微分中值定理及其应用_范平平.docx

微分中值定理及其应用内容摘要微分中值定理在数学分析中占有重要地位,为我们研究函数提供了有力工具.本文首先介绍了微分中值定理的历史发展和应用前景,其次详细阐述了微分中值定理的具体内容并给出了各定理的证明方法,然后总结归纳了中值定理之间的联系,最后通过分类举例来体现微分中值定理在解决不同函数问题时的应用,进一步加深了对微分中值定理的认识和学习.【关键词】微分中值定理 中值问题 联系 单调性 不等式Differential mean value theorem and its applicationAbstractDifferential mean value theorem plays an important role in mathematical analysis and provides a powerful tool for us to study functions.This paper first introduces the historical development and application prospect of the differential mean value theorem.Secondly, it elaborates the specific contents of the differential mean value theorem and gives the proving methods of each theorem.And then it summarizes the connection between the mean value theorem.Finally, the application of differential mean value theorem in solving different function problems is illustrated by classification examples, which further deepens the understanding and learning of differential mean value theorem. 【Key Words】Differential mean value theorem The median problem Relation Monotonicity Inequation目录一、引 言5二、微分中值定理及其证明6(一)费马定理6(二)罗尔(Rolle)中值定理6(三)拉格朗日（Lagrange）中值定理7(四)柯西(Cauchy)中值定理7三、微分中值定理之间的联系8四、微分中值定理的应用10(一)利用微分中值定理来解决方程根是否存在的问题10(二)通过运用微分中值定理来计算复杂极限11(三)通过函数的导数及其单调性来解决不等式问题12(四)通过灵活应用微分中值定理讨论级数的收敛或发散12(五)巧妙应用微分中值定理完成等式的证明14五、结 语15参考文献16致谢17一、引 言通过对数学分析的深入学习知道, 微分学中值定理是组成数学分析的一个不可缺失的部分.对于一个整块的微分函数学的研究和学习,为我们学习其他中值定理的方法提供了实践和理论上的基础知识.通过对于微分学三个中值定理的深入研究,能够得到它揭示了函数整体与其局部二者之间的关联.它实际上包含了三个我们常运用的定理,本文主要以中值定理的历史发展、证明、三个中值定理之间的相互关系以及他们的实际应用为主要研究的对象.古希腊时期,数学家在研究空间结构及性质这一过程中,得到了拉格朗日定理:“过抛物线最高点的切线必与该形状曲线的底端呈现为平行的状态”.之后的数学家们也灵活地利用这一结论不断有了新的成就.希腊著名数学家阿基米德借助这一结论,顺利解决了如何求解该曲线围成的二维封闭区域的大小问题.一位名叫卡瓦列里的数学家,某一次解决二维图形和立体几何的切线的引理3时,随之推出了形式更为形象的微分中值定理,也就是卡瓦列里定理,它阐述了:曲线上必有某点相切的线与该切线的弦呈现平行状态.一位名叫费马(Fermat,16011665)的科学家在研究如何解决极大值极小值问题时总结并给出了一条在数学史上有一定意义的费马定理.学习数学分析时,人们通常将费马定理作为微分中值定理的引理.费马在微分学和积分学的研究中做出过重要贡献.他在研究极值和切线问题时,得出了一个统一的方法,这个方法现在被称为“虚拟等式法”.