押新高考第16题 立体几何综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）含答案.pdf

更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 16 题立题立 体体 几几 何何 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析立体几何综合立体几何综合2023 年新高考卷第 18 题2023 年新高考卷第 20 题2022 年新高考卷第 19 题2022 年新高考卷第 20 题2021 年新高考卷第 20 题2021 年新高考卷第 19 题2020 年新高考卷第 20 题2020 年新高考卷第 20 题立体几何大题难度一般难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新高考命题方向将继续以空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开命题年新高考命题方向将继续以空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，在正四棱柱1111ABCDABC D-中，12,4ABAA=点2222,A B C D分别在棱111,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC=(1)证明：2222B CA D；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PA CD-为150时，求2B P2（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）如图，三棱锥ABCD-中，DADBDC=，BDCD，60ADBADC=o，E 为 BC 的中点押新高考第16题 立体几何综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：BCDA；(2)点 F 满足EFDA=，求二面角DABF-的正弦值3（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为 4，1ABCV的面积为2 2(1)求 A 到平面1ABC的距离；(2)设 D 为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC-的正弦值4（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）如图，PO是三棱锥-PABC的高，PAPB=，ABAC，E 是PB的中点(1)证明：/OE平面PAC；(2)若30ABOCBO=，3PO=，5PA=，求二面角CAEB-的正弦值5（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，在三棱锥ABCD-中，平面ABD 平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（1）证明：OACD；（2）若OCDV是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD-的大小为45，求三棱锥ABCD-的体积.6（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）在四棱锥QABCD-中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC=（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角BQDA-的平面角的余弦值1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理 1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理 2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理 1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理 2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君2.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理 1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.异面直线所成角cos|cos,|a bq=r r=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyz+=+r rrr（其中q（090qoo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）4.直线AB与平面所成角，sin|AB mAB m=(m为平面的法向量).5.二面角l-的平面角cos|m nm nq=（m，n为平面，的法向量）.6.点B到平面的距离|AB ndn=（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.1（2024浙江浙江模拟预测）模拟预测）如图，已知正三棱柱1111,2,ABCABC ABAA D E-=分别为棱11,AB BC的中点 (1)求证：1AB 平面1AC D；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)求二面角1AC DE-的正弦值2（2024浙江浙江二模）二模）如图，在四棱锥PABCD-中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面PAD 平面ABCD，5PAPD=，点 E 是线段 AD 的中点，2CMMP=.(1)证明：PE/平面 BDM；(2)求平面 AMB 与平面 BDM 的夹角.3（2024江苏江苏一模）一模）如图，在四棱锥EABCD-中，EC 平面ABCD，DCBC，/ABDC，22DCAB=，CBCE=，点F在棱BE上，且12BFFE=.