h xx的图象大致如下：设交点为(,()M m h m，易知01m，由图象知，当直线ya=与曲线()yh x=和曲线()yx=共有三个不同的交点时，直线ya=必经过点()M mh m，即().ah m=因为()()h mm=，所以lnmemmm=，即2ln0memm+=.令()()()h xxah m=，得xmlnexxxem=，解得mxmxe=或.由01m得1mme=+15.正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，P是线段1AB上的动点.（1）求证：平面11BDD B 平面11ABC；（2）1PB与平面11ABC所成的角的正弦值为63，求PB的长.【答案解析】（1）证明：由题，1DD 面1111ABC D，四边形1111ABC D为正方形，所以1111111,ACB D ACDD，而111111,B DDDD B D=面11BDD B，1DD 面#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第7页（共12页）11BDD B，所以11AC 面11BDD B，而11AC 面11ABC，所以平面11BDD B 平面11ABC.6 分（2）设1B在面11ABC上的射影点为E，连接1,EP EB，1132 22 22 34A BCS=，1111 1 1BA BCB A B CVV=，即11112 32 2 2332EB=，得12 33EB=,设1PB与平面11ABC所成的角的大小为，则 1112 363sin3EBPBPB=，所以12PB=，在1BPB中，由余弦定理得，2221112cos4PBBBPBBBPB=+，即2242 2PBPB=+，解得2PB=.13 分 16甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢或输的概率分别为 0.8，0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X的数学期望()E X为多少?(保留小数点后一位)（2）由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢 5 局之前乙赢 2 局则乙胜”，求乙胜的概率.【答案解析】（1）()0.2 0.20.2 0.8 0.20.8 0.2 0.20.104P A=+=，所以()0.2 0.2 0.820.2 0.2()232.6152.60.1040.104E X=+.7 分#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第8页（共12页）（2）设00.2p=，则 2112131402000300040005000223400000()(1)(1)(1)(1)12(1)3(1)4(1)5(1)0.04 8.6160.34464.P ApC pppC pppC pppC pppppppp=+=+=15 分 17.()()x af xeaR=.（1）若()f x的图象在点00(,()A xf x处的切线经过原点，求0 x；（2）对任意的)0,x+，有()sinf xx，求a的取值范围.【答案解析】（1）()x afxe=，所以00000()0 xaxaefxex=，所以01x=；5 分（2）即()sin00 x aexx，令()sinx ag xex=，若0a，则0,1,()sin1 sin0,x ax axaeg xexx=合题；7 分 若0,()cos,x aag xex=令()(),h xg x=则()sin,x ah xex=+当0 x时，()0,()h xg x递增，而2(0)10,()0,2aagege=所以，存在唯一的0(0,)0,2x使得000()cos0,xag xex=所以，当00 xx时，()0,()g xg x递减，当0 xx递增，故00000()()sincossin0,xag xg xexxx=极小所以00,4x 此时，00lncos,xax=故002lncosln,42axx=即ln2042a时，ln2142()sin1110 xx ax ag xexeee=，#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第9页（共12页）因而ln2042a的上焦点为(0,6)，下顶点为A,渐近线方程是2yx=，直线23y=与y轴交于B点,过B点的直线交双曲线上支于,P Q两点,AP AQ分别交直线23y=于,M N两点,O坐标原点.（1）求C的方程;（2）求证:,M N O A四点共圆;（3）求（2）中的圆的半径r的取值范围.【答案解析】（1）由题，2226,2,acabcb=+=，解得2242ab=，所以C的方程为221.42yx=4 分（2）（方法一）设11222(,),(,),:3P x yQ xyPQ ykx=+，代入22142yx=，化简整理得 22432(2)039kxkx+=，有222122016324(2)0990kkkx x=，解得21629k，此时,均为锐角，所以,M N O A四点共圆AOMANM+=()2+=,(0,)22+=tantan1=1OMANkk=设11222(,),(,),:3P x yQ xyPQ ykx=+，代入22142yx=，化简整理得 22432(2)039kxkx+=，有222122016324(2)0990kkkx x=，解得21629k，则称函数()f x为凸函数.凸函数()f x具有性质：1111()()nniiiif xfxnn=，.（1）判断(),(0,1)1xf xxx=是否为凸函数，并证明;（2）设(1,2,),iixyinT=证明：111111nnyyn；（3）求nnxTx的最小值.【答案解析】（1）()2312(),()0,(0,1)(1)1fxfxxxx=，所以()f x在(0,1)上为凸函数.4 分#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#合肥一中 2024 届高三最后一卷数学参考答案 第12页（共12页）（2）(1,2,)iixyinT=为正数，11111nnniiiiiixyxTT=,即11niiy=，由11niniinxxTxTx=，得11,11inninixxTTxxTT=即1111niniinyyyy=，所以 11111111111111()(1)()(1)111111111ninnnniiniinniiiniiiyyyynf ynfynyyynynn=，01(1,2,)iyin=，所以111111111nnnnnyynyyyn=，即111111nnyyn，所以111111nnyyn.10 分（3）11111nnnnnnnxxyTxTxyyT=关于ny在(0,1)递增，由（2）解得2min345128()(3)2(2)nnnnynn+=；当2n=时，12ny.所以2min51282(3)2(1)nnxnnnnTxn+=；当2n=时也成立.当3n 时，当且仅当21211512812(2)(1)nnynnnyyynnn+=时取“=”；当2n=时，当且仅当1212yy=时取“=”.所以nnxTx的最小值是2512822(1)nnnn+.17 分#QQABLYYUggCIAIJAARhCUwXACEIQkBECACoOAEAMIAAACBFABAA=#