用数学语言来说就是对于函数fx,令 x x+e,当fx取极值时,fx-fx+e0,则 fx+-fx0,然后再让e0,就得到fx处于该点时微商值为0,这就是费马定理:函数fx在x=x0处取极值,并且可导,则f'x0=0一位名叫罗尔(Rolle,16521719)的科学家于1691年用纯代数方法证明了“代数式a0xn+a1xn-1+an-1x+an=0的相邻根中,na0xn-1+n-1a1xn-2+an-1=0中实根的个数大于等于1”,它与现代的于内容、阐述方法上都有诸多不同今天看到的该定理,是在现代的学术加以阐明并推广而来 ,而最初的该定理的形式被看作自身的特例拉格朗日定理最早出现在一位名叫拉格朗日(Largrange,1736 1813)的科学家于1797年撰写相关书籍时,它一开始表示为:“若A为f'x的一个最大值, B为它的一个最小值且函数fx在x0,x连续,则必有fx-fx0x-x0与A和 B之间一个值相等”.现在我们所熟悉且常运用的这一定理是经过完备后的,它的具体内容已经变为:“fx在a,b上连续,在a,b上可导,则存在一点a,b,使fb-fab-a=f'.”.微积分建立的早期,数学家们对于其中的定义都非常严格,以一位名叫柯西(Cauchy,17891857)的科学家为代表的人们给出了拉格朗日中值定理新的更周全的解释.除此之外,柯西还对广义微积分理论的结构进行了系统的重构.柯西定理正是由柯西一步一步细思缜密地推理出来的,也是最后一个中值定理.从柯西起,经过一代一代人的努力,它不断慢慢发展,形成了一个被广泛应用且有意义的解决问题的手段.微分中值定理是我国现代数学中一个比较重要的微分函数理论,是整个我国现代微分函数学的一个重要理论和基础,它根本地建立了微分函数的极值与导数值之间的非线性联系,中值导数定理的主要意义和作用就是在于对理论的分析和实验证明:包括应用导数定理来分析微分函数的一些性质.微分中值定理从建立之初到现在的近几百年来,科学家们对它的认识和研究并未停止.在最近的探索中,我国对于微分函数中值的定理又一次有了许多新的认识和研究.如2004年李君士给出了多种形式的辅助函数,并得出了一般形式2.2005年,丁殿坤,邹玉梅通过分析证明了微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式可互相推理3.2008年,卢玉峰归纳整理了微分中值定理在不同条件下的应用4.2009年,张晓华在“中值点”存在的基础上,对其他定理的 “中值点”有几个的问题进行了更深入的探索并得出了结论 5.2012年,伍建华,孙霞林,熊德之在一定前提下,将微分学的理论系统起来,得到了新的结论6.二、微分中值定理及其证明(一)费马引理费马引理1若x0是fx的极值点,且导数f'x0存在,则有f'x0=0.证明:不妨设x0是fx的极小值点,则存在>0,使得x-x0<时,有fxfx0.由f'x0存在可知两个单侧导数存在且相等,即f'x0=f+'x0=f-'x0而当xx0,x0+时,根据fxfx0有fx-fx0x-x00,取极限xx0+可得f+'x00,同理可得f-'x00,进而f'x0=f+'x0=f-'x0=0.我们称满足方程f'x=0的点为稳定点.可导的极值点是稳定点,反之不成立.例如对于函数fx=x3,点x=0是稳定点,但却不是极值点.(二)罗尔(Rolle)中值定理 罗尔(Rolle)中值定理1若函数f满足如下条件： 1)f在闭区间a,b上连续； 2)f在开区间(a,b)内可导； 3)f(a)= f(b),则在(a,b)上至少存在一点,使得f'=0.注：1)罗尔定理的前提是结论成立的充分不必要条件,即不满足以上三个条件时,也可能得到定理的结论;2)最值点未必是极值点,内部的最值点才一定是极值点.(三)拉格朗日（Lagrange）中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理1若函数f满足如下条件： 1)f在闭区间a,b上连续； 2)f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)上至少存在一点,使得f'=fb-fab-a.分析:积分法思想：想要证明存在一点满足f=0,我们可以通过积分构造辅助函数Fx,即满足F'x=fx,此时去检验是否有Fa=Fb,若有,则由罗尔中值定理可得到结论.对于本定理,因为需要证明f'-fb-fab-a=0,通过积分可以找到Fx=fx-fb-fab-ax,这就是我们想要的最简单的一个辅助函数.证明:构造辅助函数Fx=fx-fb-fab-ax,则Fa= fa-fb-fab-aa,Fb= fb-fb-fab-ab,所以Fb-Fa=fb-fa-fb-fab-ab-a=0,即Fa=Fb,由罗尔中值定理可知存在(a,b),使得F'=0,即f'=fb-fab-a.(四)柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理1设函数f和g满足1)在a,b上都连续；2)在(a,b)上都可导；3)f'x和g'x不同时为零；4)gagb,则存在(a,b),使得f'g'=fb-fagb-ga.分析:积分法.