(1)证明：/DE平面AFC；(2)当二面角FACD-为135o时，求CE.4（2024浙江浙江一模）一模）在三棱柱111ABCABC-中，四边形11BCC B是菱形，ABCV是等边三角形，点M是线段AB的中点，160ABB=(1)证明：1BC 平面1ABC；(2)若平面11ABB A 平面ABC，求直线1BC与平面11AMC所成角的正弦值5（2024浙江浙江模拟预测）模拟预测）如图，在四棱锥QABCD-中，四边形ABCD为直角梯形，/CD AB，BCAB，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君平面QAD 平面ABCD，QAQD=，点M是AD的中点.(1)证明：QMBD.(2)点N是CQ的中点，22ADABCD=，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为427时，求四棱锥QABCD-的体积.6（2024江苏南通江苏南通二模）二模）如图，边长为 4 的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F 分别为BC，CD 的中点，点 G 在棱 AD 上，2AGGD=，直线 AB 与平面EFG相交于点 H.(1)从下面两个结论中选一个证明：/BDGH；直线 HE，GF，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.(2)求直线 BD 与平面EFG的距离.7（2024福建泉州福建泉州模拟预测）模拟预测）如图，在三棱锥-PABC中，2PAPCABAC=，2 2BC=，E 为 PC的中点，点 F 在 PA 上，且EF平面PAB，RPMPBll=(1)若/MF平面ABC，求l；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)若12l=，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值8（2024河北河北模拟预测）模拟预测）如图，正四棱台1111ABCDABC D-有内切球1O，且1124ABAB=，.(1)设平面1O BC 平面111O BCl=，证明/l平面ABCD；(2)求平面11ABB A与平面11ABCD夹角的余弦值.9（2024辽宁大连辽宁大连一模）一模）如图多面体 ABCDEF 中，面FAB 面ABCD，FABV为等边三角形，四边形 ABCD为正方形，EFBC，且334EFBC=，H，G 分别为 CE，CD 的中点(1)证明：BFAD；(2)求平面 BCEF 与平面 FGH 所成角的余弦值；(3)作平面 FHG 与平面 ABCD 的交线，记该交线与直线 AD 交点为 P，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）10（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）在如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，已知ABCD，90BAD=，2CDAB=，PABV是正三角形，点 M 在侧棱 PB 上且使得/PD平面AMC(1)证明：2PMBM=；(2)若侧面PAB 底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角PACB-的余弦值11（2024辽宁辽宁二模）二模）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，14,2,2 2AAABACBC=，点D是棱1AA更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君上的一点，且13ADDA=，点E是棱1CC的中点(1)求证：平面BDE 平面1ACB；(2)求直线1AC与平面BDE所成角的正弦值12（2024山西山西一模）一模）如图，在三棱台111ABCABC-中，平面11ABB A 平面11111,4,2,2ABC BBAB ABAAABBAC=.(1)证明：AC 平面11ABB A；(2)若直线BC与11BC距离为 3，求平面11ABB A与平面11BCC B夹角的余弦值.13（2024广东广东一模）一模）如图，已知圆柱1OO的轴截面ABCD是边长为 2 的正方形，点P是圆1O上异于点C，D的任意一点.(1)若点D到平面ACP的距离为2 33，证明：1O PCD.(2)求OC与平面ACP所成角的正弦值的取值范围.14（2024广东佛山广东佛山二模）二模）如图，在直三棱柱形木料111ABCABC-中，D为上底面ABC上一点更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与1B D垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若11BCBB=，2AB=，1112ABC=，E为11AB的中点，求点B到平面1AC E的距离15（2024广东广州广东广州一模）一模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，DCPV是等边三角形，4DCBPCB=，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：/MN平面PBC；(2)求证：平面PBC平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.16（2024湖南长沙湖南长沙一模）一模）正四棱柱1111ABCDABC D-中，2,ABE H=分别是棱1111,AB AD的中点，1AECD.(1)求正四棱柱1111ABCDABC D-的体积；(2)求平面AEH与平面11CB D所成锐二面角的余弦值.17（2024湖南湖南二模）二模）如图所示，半圆柱的轴截面为平面11BCC B，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，1AA为一条母线，E为1CC的中点，且14ABACAA=.