数学第23讲 等腰三角形.ppt
第第2323讲等腰三角形讲等腰三角形内容索引基础诊断 梳理自测，理解记忆考点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能基础诊断返回 知识梳理1 11.等腰三角形等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形.(1)性质：两腰相等，两底角相等，底边上的 线、线、线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形.高中顶角的角平分2.等边三角形等边三角形有三边相等的三角形是等边三角形.(1)性质：三边相等，三内角都等于 ；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.603.三角形分类要注意的一个防范三角形分类要注意的一个防范按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来.选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定.4.等腰三角形的解答等腰三角形的解答解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形.在构造辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句，不能限制条件过多，如“作一边上的高并且平分这边”、“作一边上的中线并且平分这边”、“作一个角的平分线并且垂直对边”等等，这些都是不正确的.1.在ABC中，其两个内角如下，则能判定ABC为等腰三角形的是()A.A40，B50 B.A40，B60C.A40，B70 D.A40，B80诊断自测2 212345C解析解析在ABC中，A40，B70，C70B，ABC为等腰三角形.2.(2015南宁)如图，在ABC中，ABADDC，B70，则C的度数为()1234解析解析在ABD中，ABAD，B70，BADB70，ADC180ADB18070110，ADCD，AA.35 B.40C.45 D.5053.(2015苏州)如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，BAD35，则C的度数为()1234CA.35 B.45C.55 D.60解析解析在ABC中，ABAC，D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得BADCAD，ADBC，又BAD35，CAD35，根据直角三角形两锐角互余的性质，得C55.51234B若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为48820.512345.(2015陕西)如图，在ABC中，A36，ABAC，BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BEBC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A.2个 B.3个C.4个 D.5个D51234返回解析解析ABAC，ABC是等腰三角形.ABAC，A36，ABCC72，BD是ABC的角平分线，AABD36，BDAD，ABD是等腰三角形.BDC180DBCC180367272，CBDC72，BDBC，51234返回BCD是等腰三角形.BEBC，BDBE，BDE是等腰三角形，BED(18036)272，ADEBEDA723636，AADE，DEAE，ADE是等腰三角形.图中的等腰三角形有5个.5考点突破返回例例1(2015乌鲁木齐)等腰三角形的一个外角是60，则它的顶角的度数是.考点一等腰三角形有关角的讨论分分析析等腰三角形一个外角为60，那相邻的内角为120；三角形内角和为180，如果这个内角为底角，内角和将超过180，所以120只可能是顶角.答案分析规律方法120在等腰三角形中，如果没有明确的底角和顶角，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论.本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出60的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键.规律方法练习1答案分析若等腰三角形的一个角为50，则它的顶角为.80或50分分析析已知给出了一个内角为50，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.当该角为顶角时，顶角为50；当该角为底角时，顶角为80.等腰三角形有关边的讨论考点二例例2(2016江西)如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB8，AD7，E为AB上一点，AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片(AEP)，使点P落 在 长 方 形 ABCD的 某 一 条 边 上，则 等 腰 三 角 形 AEP的 底 边 长 是 .答案分析规律方法分析分析如图所示，分三种情况讨论：当AP1AE5时，BAD90，AEP1是等腰直角三角形，答案分析规律方法当P2EAE5时，BEABAE853，B90，规律方法在等腰三角形中，如果没有明确的底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰，必须仔细分类讨论.本题考查的是等腰三角形的性质，注意到等腰三角形的三边关系只需有两边相等即可，在解答时要注意分类讨论，不要漏解.规律方法(2016湘西)一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对练习2C分分析析 当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系，故周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是5cm,5cm,4cm，符合三角形的三边关系，故周长为14cm.答案分析考点三等腰三角形的性质与判定例例3(2016东莞联考)如图，在ABC中，ABAC，AD是高，AM是ABC外角CAE的平分线.(1)用尺规作图方法，作ADC的平分线DN；(保留作图痕迹，不写作法和证明)答案解解以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于点N，作射线DN，交AM于F.作图如右图所示：(2)设DN与AM交于点F，判断ADF的形状.(只写结果)答案规律方法解解ADF是等腰直角三角形.理由如下：ABAC，ADBC，BADCAD，AF平分CAE，EAFFAC，ABAC，BACB，EAC2EAFBACB，EAFB，AFBC，AFDFDC，DF平分ADC，ADFFDCAFD，ADAF，即RtADF是等腰直角三角形.规律方法本题考查了基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中.规律方法练习3答案分析(2016荆门)如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线.已知AB5，AD3，则BC的长为()A.5 B.6C.8 D.10C分析分析ABAC，AD是BAC的平分线，ADBC，BDCD，AB5，AD3，BC2BD8.例例4(2016贺州)如图，在ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则AOB的度数为 .等边三角形考点四答案分析规律方法120分析分析如图，设AC与BD交于点H.ACD，BCE都是等边三角形，CDCA，CBCE，ACDBCE60，DCBACE，在DCB和ACE中，DCBACE，CDBCAE，DCH CHD BDC 180，AOH AHO CAE 180，DHCAHO，DCHAOH60，AOB180AOH120.规律方法本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字形”证明角相等，属于中考常考题型.规律方法(2016内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()练习4答案分析B返回分分析析如图，ABC是等边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H，连接PA，PB，PC，则SPABSPBCSPCASABC，返回易错防范返回易错警示系列 23容易出错的等腰三角形问题试试题题已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求BAC的度数.错误答案展示错误答案展示解：如图1，BADBCCAD45，BAC90.图1正确解答分析与反思剖析剖剖析析本题考查等腰三角形的性质，题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.做此类题时要心细，画出图形可以帮我们更好地理解此题.正正确确解解答答解：题目中并没有指明BC是等腰ABC的底或腰.当BC为底时，可求得BAC90；当BC为腰时，还应对B的大小进行讨论：当顶角B是锐角时，如图2，图2B30，BACC75.分析与反思当顶角B为直角时，高AD和腰AB重合，与已知矛盾，故B90.图3当顶角B为钝角时，如图3，综上所述，BAC的度数为90或75或15.分分析析与与反反思思(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解.(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外.这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面.返回
