安徽省六安第一中学2024届高三下学期质量检测（三 ）数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司六安一中六安一中 2024 届高三年级质量检测卷届高三年级质量检测卷数学试卷（三）数学试卷（三）时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1,2Aa a=-+，22,By yxx xA=-，若ABA=U，则a=（）A3B2C1D1 或 32复数z满足i1z=（i为虚数单位），则43iz-+的最小值是（）A3B4C5D632cos65 cos15tan15 cos10sin10+的值为（）A232+B12C232-D324300 的不同正因数的个数为（）A16B20C18D245若函数 234lnf xxxx=+-，点P是曲线 yf x=上任意一点，则点P到直线:30l xy-=的距离的最小值为（）A4 2B3 22C62D3 26已知一个高为 6 的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为 3 的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，球O的体积为20 53，且球心O在该圆台内，则该圆台的表面积为（）A2 105+B3 105+C2 104+D3 104+7已知平面向量ar，br，cr满足1a=r，3b=r，32a b=-rr，,30ac bc-=rrrr，则cr的最大值等于（）A2 7B7C2 3D3 38“肝胆两相照，然诺安能忘”（承左虞燕京惠诗却寄却寄，明朱察卿）若A，B两点关于点1,1P成中心对称，则称,A B为一对“然诺点”，同时把,A B和,B A视为同一对“然诺点”已知aZ，函数 2 e,12,1xxxf xaxx-的图象上有两对“然诺点”，则a等于（）学科网（北京）股份有限公司A4B3C5D2二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9已知圆22:450C xyx+-=，点,P a b是圆C上的一点，则下列说法正确的是（）A圆C关于直线320 xy-=对称B已知1,2A-，5,0B，则22PAPB+的最小值为32 12 2-C2ab+的最小值为23 5-D293aba+的最大值为19410记函数 nfx的导函数为 1nfx+，已知 21exfxx=，若数列 na，nb满足 2exnnnfxxa xb=+，则（）A na为等差数列B nb为等比数列C50314849nnb=D82nanb 11如图 1，在等腰梯形ABCD中，ABDC，且224DCABAD=，O为BD的中点，沿BD将ABD翻折，使得点A到达A的位置，构成三棱锥ABCD-（如图 2），则（）A在翻折过程中，A D与BC可能垂直B在翻折过程中，二面角ABCD-无最大值C当三棱锥ABCD-体积最大时，A D与CO所成角小于3D点P在平面A BD内，且直线PC与直线BC所成角为6，若点P的轨迹是椭圆，则三棱锥ABCD-的体积的取值范围是3 2 3,33三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12若偶函数 f x对任意xR都有21f xfx+=-，且当0,1x时，4f xx=，则2024f=_学科网（北京）股份有限公司13一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动 6 次后质子回到原点处的概率是_14设1F，2F是双曲线2222:10,0 xyCabab-=的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若12AFF的内切圆M的半径为a（M为圆心），且l$R，使得123AMOMFFl+=uuuu ruuuu ruuuu r，则双曲线C的离心率为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 2 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）为迎接 2024 新春佳节，某地 4S 店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取 50 个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的 50 个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155（1）从这 50 个模型中随机取 1 个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求 P B和|P B A，并判断事件A与B是否相互独立；（2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿 2 个盲盒对其中的模型给出以下假设：假设 1：拿到的 2 个模型会出现 3 种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高假设 3：该抽奖活动的奖金额为一等奖 3000 元、二等奖 2000元、三等奖 1000 元请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望（精确到元）16（本小题满分 15 分）在sinsinsinsinbABcaCA+=+-，3tantancosaBCcB+=-，3 sinsin2ABbcB+=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_（1）求角C的大小；（2）已知7C=，D是边AB的中点，且CDCB，求CD的长注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分17（本小题满分 15 分）如图所示，在三棱锥ABCD-中，ABD是边长为2的等边三角形，BCAB，CDAD，E，F分别为BD，AC的中点学科网（北京）股份有限公司（1）求证：ACBD；（2）若二面角ABDC-的余弦值为33-，求：EF的长；直线AB与平面BDF所成角的正弦值18（本小题满分 17 分）平面直角坐标系xOy中，动点P在圆224xy+=上，动点Q（异于原点）在x轴上，且2PQ=，记PQ的中点M的轨迹为（1）求的方程；（2）过点3,1的动直线l与交于A，B两点问：是否存在定点N，使得12k k为定值，其中1k，2k分别为直线NA，NB的斜率若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由19（本小题满分 17 分）已知函数 2ln2f xxxaxx=-（1）若过点1,0可作曲线 yf x=两条切线，求a的取值范围；（2）若 f x有两个不同极值点1x，2x求a的取值范围；当124xx时，证明：231216ex x 学科网（北京）股份有限公司六安一中六安一中 2024 