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求证：1OEAB；(2)求平面1AB E与平面1BOE夹角的余弦值.18（2024河北河北模拟预测）模拟预测）如图所示，五面体ABCDE中，ABBC，四边形ABDE为平行四边形，点E在面ABC内的投影恰为线段AC的中点，22AEACAB=(1)求五面体ABCDE体积；(2)求平面AEC与平面DBC夹角的余弦值19（2024湖南湖南二模）二模）在直角梯形ABCD中，,224,ADBC BCABADABBC=/，点E为AD中点，沿BD将ABD折起，使BECD，(1)求证：AB平面ACD；(2)求二面角EBCD-的余弦值，20（2024湖北武汉湖北武汉模拟预测）模拟预测）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是平行四边形，PAPB=，2DADB=，2AB=，1PD=，点E，F分别为AB和PB的中点更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：CFPE；(2)若1PE=，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值21（2024湖北湖北一模）一模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，5PAPB=，点M在PD上，点N为BC的中点，且/PB平面MAC(1)证明：/CM平面PAN；(2)若3PC=，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值22（2024湖北湖北二模）二模）如图，四棱锥PABCD-的底面是矩形，2,2 2,ABBCPBC=V是等边三角形，平面PBC平面,ABCD O F分别是,BC PC的中点，AC与BD交于点E (1)求证：BD平面PAO；(2)平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角q的大小23（2024山东潍坊山东潍坊一模）一模）如图，在四棱台1111ABCDABC D-中，下底面ABCD是平行四边形，120ABC=，1122ABAB=，8BC=，14 2A A=，1DDDC，M为BC的中点更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求证：平面11CDDC 平面1D DM；(2)若14DD=，求直线DM与平面11BCC B所成角的正弦值24（2024山东青岛山东青岛一模）一模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA与1BB的距离为3，12ABACAB=，12 2ACBC=(1)证明：平面11A ABB 平面 ABC；(2)若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值25（2024福建厦门福建厦门二模）二模）如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11ABB A是边长为 2 的菱形，13ABB=，2 2AC=，M为11AB中点，11CM=.(1)证明：平面ABC平面11ABB A；(2)若2BC=，求平面ABC与平面1ABC夹角的余弦值.26（2024福建莆田福建莆田二模）二模）如图，在四棱柱1111ABCDABC D-中，底面ABCD为直角梯形，,ABAD ABP,2CD CDAB=更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：1BCP平面11BDA；(2)若1AA 平面1,1,2ABCD ABAAAD=，求二面角11ABDD-的正弦值27（2024福建漳州福建漳州一模）一模）如图，P为圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，M，N是底面圆弧AB的三等分点，E，F分别为PM，PO的中点(1)证明：点B在平面EFN内(2)若4ABPO=，求平面PAM与平面PAB夹角的余弦值28（2024河北邯郸河北邯郸三模）三模）在四棱锥PABCD-中，平面PCD 平面ABCD，/ABCD，ABBC，224ABBCCD=，5PC=，E为棱AB的中点，且CEPE(1)求四棱锥PABCD-的高；(2)求二面角BPCE-的正弦值29（2024江苏江苏一模）一模）如图，已知四棱台1111ABCDABC D-的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形，平面11AAD D平面 ABCD，1117A AD D=，点 P 是棱1DD的中点，点 Q 在棱 BC 上更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 (1)若3BQQC=，证明：PQ平面11ABB A；(2)若二面角PQDC-的正弦值为5 2626，求 BQ 的长30（2024山东枣庄山东枣庄一模）一模）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为正方形，PA 平面,ABCD PD与底面所成的角为45，E为PD的中点(1)求证：AE平面PCD；(2)若2,ABG=为BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 16 题题立立 体体 几几 何何 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析立体几何立体几何综合综合2023 年新高考卷第 18 题2023 年新高考卷第 20 题2022 年新高考卷第 19 题2022 年新高考卷第 20 题2021 年新高考卷第 20 题2021 年新高考卷第 19 题2020 年新高考卷第 20 题2020 年新高考卷第 20 题立体几何大题难度一般难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新高考命题方向将继续以空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开命题年新高考命题方向将继续以空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，在正四棱柱1111ABCDABC D-中，12,4ABAA=点2222,A B C D分别在棱111,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC=(1)证明：2222B CA D；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PA CD-为150时，求2B P【答案】(1)证明见解析；(2)1更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设(0,2,)(04)Pll，利用向量法求二面角，建立方程求出l即可得解.【详解】（1）以C为坐标原点，1,CD CB CC所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA，2222(0,2,1),(0,2,1)B CA D=-=-uuuuu ruuuuu r，2222B CA Duuuuu ruuuuu r，又2222B CA D，不在同一条直线上，2222B CA D.