精品解析：四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三下学期“三诊”数学（理）试题（解析版）.docx

四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三下学期“三诊”数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，又由，解得，即，所以.故选：C2. 某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和母线长，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，可得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B3. 若角的终边位于第二象限，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件利用诱导公式确定，再根据角所属象限确定，即可求解.详解】由诱导公式有：，因为角的终边位于第二象限，则，所以.故选：D.4. 若复数满足，则的最小值为（ ）A. 0B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先确定在复平面上对应的点的轨迹为圆，根据圆的性质可得答案.【详解】设（为虚数单位），有，即，在复平面上对应的点在圆上，所以是该圆上的点到原点距离的最小值，的最小值为.故选：.5. 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后的含量满足关系式（其中动植物体内初始的含量为）现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（ ）A. 2750年B. 2865年C. 3050年D. 3125年【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，代入关系式，运用对数的运算性质计算即得.【详解】依题意，经过n年后含量为，所以有，代入关系式得，所以.故选:B6. 在中，“”是“是钝角”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量减法以及模的运算公式平方可得，结合数量积的几何意义即可得解.【详解】“”等价于“”， 所以从而，显然A，B，C不共线，原条件等价于是钝角.故选：C7. 2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由扩散无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（ ）A. 6种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据已知条件先分组再分配.【详解】首先根据题意将志愿者分成三组有种分法，安排到三个主题空间有种，根据分步乘法计数原理，不同的安排方式有种.故选：D.8. 已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为（ ）A. 1，3B. 11，13C. 2，2D. 12，12【答案】C【解析】【分析】由题意结合中位数可得，再求出平均数，再根据方差公式即可得解.【详解】因为x，y均小于4，由茎叶图可知，中位数为，所以，样本的平均值为，要使样本的方差最小，即使最小，又，当且仅当“”时，等号成立，所以x，y均为2.故选：C9. 记为等比数列的前n项和，若，则（ ）A. 120B. 85C. D. 【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，由可得，解得：，所以故选：C方法二：设等比数列的公比为，因为，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，解得：或，当时，即为，易知，即；当时，与矛盾，舍去故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算10. 已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据面积关系可得，即可由双曲线定义得，进而可求解.【详解】解：设内切圆的半径为r，则有，所以，由双曲线的定义可知，继而，E的渐近线为，化简为，故选：A11. 已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则当三棱锥的体积最大时，（ ）A. 4B. C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当且仅当、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得.【详解】在中，根据正弦定理，可得，所以如图，设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，当，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，三棱锥的体积最大此时故选：D12. 已知a，b，且，其中e是自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题设，构造且研究单调性，判断的范围，作差法比较大小，即可得答案.【详解】由题设，令且，则，即在上递增，又，即，由，令且，则，又，令且，则，即递减，所以，所以，即在上递增，故，即在上恒成立，故，综上，结合单调性知：.故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数且研究单调性，再通过作差、构造函数判断大小，进而判断大小.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若抛物线过点，则该抛物线的焦点为_【答案】【解析】【分析】根据题意，代入求得，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将代入抛物线方程，可得，即，所以抛物线的焦点为故答案为：.14. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程【详解】由，则由题意，则所以曲线在点处的切线的斜率为所以所求切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是属于基础题.15. 在中，则BC边上的高为_【答案】#【解析】【分析】首先求出，再利用正弦定理和余弦定理即可求出答案.【详解】因为，所以，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得（负值舍）设BC边上的高为h，则故答案为：.16. 如图，在平行四边形中，且交于点，现沿折痕将折起，直至满足条件，此时_. 【答案】#-0.5【解析】【分析】根据条件可得平面平面，求得相关线段长度后利用余弦定理求解即可.【详解】由题意可知，所以，折起后如图所示，因为，又，则,所以,又,平面，则平面，又平面,则平面平面，分别过点作垂线，垂足分别为点，又平面平面，即有，同时易证得，,所以，所以由余弦定理可知:.故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B的大小；（2）的面积条件：；条件：【答案】选择见解析；（1）；（2）【解析】【分析】选择条件时：（1）利用余弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算的面积选择条件时：（1）由正弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出，计算的面积【详解】选择条件：，（1）由，得，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面积为选择条件：（1）由正弦定理得，所以；又，所以，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面积为【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制18. 灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.【答案】（1）分布列见解析； （2）13； （3）更优【解析】【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；(2)根据分布列结合条件求n的最小值；(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.【小问1详解】设表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则0.2，X的取值范围是，X的分布列为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04【小问2详解】由（1）可知，故.【小问3详解】由（2）可知.在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优19. 如图，在三棱台中，在边上，平面平面，（1）证明：；（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，再根据线面平行的性质定理证明即可（2）根据三棱台的上下底面棱长比和底面面积间关系，求出线段AC的长度，通过建立空间直角坐标系，利用向量法求出CF与平面ABD所成角的正弦值.【小问1详解】在中，由余弦定理得，解得，又，即，得，又因为平面平面，平面平面 ，平面ACFD，所以平面ABC，而平面ABC，则，又，平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，而平面，则，因为，所以；【小问2详解】在中，所以，所以，又，所以，则，由（1）知，平面ABC，所以可以H为原点，为y轴，为z轴，建系如图所示，设平面ABD法向量为，则，即，取，则，得平面的一个法向量为，设CF与平面ABD所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角20. 已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意可得解方程组可求出，从而可求出椭圆方程，（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，将直线方程代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，然后由列方程可求出，则直线的方程为，从而可得其过定点，当直线的斜率不存在时，设，则，由可求出两点的坐标，从而可求出直线过的定点，进而可求出直线方程【小问1详解】由题意，知解得，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】当直线的斜率存在时，设其方程为，联立得由韦达定理，得所以因为，所以，即，所以直线的方程为，即，由，得故直线恒过点当直线的斜率不存在时，设，则，所以，解得，所以此时直线也过点因为点在椭圆的内部， 所以当直线垂直于时，坐标原点到直线的距离最大，此时直线的方程为21. 已知函数，其中实数（1）求证：函数在处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若函数有两个零点，且，求a的取值范围【答案】（1）证明见解析，定点 （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程，即可求出切线过定点坐标；（2）首先求出函数的导函数，再分和两种情况，当时，依题意，即可求出的大致范围，再根据零点存在性定理得到零点所在区间，依题意可得，即可得到，则，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；【小问1详解】解：因为，所以，所以，又，所以切线方程为，即，则当时，所以切线恒过定点；【小问2详解】解：因为定义域为，所以，当时恒成立，所以在上单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使有两个零点，则，解得，又，所以当时，在和上各有一个零点，且，由单调性知，当时，当时，因为，所以，即，所以，而，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以；【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22. 多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧和两条线段四部分组成，在极坐标系中，AOB三点共线.，点C在半径为1的圆上.（1）分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；（2）若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.注：，【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标系中极径和极角的定义即可求解；（2）求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，则矩形长，矩形宽.【小问1详解】解：由题意，以O为原点，垂直平分线为极轴建立极坐标系，线段，线段，弧，弧；【小问2详解】解：求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，设矩形长为l，则（包括弧长半径圆半径两边距距离），矩形宽为d，则，所以.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数，（1）当时，求不等式的解；（2）对任意关于x的不等式总有解，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知，结合与，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式即为，则或或解得或或，故不等式的解集为（2）对任意，关于x的不等式总有解而，当且仅当，即时取最小值，又（当且仅当时取等号）故只需，得，即实数a的取值范围为【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司