九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 （新版）北师大版.ppt

第二章第二章 一元二次方程一元二次方程2.5 2.5 一元二次方程的根一元二次方程的根 与系数的关系与系数的关系1课堂讲解课堂讲解一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 方程方程ax2bxc0(a0)的求根公式的求根公式 不仅表示可以由方程的系数不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？之间的联系还有其他表现方式吗？1知识点一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系思考思考1 1 从因式分解法可知，方程从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0(x1，x2为已知数为已知数)的两根为的两根为x1和和x2，将方程化为，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2与与p，q之之间的关系吗？间的关系吗？知知1 1导导知知1 1导导归 纳方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1x2p，x1x2q.知识点 一般的一元二次方程一般的一元二次方程ax2bxc0中，二中，二次项系数次项系数a未必是未必是1，它的两个根的和、积与系数，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？又有怎样的关系呢？知知1 1导导思考思考2 2知知1 1导导归 纳方程的两个根方程的两个根x1，x2和系数和系数a，b，c有如下关系：有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比项系数的比例例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x27x60；(2)2x23x20.解：解：(1)这里这里a1，b7，c6.b24ac724164924250.方程有两个实数根方程有两个实数根 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1，x2，那么，那么 x1x27，x1x26.(2)这里这里a2，b3，c2.b24ac(3)242(2)916250，方程有两个实数根方程有两个实数根 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1，x2，那么，那么 x1x2 ，x1x21.知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）识点知知1 1讲讲例例2 根据一元二次方程的根与系数的关系，求根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根下列方程两个根x1，x2的和与积：的和与积：（1）x26x150 （2）3x27x90；（3）5x14x2.解：解：(1)x1x2(6)6，x1x215.(3)方程化为方程化为4x25x10，1一元二次方程一元二次方程x24x30的两根为的两根为x1，x2，则，则x1x2的值是的值是()A4 B4 C3 D3已知已知x1，x2是方程是方程x23x10的两个实数根，的两个实数根，那么下列结论正确的是那么下列结论正确的是()Ax1x21 Bx1x23Cx1x21 Dx1x23知知1 1练练2（来自（来自典中点典中点）3已知实数已知实数x1，x2满足满足x1x27，x1x212，则以，则以x1，x2为根的一元二次方程是为根的一元二次方程是()Ax27x120 Bx27x120Cx27x120 Dx27x120知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）例例3 已知关于已知关于x的方程的方程x26xp22p50的的 一个根是一个根是2，求方程的另一个根和，求方程的另一个根和p的值的值导引：导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中项中p的值的值知知2 2讲讲解：解：设方程的两根方程的两根为x1和和x2，x1x26，x12，x24.又又x1x2 p22p5248，p22p30，解得，解得 p3或或p1.知知2 2讲讲总 结 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值定字母的值（来自来自点拨点拨）1已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2mx80的一个实的一个实数根为数根为2，则另一实数根及，则另一实数根及m的值分别为的值分别为()A4，2 B4，2C4，2 D4，2知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2等腰三角形三边长分别为等腰三角形三边长分别为a，b，2，且，且a，b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x26xn10的两根，则的两根，则n的的值为值为()A9 B10C9或或10 D8或或10知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知知2 2练练已知关于已知关于x的方程的方程x2axa20.(1)若该方程的一个根为若该方程的一个根为1，求，求a的值及该方程的的值及该方程的 另一根；另一根；(2)求证：不论求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等取何实数，该方程都有两个不相等 的实数根的实数根（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例4 方程方程x22kxk22k10的两个的两个实数根数根x1，x2满 足足x12x224，则k的的值为_由由x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x24，根根据据根根与与系系数数的的关关系系即即可可得得到到一一个个关关于于k的的方方程程，从而求得从而求得k的值的值x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)2 2x1x24，x1x22k，x1x2k22k1，4k24(k22k1)4，解得解得k1.导引：导引：k1知知2 2讲讲总 结 已已知知方方程程两两根根的的关关系系求求待待定定字字母母系系数数的的值值时时，先先根根据据根根与与系系数数的的关关系系用用待待定定的的字字母母表表示示两两根根之之和和与与两两根根之之积积，然然后后将将已已知知两两根根的的关关系系进进行行变变形形，再再将将两两根根的的和和与与积积整整体体代代入入，列列出出以以待待定定字字母母为为未未知知数数的的方方程程，进而求出待定字母的值进而求出待定字母的值（来自（来自点拨点拨）1若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2kx4k230的两个的两个实数根分别是实数根分别是x1，x2，且满足，且满足x1x2x1x2，则，则k的的值为值为()A1或或 B1 C.D不存在不存在知知2 2练练（来自典中点）（来自典中点）2已已知知a，b是是方方程程x2x30的的两两个个根根，则则代代数数式式2a3b23a211ab5的值为的值为_知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）1.一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根的两个根x1，x2 和系数和系数a，b，c的关系：的关系：2.用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及 未知系数的方法：未知系数的方法：(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根当已知一个根和一次项系数时，先利用两根 的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项 (2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积当已知一个根和常数项时，先利用两根的积 求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数