（2）设(0,2,)(04)Pll，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A CPCD Cl=-=-uuuuu ruuuuuu uu rru，设平面22PA C的法向量(,)nx y z=r，则22222202(3)0n A Cxyzn PCyzl=-+=-+-=uuuuu rruuuu rr，令 2z=，得3,1yxll=-=-，(1,3,2)nll=-r，设平面222A C D的法向量(,)ma b c=ur，则2222222020m A Cabcm D Cac=-+=-+=uuuuu rruuuuu rr，令 1a=，得1,2=bc，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1,1,2)m=ur，2263cos,cos15026 4(1)(3)n mn mn mll=+-+-r urr urr ur，化简可得，2430ll-+=，解得1l=或3l=，(0,2,1)P或(0,2,3)P，21B P=.2（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）如图，三棱锥ABCD-中，DADBDC=，BDCD，60ADBADC=o，E 为 BC 的中点(1)证明：BCDA；(2)点 F 满足EFDA=uuu ruuu r，求二面角DABF-的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)33【分析】（1）根据题意易证BC平面ADE，从而证得BCDA；（2）由题可证AE平面BCD，所以以点E为原点，,ED EB EA所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，再求出平面,ABD ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出【详解】（1）连接,AE DE，因为 E 为 BC 中点，DBDC=，所以DEBC，因为DADBDC=，60ADBADC=o，所以ACDV与ABD均为等边三角形，ACAB=，从而AEBC，由，AEDEE=I，,AE DE 平面ADE，所以，BC平面ADE，而AD 平面ADE，所以BCDA（2）不妨设2DADBDC=，BDCDQ，2 2,2BCDEAE=2224AEDEAD+=，AEDE，又,AEBC DEBCE=QI，,DE BC 平面BCDAE平面BCD更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君以点E为原点，,ED EB EA所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0)DABE，设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为11112222,nx y znxyz=uruu r，二面角DABF-平面角为q,而0,2,2AB=-uuu r，因为2,0,2EFDA=-uuu ruuu r，所以2,0,2F-，即有2,0,0AF=-uuu r，1111220220 xzyz-+=-=，取11x=，所以1(1,1,1)n=ur；22222020yzx-=-=，取21y=，所以2(0,1,1)n=uu r，所以，121226cos332n nn nq=ur uu rur uu r，从而63sin193q=-=所以二面角DABF-的正弦值为333（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为 4，1ABCV的面积为2 2更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求 A 到平面1ABC的距离；(2)设 D 为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC-的正弦值【答案】(1)2(2)32【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC平面11ABB A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABCABC-中，设点 A 到平面1ABC的距离为 h，则1111 1 1112 211433333A A BCAAABCAABC A BBCCCBVShhVSA AV-=VV，解得2h=，所以点 A 到平面1ABC的距离为2；（2）取1AB的中点 E,连接 AE,如图，因为1AAAB=，所以1AEAB,又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC 平面111ABB AAB=，且AE 平面11ABB A，所以AE平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC-中，1BB 平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC，1BBBC，又1,AE BB 平面11ABB A且相交，所以BC平面11ABB A，所以1,BC BA BB两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君由（1）得2AE=，所以12AAAB=，12 2AB=，所以2BC=，则10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的中点1,1,1D，则1,1,1BD=uuu r，0,2,0,2,0,0BABC=uuu ruuu r,设平面ABD的一个法向量,mx y z=u r，则020m BDxyzm BAy=+=uuu vvuuu vv，可取1,0,1m=-ur，设平面BDC的一个法向量,na b c=r，则020n BDabcn BCa=+=uuu vruuu vr，可取0,1,1n=-r，则11cos,222m nm nmn=ur rur rurr，所以二面角ABDC-的正弦值为213122-=.4（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）如图，PO是三棱锥-PABC的高，PAPB=，ABAC，E 