届高三年级质量检测卷届高三年级质量检测卷数学试卷（三）参考答案数学试卷（三）参考答案1234567891011CBACDBAAABDACDAC124-1325256 14315（1）模型内饰为米色的共有 20 个，所以 120150C2C5P B=，红色外观的模型有 35 个，其中内饰为米色的共有 15 个，所以115135C3|C7P B A=，红色外观模型且内饰为米色的共有 15 个，所以115150C3C10P AB=，135150C7C10P A=，因为 P ABP A P B，所以A，B不独立（2）设事件C=“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件D=“取出的模型外观和内饰都异色”，事件E=“仅外观或仅内饰同色”，22222010155250CCCC2C7P C+=，11112051015250C CC C10C49P D+=，1111111120151052010155250C CC CC CC C25C49P E+=，因为 P EP CP D，所以获得一等奖的概率为1049，二等奖的概率为27，三等奖的概率为2549其分布列为X300020001000p1049272549期望为10225300020001000169449749E X=+16（1）方案一：选条件由sinsinsinsinbABcaCA+=+-及正弦定理，得b abcaca+=+-，即222abcab+-=-，由余弦定理，得2221cos222abcabCabab+-=-=-又0,C，所以23C=学科网（北京）股份有限公司方案二：选条件由3tantancosaBCcB+=-及正弦定理，得sinsin3sincoscossincosBCABCCB+=-，所以sinsincoscossinsin3sincoscoscoscoscoscossincosBCBCBCAABCBCBCCB+=-，因为0A，所以sin0A，又cos0B，所以tan3C=-，又0C，所以23C=方案三：选条件由3 sinsin2ABbcB+=及正弦定理，得3sinsinsinsin2ABBCB+=，因为0B，所以sin0B，所以3sinsin2ABC+=在ABC中，ABC+=，可得sincos22ABC+=，故3cos2sincos222CCC=，因为0C，11,A x y，22,B xy，00,N xy，联立方程223119yk xxy=-+=，消去y得2221 9181 381540kxkk xkk+-+-=，则122181 31 9kkxxk-+=-+，212281541 9kkx xk-=+，直线l方程化为13yxk-=+学科网（北京）股份有限公司联立方程221319yxkxy-=+=消去x得221 962610kykyk+-+=，则122621 9kyyk-+=-+，1221 61 9ky yk-=+，可得200220102122201020022621 61 91 9181 381541 91 9kkyyyy yykkk kkkxx xxkkxxkk-+-+=-+2222200000222222000001 9621 696111 9181 3815493183kykyky kykykxkk xkkxkxkx+-+-+-+-=+-+-+-+，依题意直线NA，NB与坐标轴不平行，且12k k为定值，可得220002200011333yyyxxx-=-，由2002001333yyxx-=-，整理得2000331yxy=-，由2002001133yyxx-=-，整理得2000331xxy=-，解得003xy=或003xy=-，代入2000331xxy=-，解得003212xy=或003 2222xy=-或003 2222xy=-=，所以3 1,2 2N或3 22,22N-或3 22,22N-满足题意19（1）依题意，ln21fxxax-=-，设过点1,0的直线与曲线 yf x=相切时的切点为00,xy，斜率00ln21kxax=-，切线方程为20000000ln2ln21yxxaxxxaxxx-=-，而点1,0在切线上，则20000000ln2ln21 1xxaxxxaxx-+=-，即有200002ln10axaxxx-+-=，由过点1,0可作曲线 yf x=两条切线，得方程200002ln10axaxxx-+-=有两个不相等的实数根，学科网（北京）股份有限公司令 22ln1g xaxaxxx=-+-，则函数 g x有 2 个零点，求导得 222112111221axaxaxxgxaxaxxx-+-=-+=，若12a，由 0gx，得102xa，由 0gx，得112xa，即函数 g x在10,2a，1,+上单调递增，在1,12a上单调递减，则当12xa=时，g x取得极大值；当1x=时，g x取得极小值，又21111112ln1ln220222224gaaaaaaaaa=-+-=-，当1x 时，0g x 恒成立，因此函数 g x最多 1 个零点，不合题意；若12a=，0gx恒成立，函数 g x在0,+上单调递增，因此函数 g x最多 1 个零点，不合题意；若102a，得01x，由 0gx，得112xa，即函数 g x在0,1，1,2a+上单调递增，在11,2a上单调递减，则当1x=时，g x取得极大值；当12xa=时，g x取得极小值，又 120ga=-，显然当12xa时，0g x 恒成立，因此函数 g x最多 1 个零点，不合题意；若0a，显然210ax-，当01x，当1x 时，0gx，得2a -，当01x时，211ln1lng xa xxaxax=-+时，令lnyxx=-，求导得110yx-=，函数lnyxx=-在1,+上单调递减，则ln1xx-，2211ln12g xa xaxxa xa=-+-，而函数212ya xa=-在1,+上单调递减，值域为,2a-，学科网（北京）股份有限公司因此函数 g x在1,+上的值域为,2a-，于是当2a -时，函数 g x有两个零点，所以过点1,0可作曲线 yf x=两条切线时，a的取值范围是,2-（2）由（1）知，ln21fxxax-=-，由函数 f x有两个极值点1x，2x，得 0fx=，即ln12xax-=有两个实数根1x，2x，令 ln1xu xx-=，求导得 22ln xuxx-=，当20ex，当2ex 时，0ux时，函数 0u x 恒成立，因此当2102ea，只需证明12ln2ln4ln23xx+，而1121212121211222lnlnlnln2ln22323231xxxxxxxa xxxxxxxxx-+=+=+=+-，令11224xtxxx=，则4t，欲证明12ln2ln4ln23xx+，即证明ln24ln241tttt+-，只需证明1ln4ln2042tttt-+即可，令 1ln4ln242th tttt-=-+，求导得 22224412ln21344 12ln24ln2222ttttth tttt tt+-+-=-=+，则 4412ln2tttj=+-在4t 时单调递增，故 49 12ln20tjj=-，则 0h t，令 h t在4t 时单调递增，则 14ln44ln202h th=-=，因此ln24ln241tttt+-，即12ln2ln4ln23xx+，学科网（北京）股份有限公司所以231216ex x