立体几何初步章末复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.docx
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立体几何初步章末复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.docx
第八章章末复习 立体几何初步 类型一 空间几何体的表面积和体积圆柱; , 圆锥: , 圆台: , 球的表面积和体积 .注意:正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥.解题技巧:空间几何体的表面积与体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解1已知圆柱的轴截面为正方形,且该圆柱的侧面积为36,则该圆柱的体积为( )A27 B36 C54 D812.已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2,母线与底面所成的角为60°,则该圆锥的体积为( )A B8 C D163(2022·新高考卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(2.65)( )A1.0×109 m3 B1.2×109 m3C1.4×109 m3 D1.6×109 m3 类型二 与球有关的切、接问题1(2022·新高考卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A100 B128 C144 D1922.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为( )A. B. C. D163.已知PA,PB,PC两两垂直且PA,PB,PC2,则过P,A,B,C四点的球的体积为 .类型三 空间中点、线、面的位置关系平面基本性质基本事实1基本事实2基本事实3图形语言文字语言过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用确定平面判断线在面内证明三点共线或三线共点推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 确定平面推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 直线与直线的位置关系共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.(既不平行,也不相交)直线与平面的位置关系在平面内,有无数个公共点 符号 a 相交,有且只有一个公共点 符号 a= A平行,没有公共点 符号 a说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 来表示平面与平面的位置关系平行没有公共点: 符号 相交有一条公共直线: 符号 =a1.(多选)设,表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,其中正确的是( )A若Al,A,Bl,B,则lB若,不重合,A,A,B,B,则ABC若l,Al,则AD若A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线,则与重合2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,HG交于一点P,则( )A点P一定在直线BD上B点P一定在直线AC上C点P一定在直线AC或BD上D点P既不在直线AC上,也不在直线BD上3.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGCDHHC 12.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)GE与HF的交点在直线AC上. 类型四 平行、垂直关系基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行1.线面平行的判定 符号: 2.线面平行的性质 符号: 3.线面垂直的判定 符号:4.性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号: 推论:如果两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面符号语言:ab, a b性质:垂直于同一直线的两平面平行 符号: 推论: ,ll5.面面平行的判定 符号: 6面面平行的性质 符号: 补充:平行于同一平面的两平面平行. 符号:,.两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行. 符号:,aa.7. 面面垂直的判定符号:推论:如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线,则这个平面与另一个平面垂直。8.面面垂直的性质 符号:,m,l,lml9.证明线线平行的方法三角形中位线 平行四边形 线面平行的性质 平行线的传递性 面面平行的性质 垂直于同一平面的两直线平行; 证明线线垂直的方法线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时,要通过平移把异面直线转化为相交直线;线面垂直的性质:a,bab;线面垂直的性质:a,bab.证明面面垂直的方法面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角;面面垂直的判定定理:a,a.1.(2022·高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )A平面B1EF平面BDD1B平面B1EF平面A1BDC平面B1EF平面A1ACD平面B1EF平面A1C1D2.