是PB的中点更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：/OE平面PAC；(2)若30ABOCBO=，3PO=，5PA=，求二面角CAEB-的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)1113【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OAOB=，再根据直角三角形的性质得到AODO=，即可得到O为BD的中点从而得到/OE PD，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥-PABC的高，所以PO平面ABC，,AO BO 平面ABC，所以POAO、POBO，又PAPB=，所以POAPOB，即OAOB=，所以OABOBA=，又ABAC，即90BAC=，所以90OABOAD+=，90OBAODA+=，所以ODAOAD=所以AODO=，即AODOOB=，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以/OE PD，又OE 平面PAC，PD 平面PAC，所以/OE平面PAC更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（2）解：过点A作/Az OP，如图建立空间直角坐标系，因为3PO=，5AP=，所以224OAAPPO=-=，又30OBAOBC=，所以28BDOA=，则4=AD，4 3AB=，所以12AC=，所以2 3,2,0O，4 3,0,0B，2 3,2,3P，0,12,0C，所以33 3,1,2E，则33 3,1,2AE=uuu r，4 3,0,0AB=uuu r，0,12,0AC=uuur，设平面AEB的法向量为,nx y z=r，则33 3024 30n AExyzn ABx=+=uuu vvuuu vv，令2z=，则=3y-，0 x=，所以0,3,2n=-r；设平面AEC的法向量为,ma b c=u r，则33 302120m AEabcm ACb=+=uuu vvuuuvv，令3a=，则6c=-，0b=，所以3,0,6m=-ur；所以124 3cos,131339n mn mn m-=-r urr urr ur.设二面角CAEB-的大小为q，则4 3coscos,=13n mq=r ur，所以211sin1 cos13qq=-=，即二面角CAEB-的正弦值为1113.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君5（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）如图，在三棱锥ABCD-中，平面ABD 平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCDV是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD-的大小为45，求三棱锥ABCD-的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)36.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为ABAD=，O 是BD中点，所以OABD，因为OA平面ABD，平面ABD 平面BCD，且平面ABD平面BCDBD=，所以OA平面BCD更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君因为CD平面BCD，所以OACD.（2）方法一方法一：通性通法：通性通法坐标法坐标法如图所示，以 O 为坐标原点，OA为z轴，OD为 y 轴，垂直OD且过 O 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系Oxyz-，则3 1(,0),(0,1,0),(0,1,0)22CDB-，设1 2(0,0,),(0,)3 3Am Em,所以423 3(0,),(,0)3322EBm BC=-=uuu ruuu r，设,nx y z=r为平面EBC的法向量，则由00EB nEC n=uuu vruuu vr可求得平面EBC的一个法向量为2(3,1,)nm=-r又平面BCD的一个法向量为0,0,OAm=uuu r，所以222cos,244n OAmm-=+uuu rr，解得1m=又点 C 到平面ABD的距离为32，所以11332 13226A BCDC ABDVV-=，所以三棱锥ABCD-的体积为36方法二方法二【最优解】：作出二面角的平面角【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EGBD，垂足为点 G作GFBC，垂足为点 F，连结EF，则OAEG更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君因为OA平面BCD，所以EG 平面BCD，EFG为二面角EBCD-的平面角因为45EFG=，所以EGFG=由已知得1OBOD=，故1OBOC=又30OBCOCB=，所以3BC=因为24222,133333GDGBFGCDEGOA=，11113322(1 1)1333226A BCDBCDBOCVSOSOAA-=VV方法三方法三：三面角公式：三面角公式考虑三面角BEDC-，记EBD为a，EBC为b，30DBC=，记二面角EBCD-为q据题意，得45q=对b使用三面角的余弦公式，可得coscoscos30ba=，化简可得3coscos2ba=使用三面角的正弦公式，可得sinsinsinabq=，化简可得sin2sinba=将两式平方后相加，可得223cos2sin14aa+=，由此得221sincos4aa=，从而可得1tan2a=如图可知(0,)2a，即有1tan2a=，根据三角形相似知，点 G 为OD的三等分点，即可得43BG=，结合a的正切值，可得2,13EGOA=从而可得三棱锥ABCD-的体积为36【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.6（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）在四棱锥QABCD-中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC=（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角BQDA-的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）取AD的中点为O，连接,QO CO，可证QO 平面ABCD，从而得到面QAD 面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD的中点为O，连接,QO CO.