全称量词与存在量词导学案.docx
导学案【学习目标】1 .了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养(重点)2 .会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。(难点)【自主学习】一.全称量词与全称量词命题L全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“”表示.全称量词V2 .全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题.全称量词3 .全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对胡中任意一个x, p(x)成立可用符号简记为Vx £ M, p(x)思考1：如何判断全称量词命题的真假？若判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立；若判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合中的一个尸xo，使得P(x)不成立即可.L存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“”表示.存在量词32 .存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做.存在量词命题3 .存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在中的元素刈，使p(xo)成立: 可用符号简记为3xo eM, p(xo)思考2：如何判断存在量词命题的真假？要判断存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素小 使p(xo)成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.【当堂达标基础练】1 .判断下列全称量词命题的真假:(1)所有的素数都是奇数；(2)Vx 6 R,x+ 1 > 1：(3)对任意一个无理数X,也是无理数.解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题”所有的素数都是奇数”是假命题.(2)V% G R，总有|%|之0,因而田 + 1 > 1.所以，全称量词命题式x6+ 1六1”是真命题.是无理数，但(2万)2=2是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数, K2 也是无理数''是假命题.2 .判断下列全称量词命题的真假：(1)每个四边形的内角和都是360。；(2)任何实数都有算术平方根；3 3) VxG x I x是无理数, /是无理数(1)命题真(2)命题假(3)命题假3 .判断下列存在量词命题的真假：(1)有一个实数%,使工 + 2% + 3 = 0；(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；(3)有些平行四边形是菱形.解：由于A = 一4 X 3 = 8 < 0,因此一元二次方程/ + 2% + 3 = 0 无实根.所以，存在量词命题“有一个实数X, 使/ + 2% + 3 = 0”是假命题.由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条 直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.4 .判断下列存在量词命题的真假：(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；(2)至少有一个整数"，使得2 + 为奇数;（3） 孔£9是无理数, x2是无理数.（1）命题真（2）命题假（3）命题真【当堂达标提升练】1 .下列是全称量词命题且是真命题的为（）A. VxeT?, x2>0B.都有x+y£0C. 3x0eZ, -xJ+1>1D. Vx, yeR, |x| + |y| >0【答案】B【详解】A：当x = 0时，不等式、20不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意;B：因为Vx、歹£。，都有是真命题，且是全称命题，本选项符合题意；C：本命题是特称命题，不符合题意；D：因为当x = > = 0时，|乂 + 3>0不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意.2 .（多选）命题P：玉wR, X?+&v + L, 0是假命题，则实数力的值可能是（）【答案】BCD【详角窣】由 P：玉 eR, f+bx + LO,得p：VxeR, x2+/?x + 1>0.由于命题夕是假命题，所以T7是真命题，所以/+6工+ 10在x £ R时恒成立，则A = b2-4<0,解得 -2<b<2,3 .已知命题夕：Vxe-1,3,12一。一220,若p为真命题，则实数Q的取值范围为.【答案】（-8,-2【详解】命题夕：Vxe -1,3, x2_q_220,依题意p为真命题，则 < 一 一2在区间-1,3上恒成立，x2e099,x2-2e-297,所以。2.4 .若命题Fx £ R, / + 2qx+ 2 _。= 0是假命题”,则实数a的取值范围是.【答案】-2<<1【分析】等价于VxeT?,+2办+ 2-wO,解A=4/ -4(2-a)<0,即得解.【详解】解：因为命题“大£凡一+2娘+ 2一。= 0是假命题，,所以 Vx £ 尺 f + 2ax+ 2 - q w 0 ,所1 以 A=4q 4（2 q） 4q + 4q 8 < 0, qj + a 2 < 0,2 < q < 1.5 .