(多选)如图,四边形ABCD是圆柱的轴截面,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下面结论中正确的是( )A AECE BBEDE CDE平面CEB D平面ADE平面BCE3.如图,在四棱锥P-ABCD中,菱形ABCD的对角线交于点O,E,F分别是PC,DC的中点,且平面PAD平面ABCD,PDAD.求证:(1)平面EFO平面PAD;(2)PD平面ABCD.4.如图,已知直角梯形ABCD中,E为CD边中点,且AECD,又G,F分别为DA,EC的中点,将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证:AE平面CDE;(2)求证:FG平面BCD;(3)在线段AE上找一点R,使得平面BDR平面DCB,并说明理由.类型五 空间角1.异面直线所成的角步骤:1、平移,转化为相交直线所成角;2、找锐角(或直角)作为夹角;3、求解注意:取值范围:(0。,90。.2.线面角:斜线与它在平面上的射影成的角,取值范围:0。,90。.如图:PA是平面的一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面上射影,为线面角。3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角:若有()Ol;()OA,OB;()OAl,OBl,则二面角l的平面角是AOB.范围:0°AOB180°.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC与MN所成角的大小为_2.在矩形ABCD中,AB1,BC,PA平面ABCD,PA1,则PC与平面ABCD所成的角的大小为_3.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的大小为_4.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,DABABC90°,且ABBC2AD2,侧面PAB底面ABCD,PAB是等边三角形.(1)求证:BDPC;(2)求二面角BPCD的大小.课后作业1.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则( )Aml Bmn Cnl Dmn2.如图RtOAB是一平面图形的直观图,斜边OB2,则这个平面图形的面积是( )A B1 C D23.下列说法正确的是( )A多面体至少有3个面B有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形4.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是( )A圆柱的侧面积为2R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3125.平面与平面平行的条件可以是( )A内有无数条直线都与平行B直线a,a,且直线a不在内,也不在内C内的任何直线都与平行D直线a在内,直线b在内,且a,b6.(多选)若a,b为不重合的直线,为平面,则下列结论正确的是( )A若a,b,则abB若a,b,则abC若a,b,则abD若a,b,则ab7.(多选)如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,则下列结论中正确的是( )APC平面OMNB平面PCD平面OMNCOMPAD直线PD与直线MN所成角的大小为90°8.给出下列四种说法:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D39.已知A,B是球O的球面上的两点,AOB90°,点C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为,则球O的表面积为( )A16 B36 C64 D14410.如图所示,在四边形ABCD中,ABADCD1,BD,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是( )AACBDBBAC90°CCA与平面ABD所成的角为30°D四面体A-BCD的体积为11. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,则此球的半径为_厘米12.如图,矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD,且EDAD,AB2,BC,ED.则点B到平面AED的距离与EF到平面ABCD的距离的和为_13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PBPD.(1)求证:BDPC;(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BCl. 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PAD为正三角形,ABCD,AB2CD,BAD90°,PACD,E,F分别为棱PB,PA的中点(1)求证:平面PAB平面EFDC;(2)若AD2,直线PC与平面PAD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积15.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是,那么这个三棱柱的侧面积为_,体积是_16.试在PCBD,PCAB,PAPC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处,使得PO平面ABCD成立,请说明理由,并在此条件下进一步解答该题:如图,在四棱锥P-ABCD中,ACBDO,底面ABCD为菱形,若_,且ABC60°,异面直线PB与CD所成的角为60°,求二面角A-PB-C的余弦值答案类型一1.C2.A3.C由已知得该棱台的高为157.5-148.59(m),所以该棱台的体积V×9×(140180)×10660×(163)×10660×(163×2.65)×1061.437×1091.4×109(m3).