因为QAQD=，OAOD=，则QO AD，而2,5ADQA=，故5 12QO=-=.在正方形ABCD中，因为2AD=，故1DO=，故5CO=，因为3QC=，故222QCQOOC=+，故QOCV为直角三角形且QOOC，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君因为OCADO=I，故QO 平面ABCD，因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD，结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则0,1,0,0,0,2,2,1,0DQB-，故2,1,2,2,2,0BQBD=-=-uuu ruuu r.设平面QBD的法向量,nx y z=r，则00n BQn BD=uuu vvuuu vv即220220 xyzxy-+=-+=，取1x=，则11,2yz=，故11,1,2n=r.而平面QAD的法向量为1,0,0m=ur，故12cos,3312m n=ur r.二面角BQDA-的平面角为锐角，故其余弦值为23.1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理 1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理 2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理 1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君性质定理 2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理 1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.异面直线所成角cos|cos,|a bq=r r=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyz+=+r rrr（其中q（090q，1322MFABCD=+=Q，22132BCADAB=-=，22132MCMFBC=+=，211322MNQCa=+，又223329944aQM MFaMGQFaa=+，2234294sin1732aMGaMNGMNa+=+，解得：3a=或32a=，113322Q ABCDVABCDBC QMQM-=+=Q，当3QM=时，32Q ABCDV-=；当32QM=时，3 34Q ABCDV-=.综上所述：四棱锥QABCD-的体积为32或3 34.方法二：取BC中点F，连接MF，,M FQ分别为,AD BC中点，/AB CD，/MF AB，又BCAB，MFBC；由（1）知：QM 平面ABCD，以F为坐标原点，,FM FBuuuu r uuu r正方向为,x y轴正方向，过F作z轴/QM，可建立如图所示空间直角坐标系，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 设0QMa a=，1322MFABCD=+=Q，22132BCADAB=-=，3,0,02M，3,0,2Qa，30,02B，30,02C-，33,442aN-，33,442aMN=-uuuu r，0,3,0BC=-uuu r，33,22CQa=uuu r；设平面QBC的法向量,nx y z=r，则3033022BC nyCQ nxyaz=-=+=uuu rruuu rr，令2xa=，解得：0y=，3z=-，2,0,3na=-r；22342cos,73494MN naMN nMNnaa-=+uuuu rruuuu rruuuu rr，解得：3a=或32a=，113322Q ABCDVABCDBC QMQM-=+=Q，当3QM=时，32Q ABCDV-=；当32QM=时，3 34Q ABCDV-=.综上所述：四棱锥QABCD-的体积为32或3 34.6（2024江苏南通江苏南通二模）二模）如图，边长为 4 的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F 分别为BC，CD 的中点，点 G 在棱 AD 上，2AGGD=，直线 AB 与平面EFG相交于点 H.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)从下面两个结论中选一个证明：/BDGH；直线 HE，GF，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.(2)求直线 BD 与平面EFG的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)62.【分析】（1）选择条件，利用线面平行的判定性质推理即得；选择条件，利用平面的基本事实推理即得.（2）以点E为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.【详解】（1）选择条件，由E,F分别为BC,CD的中点，得/EFBD，又BD 平面,EFG EF 平面EFG，则/BD平面EFG，又BD平面ABD，平面ABD平面EFGGH=，所以/BDGH.选择条件，在ACDV中，2,AGGD F=为CD中点，则GF与AC不平行，设GFACK=I，则,KAC KGF，又AC平面,ABC FG 平面EFG，于是K 平面,ABC K 平面EFG，又平面ABC平面EFGHE=，因此KHE，所以HE,GF,AC相交于一点.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（2）若第（1）问中选，由（1）知，/BD平面EFG，则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离，若第（1）问中选，由E,F分别为BC,CD的中点，则/EFBD，又BD 平面,EFG EF 平面EFG，于是/BD平面EFG，因此点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离，连接EA,ED，由,ABCBCDVV均为正三角形，E为BC的中点，得,EABC EDBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面,BCDBC AE=平面AB