数学第四章 图形的认识与三角形 第23讲 等腰三角形与直角三角形.ppt

第23讲 等腰三角形与直角三角形1.能利用等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线的性质与判定进行证明与计算.2.掌握直角三角形的性质并能判断一个三角形是不是直角三角形.3.掌握勾股定理，能运用勾股定理解决相关问题.考点一、考点一、等腰三角形的性质等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质定理及推论:（1）定理:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).（2）推论1:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).（3）推论2:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60.2.等腰三角形的其他性质：（1）等腰直角三角形的两个底角相等且等于45（2）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 a（4）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=一、选择题一、选择题1如图，在ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，B=80，则C的度数为（）A30B40C45D602.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A17B15C13D13或173.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A.形状相同B.周长相等C.面积相等 D.全等考点二、考点二、等腰三角形的判定定理及推论等腰三角形的判定定理及推论1.判定定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.2.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.3.推论2:有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形.等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长 周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形考点三、考点三、直角三角形的性质直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。可表示如下：3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可表示如下：4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为解析：解析：解：在三角形ABC中，设AB=AC，BDAC于D若是锐角三角形，A=9036=54，底角=（18054）2=63；若三角形是钝角三角形，BAC=36+90=126，此时底角=（180126）2=27所以等腰三角形底角的度数是63或2763或或27考点四、考点四、直角三角形的判定直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。4.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是()A.27B.36C.27或36D.18解析：解析：分两种情况：当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得32123+k=0，k=27将k=27代入原方程，得x212x+27=0，解得x=3或93，3，9不能够组成三角形；当3为底时，则其他两条边相等，即=0，此时1444k=0，k=36将k=36代入原方程，得x212x+36=0，解得x=63，6，6能够组成三角形，7.如图，在ABC中，AB=AC，A=40，点D在AC上，BD=BC，则ABD的度数是解析：解析：解：AB=AC，A=40，ABC=C=（18040）=70，BD=BC，CBD=180702=40，ABD=ABCCBD=7040=3030【例【例题题1】如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量ABD=135，BD=800 m，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（1.414，精确到1 m）考点：勾股定理的应用.分析：首先证明BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800m进行计算即可.解：CDAC，ACD=90.ABD=135，DBC=45.D=45.CB=CD.在RtDCB中，CD2+BC2=BD2，即2CD2=8002，CD=400566(m).答:应在直线l上距离点D约566m的C处开挖.小结：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的应用思想.例题例题2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DBC=15，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是考点：考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析：分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可50解：MN是AB的垂直平分线，AD=BD.A=ABD.DBC=15，ABC=A+15.AB=AC，C=ABC=A+15.A+A+15+A+15=180,解得A=50故答案为：50小结：小结：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质、等腰三角形的性质.熟记性质并用A表示出ABC的另外两个角，然后列出方程是解题的关键.