若FxoR, 21nx12近1。-30”是假命题，则实数加的取值范围是【解答】解：命题TxoQR，2mx彳+24111乂0-30 '的否定是：2mx +2V2mx-309依题意，命题“Vx£R, 2mx2+2a/itix_3< 0”为真命题,当加=0时，- 3 Vo成立，则加=0成立,当#。时，不等式21nx2+2V5mx-3<0恒成立，则m< 09，解得-3<加（0, =8m2+24m<0综上得：-3<加00,所以实数加的取值范围是（-3, 0.故答案为：（-3, 0.6 .已知真分数? C满足篙哈窖碧露痣,.根据上述性质,写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）【答案】V/）>>0,m>/7>0, 竺竺竺2（答案不唯一） b + m b + n【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得.、*h八 吉八共 a z 7八、比门。+ 1 a a + 2 a + 1 a + 3 a + 2 【详解】.真分数7 （6>心0）满足丁一->-bb + 1 b b + 2 b + 1 b + 3 6 + 2.A A a + m a + n ./b>a>0,加 > n > 0 , >b + m b + n7 .若命题"Vx£1,2,一次函数> = x +加的图象在x轴上方”为真命题，求实数z的取值范围.【答案】加帆>一1【详解】解：当1VxV2时，1 +加«工+加<2 +加.因为一次函数歹=、+ 2的图象在不轴上方，所以 1 + 加0 , BP m >-1 ,8.（1） VxeR,，+qx+2q_3>0,求实数Q的取值范围;（2） 3xeR, /+办+24-3<0,求实数a的取值范围.【解答】解：（1）因为Vx£R, /+办+2。-3>0,所以A=q2-4（2。-3） <0,即。2-8。+12<0,解得2<q<6,即实数a的取值范围为q|2V<6；（2）因为mxWR,- 3<0,所以A=q2-4（2。-3） >0,即。2一8。+12>0,解得qV2或a>6,即实数a的取值范围为。|。<2或a>6.【当堂达标素养练】1 .若P：命题“玉o eN,x；>2%+1 ”的否定是“ X/x eN,x2< 2v+, ”, q：命题“若帅=0 ,则。=0或6 = 0”的否定是“若QbwO,则qwO或bwO”.则下列命题为真命题的是（）A.PB. pqC.（力）夕D. p 八D【答案】D【分析】依题意得尸为真命题，为假命题，结合复合命题的真假判断方法即可得结果.【详解】P：命题“办）£乂*>25”的否定是“女£乂22心，为真命题；因为“若仍=0,则"0或6 = 0”的否定是“若他。0,则qwO且6工0”，则9为假命题，为真命题 所以P （F）为真命题2 .已知命题?：3xeR, mx2+2<0;命题9：VxeR, x2-2mx +1 > O.1>夕都为假命题，则实数加的 取值范围是（）A. 1，+oo）B. （co, -1 C. （oo, -2 D. 1,1【答案】A【详解】p, q都是假命题.由p：3xeR, 7+2 go为假命题，得VxeR , mx2+ 2 > 0 , /. m>0 .由q：Vx e R , / _2mx +1 > 0 为假，得 mxeR, x2 -2mx + l <0/. A = （-2/72）2-4>0,得用一1 或加2/.；m> 1.故选A.3.已知集合/ = x|-"x<4 , B = xx<-2x>5, （1）求”,瓜4）cb；(2)若集合 C = x|2 加 <x<? + l , M3 xeC, xw/m 的取值范围.【答案】a3 = 止2 W, («/)c8 = (8,2)d(5,+8)(2) m4一2 或2 2 1= 1x -2 < x < 5| ,4力=x x < -1 或x4,(44)c8 = x x<-2或x>5；(2)V3xeC,4为假命题，/. Vx e C, xe4为真命题，即4cC = 0,乂 C = x 12加 < x < 优 +1 , A = x-<x<4 ,当 C = 0 时，2加 2 加 +1,即加 2 1, Ar)C = 0 ；当Cw0时，由NcC = 0可得，(2m <m + l、J2m < m + 1+艾 2m > 4 '解得m<2 9综上，加的取值范围为加V-2或加21.4 已知 P：玉 eR, x24-6zx + 2 = O.：Vxg(O,1), x2-a<0.(1)若"为真命题，求。的取值范围；(2)若夕，一个是真命题，一个是假命题，求。的取值范围.【答案】(1)2"+可”-叫-2闵(2)卜8,-2后卜1,20)(1)解：由 P：玉 wR, x2+ax + 2 = 09若为真命题，则A = q28N0，解得4 22五或a «2五，所以Q的取值范围为2后,+/)”-吟-2闵；(2)解：若9为真命题时，则对Vx£(o/)恒成立，若夕，9一个是真命题，一个是假命题, 当，是真命题，9是假命题时，.a>2/2 a< -2>/2 , 7f z, tr-则，或 i ,解得q < 1 a < 1当夕是假命题，,是真命题时，则卜2收<a<2四解得<2g，a>l综上所述 Q £ (8, 2行d1,2V2).5 .设全集0 =丸 集合4 = x|lx<5,非空集合5 = x|2 W + 2。,其中qeR.若“x e A”是“x £ 8”的必要条件,求a的取值范围；若命题“玉£人xar"是真命题，求Q的取值范围.【答案】；,2)；(2)2,+oo)解：若"x"”是的必要条件，则又集合8为非空集合，1 + 2.21故有1 Q <，解得；,，a <2 , 1 + 2” 52所以a的取值范围g,2),(2)解：因为力= xl<x<5,所以6r4 = x|x<1或x.5,因为命题FxeB,是真命题,所以8口3/。0,即1 + 20.5,解得a.2.所以。的取值范围2,+s).
