数学第六章 圆 第27讲 圆的有关性质.ppt

第27讲 圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的基本概念;了解等圆、等弧的概念.2.探索并掌握垂径定理及其推论.能用垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理及推论等进行简单的运算和推理.3.会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决.考点一、考点一、圆的相关概念圆的相关概念 1、圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”考点二、考点二、弦、弧等与圆有关的定义弦、弧等与圆有关的定义1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中的AB）。2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）。直径等于半径的2倍。3.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4.弧、优弧、劣弧：(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。(2)大于半圆的弧叫做优弧（用三个大写字母表示）(3)小于半圆的弧叫做劣弧（用两个大写字母表示）5.等圆：能够重合的两个圆称为等圆。等弧：能够互相重合的弧叫等弧。1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.2.推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧.(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.考点三、考点三、垂径定理及其推论垂径定理及其推论3.如下左图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A6B5C4D34.如上右图，在O中，ACOB，BAO=25，则BOC的度数为（）A25 B50C60D804.垂径定理及其推论可概括为：过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧注意：当具备的两个条件是“平分弦的直径”时，需对这条弦增加它不是直径的限制.考点三、考点三、垂径定理及其推论垂径定理及其推论2.(2016兰州市)如图，在O中，点C是AB的中点，A50，则BOC等于（）A.40B.45C.50D.60 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点四、考点四、圆的对称性圆的对称性考点五、考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.1.圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2:直径所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是直径.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.考点六、考点六、圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论考点七、考点七、确定圆的条件确定圆的条件1.不在同一直线上的三个点可以确定一个圆.2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做外心.1如图，已知A，B，C在O上，为优弧，下列选项中与AOB相等的是（）A2CB4BC4ADB+C解析：解析：由圆周角定理可得：AOB=2C解析：解析：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，CM=OC+OM=5+3=8cm，当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，5.已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A.B.C.D.6.直径为10cm的O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是二二、填空填空题题解析：解析：解：连接OA、OB，AB=OB=OA，AOB=60，C=30，D=18030=150故答案为30或15030或或1507.如图，AB为O直径，CD为O的弦，ACD=25，BAD的度数为解析：解析：解：AB为O直径ADB=90B=ACD=25BAD=90B=6565【例题【例题1】（2014广东省）广东省）如图，在O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为考点：垂径定理;勾股定理.分析：作OCAB于点C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在RtAOC中利用勾股定理求出OC即可.3解答：作OCAB于点C，连接OA，如图.OCAB，AC=BC=AB=8=4.在RtAOC中，OA=5，即圆心O到AB的距离为3.故答案为：3.小结：本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理.【例题【例题2】如图，AB，CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为考点：垂径定理;勾股定理.分析：A，B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当点B，C，P在一条直线上时，PA+PC的值最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.72解答：连接OA，OB，OC，作CHAB于点H.根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，CH=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在RtBCH中，根据勾股定理得到BC=，即PA+PC的最小值为 .故答案为：.小结：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.