类型二1.A 2.B 3.类型三1.ABD 2.B3.【证明】 (1)因为BGGCDHHC,所以GHBD,又因为E、F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,所以EFGH,所以E、F、G、H四点共面.(2)因为G、H不是BC、CD的中点,所以EFGH.又EFGH,所以EG与FH不平行,则必相交,设交点为M,M平面ABC且M平面ACDM在平面ABC与平面ACD的交线上MAC.所以GE与HF的交点在直线AC上. 类型四1.A 2.ABD3.证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点因为E,F分别是PC,DC的中点,所以EFPD.又EF平面PAD,PD平面PAD,所以EF平面PAD.同理可得,FO平面PAD.又EFFOF,EF,FO平面EFO,所以平面EFO平面PAD.(2)因为平面PAD平面ABCD,PDAD,且平面PAD平面ABCDAD,PD平面PAD,所以PD平面ABCD.4.(1)证明:由已知得DEAE,AEEC.因为DEECE,DE,EC平面DCE,所以AE平面CDE.(2)证明:取AB的中点H,连接GH,FH,所以GHBD,FHBC,因为GH平面BCD,BD平面BCD,所以GH平面BCD.同理FH平面BCD,又GHFHH,所以平面FHG平面BCD,因为GF平面FHG,所以GF平面BCD.(3)取线段AE的中点R,则平面BDR平面DCB.证明如下:取线段DC的中点M,取线段DB的中点S,连接MS,RS,BR,DR,EM.则MSBC,又REBC,所以MSRE,所以四边形MERS是平行四边形,所以RSME.在DEC中,EDEC,M是CD的中点,所以EMDC.由(1)知AE平面CDE,AEBC,所以BC平面CDE.因为EM平面CDE,所以EMBC.因为BCCDC,所以EM平面BCD,因为EMRS,所以RS平面BCD.因为RS平面BDR,所以平面BDR平面DCB. 类型五1.60° 2.30° 3. 4.(1)证明:如图,取AB的中点O,连接PO,CO.因为PAB是等边三角形,所以POAB.又侧面PAB底面ABCD,所以PO底面ABCD,又BD平面ABCD,所以POBD.又ABBC2AD2,ABCDAB90°,所以DABOBC,所以BCOABD,所以BDOC,又OC,PO平面POC,OCPOO,所以BD平面POC,又PC平面POC,所以BDPC.(2)如图,取PC的中点E,连接BE,DE,因为PBBC,所以BEPC.又BDPC,BEBDB,所以PC平面BDE,所以PCDE,所以BED是二面角BPCD的平面角.因为BCAB,平面PAB平面ABCDAB,平面PAB平面ABCD,ADAB,所以AD平面PAB,BC平面PAB.所以BCPB,ADPA,由平面几何知识,可求得BEPC,PDBD,所以DE,所以BE2DE2BD2,所以BED90°,即二面角BPCD的大小为90°.课后作业1.C 2.D 3.D 4.CD 5.C 6.AC 7.ABC 8.B 9.A 10.B11.12 12. 213.(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.因为四边形ABCD为菱形,所以BDAC.又因为PBPD,O为BD的中点,所以BDPO.因为POACO,PO,AC平面PAC,所以BD平面PAC.因为PC平面PAC,所以BDPC.(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BCAD.因为BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BCl.14.(1)证明:因为PAD为正三角形,F为棱PA的中点,所以PADF.又PACD,CDDFD,CD,DF平面EFDC,所以PA平面EFDC,又PA平面PAB,所以平面PAB平面EFDC.(2)因为ABCD,PACD,所以PAAB.又ABAD,PAADA,所以AB平面PAD,所以CD平面PAD,所以CPD为直线PC与平面PAD所成的角,即CPD45°,所以CDPDAD2.又AB2CD,所以AB4,所以S直角梯形ABCD×AD×(CDAB)×2×(24)6.又AB平面PAD,AB平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.过P作POAD,垂足为O(图略),则PO平面ABCD.因为PAD为正三角形,所以POAD×2,所以V四棱锥P-ABCD×PO×S直角梯形ABCD××62.15.设球的半径为r,则r3,得r2,柱体的高为2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等,所以底面正三角形的边长为4,所以正三棱柱的侧面积S侧3×4×448,体积V×(4)2×448.答案:48 4816.若选:由PO平面ABCD知POAB,又PCAB,POPCP,所以AB平面PAC,因为AC平面PAC,所以ABAC,所以BAC90°,BC>BA,这与底面ABCD为菱形矛盾,所以必不选,故选.下面证明PO平面ABCD.因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为PCBD,PCACC,所以BD平面APC.又因为PO平面APC,所以BDPO.因为PAPC,O为AC的中点,所以POAC.又ACBDO,所以PO平面ABCD.设菱形ABCD的边长为2,POa.因为ABC60°,所以AO1,BO.所以PA ,PB .因为ABCD,所以PBA为异面直线PB与CD所成的角,所以PBA60°.在PBA中,由余弦定理得a214a23-2×2×,解得a或a-(舍去).又CBAB,CPAP,PBPB,所以CPBAPB.过点C作CEPB,垂足为E,连接AE(图略),则AEPB,所以CEA为二面角A-PB-C的平面角由等面积法易得CEAE,在AEC中,cos CEA,故二面角A-PB-C的余弦值为.8学科网(北京)股份有限公司