数学第31讲 直线与圆的位置关系.ppt

第31讲直线与圆的位置关系内容索引基础诊断 梳理自测，理解记忆考点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能基础诊断返回直线与圆的位置图形公共点个数d与r的大小关系公共点名称直线名称相交2_交点_ 知识梳理1 11.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设r是O的半径，d是圆心O到直线L的距离.割线dr2.切线的性质切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 .(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 .3.切线的判定定理切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆心切点4.三角形的内切圆三角形的内切圆和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，内切圆的圆心叫做三角形的 ；内切圆的半径是内心到三边的距离.5.相关辅助线相关辅助线直线与圆相切的问题，常连接过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系.如下图是常添加的辅助线：内心1.(2016无锡)如图，AB是O的直径，AC切O于A，BC交O于点D，若C70，则AOD的度数为()A.70 B.35 C.20 D.40D解析解析AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，ABAC，CAB90，C70，CBA20，DOA40.诊断自测2 2123452.(2015嘉兴)如图，ABC中，AB5，BC3，AC4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为()A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6B12345解析解析在ABC中，AB5，BC3，AC4，AC2BC2AB2，C90，如图，设切点为D，连接CD，AB是C的切线，CDAB，C的半径为2.4.3.(2015枣庄)如图，一个边长为4cm的等边ABC的高与O的直径相等.O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A.4cm B.3cm C.2cm D.1.5cmB解析解析连接OC，并过点O作OFCE于F，ABC为等边三角形，边长为4，12345又BCO90，ACB60，OCF30，CE2FC3(cm).4.(2016德州)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A.3步 B.5步 C.6步 D.8步C123455.(2016湖州)如图，圆O是RtABC的外接圆，ACB90，A25，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是()A.25 B.40 C.50 D.65B解析解析连接OC，圆O是RtABC的外接圆，ACB90，AB是直径，A25，BOC2A50，CD是圆O的切线，OCCD，D90BOC40.返回12345考点突破返回分析分析过C作CDAB于D，如图所示，在RtABC中，C90，AC4，BC3，例例1(2016湘西)在RtABC中，C90，BC3cm，AC4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则C与直线AB的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定考点一直线与圆的位置关系A答案分析规律方法435CD，CD2.42.5，即dr，以2.5为半径的C与直线AB的关系是相交.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长.注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交.规律方法(1)当d3时，m；练习1答案分析(2016永州)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OMd.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m4，由此可知：分析分析当d3时，32，即dr，直线与圆相离，m1.1分析分析当d3时，m1；当d1时，m3，当1d3时，m2.答案分析(2)当m2时，d的取值范围是.1d3切线的性质考点二例例2(2016攀枝花)如图，ABC中，C90，AC3，AB5，D为 BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O和AB、BC均相切，则O 的半径为.答案分析规律方法分析分析过点O作OEAB于点E，OFBC于点F，连接OB.AB、BC是O的切线，点E、F是切点，OE、OF是O的半径，OEOF，在ABC中，C90，AC3，AB5，规律方法又SABDSABOSBOD，D是BC边的中点，本题考查了切线的性质与三角形的面积.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.规律方法(2016丹东)如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E.(1)求证：BDCA；练习2答案解解证明：连接OD，CD是O切线，ODC90，即ODBBDC90，AB是O的直径，ADB90，即ODBADO90，BDCADO，OAOD，ADOA，BDCA.(2)若CE4，DE2，求AD的长.答案解解CEAE，EADB90，DBEC，DCEBDC，BDCA，ADCE，EE，AECCED，162(2AD)，AD6.考点三切线的判定例例3(2016自贡)如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BDBA，BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：1BAD；答案证明证明BDBA，BDABAD，1BDA，1BAD.(2)求证：BE是O的切线.答案规律方法证明证明连接BO，ABC90，BADBCD180，BCOBCD180，OBOC，BCOCBO，CBOBCD180，OBDE，BEDE，BEOB，OB是O的半径，BE是O的切线.本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.规律方法(2016宿迁)如图1，在ABC中，点D在边BC上，ABCACBADB123，O是ABD的外接圆.(1)求证：AC是O的切线；练习3答案解解证明：连接AO，延长AO交O于点E，则AE为O的直径，连接DE，如图所示，ABCACBADB123，ADBACBCAD，ABCCAD，AE是O的直径，ADE90，EAD90AED，AEDABD，AEDABCCAD，EAD90CAD，即EADCAD90，EAAC，AC是O的切线.(2)当BD是O的直径时(如图2)，求CAD的度数.解解BD是O的直径，BAD90，ABCADB90，ABCACBADB123，4ABC90，ABC22.5，由(1)知：ABCCAD，CAD22.5.答案返回易错防范返回试题试题如图，已知AB是O的直径，ABC90，OC平行于弦AD.求证：CD是O的切线.易错警示系列 31选用合适的切线判定定理证明直线与圆相切错误答案展示错误答案展示证明：过O作ODCD于D，D在O上，且ODCD，CD是O的切线.正确解答分析与反思剖析剖剖析析本题要证明CD为O的切线，由已知条件AD为弦，即点D在O上，则应连接OD，证明ODCD.从题中给出的已知条件，可证明DOCBOC，从而CDOCBO90.分析与反思正确解答正确解答证明：连接OD，OCAD，14，23，OAOD，12，34，ODOB，OCOC，DOCBOC，CDOCBO，ABC90，CDO90，ODCD，CD是O的切线.分分析析与与反反思思证明直线与圆相切主要有以下两种方法：(1)根据切线的判定定理：当已知直线与圆有公共点时，常用此法；辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可.(2)根据直线与圆的位置关系：当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法；辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可.因此，看清问题中的已知条件，选用合适的切线判定定理很关键.返回