想要证明fb-fagb-ga=f'g',等价于证明f'g'-fb-fagb-ga=0,而此时通过积分法难以找出来原函数,其原因是f'xg'x不好积分,所以需要对要证明的等式进行变形,化为非分式的情况,这就是f'gb- ga=g'fb-fa,即等价于f'gb- ga-g'fb-fa=0,此时通过积分,可得到原函数Fx=fxgb- ga-gxfb-fa,这就是辅助函数.证明:构造辅助函数Fx=fx-fb-fagb-gagx,而Fa=fa-fb-fagb-gaga,Fb=fb-fb-fagb-gagb,Fb-Fa=fb-fa-fb-fagb-gagb- ga=0,故Fb=Fa且Fx符合定理中的其他前提,根据罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点(a,b)使得F'=0,即f'=fb-fagb-gag',从而f'g'=fb-fagb-ga.条件3)也可改为g'x0；条件4)若ga=gb,由罗尔定理,存在一点x0(a,b)使得g'x0=0,与条件3)矛盾,所以gagb.注：有的时候积分法是远远不够的,有的题目就不可能通过简单的积分法得到辅助函数,下面对构造辅助函数的方法进行了汇总：看到f'+fg,应该想到fxgxx,因为fxgxx'=f'x+fx gxgxx具体地,有如下常见的方法：1.看到mf+nf',应想到fxmnx,因为 fxmnx'=f'x+mnfxmnx=1nmfx+nf'xmnx 2.看到mf+nf',应想到xmfnx,因为xmfnx'=mfx+nxf'xxm-1fn-1x3.看到nf' f1-m ff'1-,应想到fnxfm1-x,因为fnxfm1-x'=nf'xf1-x-mfxf'1-x fn-1xfm-11-x4.看到mf'xgx+nfxg'x,应想到fmxgnx,因为fmxgnx'=mf'xgx+nfxg'x fm-1xgn-1x5.看到fg''-gf'',应想到f'xgx-fxg'x,因为f'xgx-fxg'x'=f''xgx-fxg''x三、微分中值定理之间的联系三个微分中值定理可以看作是从普通到具体,再从具体到普通的转换,即在满足柯西中值定理的条件下若令Fx=x,则它就因此转换为Lagrange中值定理；再令fa=fb,就成为罗尔中值定理.反过来说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的具体体现.关系如图表示：柯西中值定理f'g'=fb-fagb-ga拉格朗日定理f'=fb-fab-a推广推广罗尔定理 f'=0特例Fx=x特例fa=fb特例n=0推广泰勒定理fx=fx0+f'x0x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+fn+1n+1!x-x0n+11.从理论上来看,在一定前提下,在某一区间上总是存在着一点,它的存在能够使得该函数在此区间上的值与它的求导所得的值存在某种特别的对等关系.中值定理的应用体现在导数解决函数问题的很多方面,比如说研究函数的根是否存在时,分析函数的单调性这一性质时,因此导数为解决函数问题提供了重要手段.通常,中值具体数字为多少不容易知道,但对于做更多关于中值定理的延伸讨论或详细分析而言,其实并不会因此而受任何影响.2.从证明的过程来看,罗尔定理是其他定理证明的基础,构造出一个辅助函数,它必须符合罗尔定理的前提.罗尔定理的证明是通过构造辅助函数证得的,而拉格朗日中值定理的证明和柯西中值定理的证明也都用到了这种方法.证明定理重点在于先构造出一个辅助函数,构造出的新函数应该尽量简单并且它与其导数之间要有一定的联系.构造辅助函数的方法极端重要,在一些证明题中经常用到.3.从其形式和结构来看,罗尔定理为微分中值定理提供了前提.罗尔定理的具体解释:在可导的连续曲线y=fx上,若fx上处处都有与其相切的线,那么它们之间必然有一处使得fx在这个点处的切线呈现水平状态.拉格朗日定义了函数增量的公式,具体表示为y=f'x+xx 0<<1显而易见,它是罗尔定理的推广,它的几何意义是:若一条曲线y=fx符合他的所有要求,那么fx上至少存在一点P,f,使得过该点的切线与曲线两端点的连线呈现平行状态.它在解题中的应用也非常广泛和灵活,可以利用它的某些特性和几何意义研究函数的自变量在其取值范围内的一些特性,如函数的增减性、函数的凸性与拐点和极值等.若一个函数的自变量在某一段取值范围内内求导后恒为零,就可以利用它来证明该函数在该取值范围内恒为常数.拉格朗日中值定理的运动学意义为:对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置的瞬时速率等于这个过程中的平均速率f'=fb-fab-a a<<b柯西中值定理与它不同的地方在于,柯西说的是一个变量随另一个变量变化而变化的对应关系,于是柯西中值定理就变量的层面上来看就包含了拉格朗日中值定理,即令gx=x得拉格朗日中值定理.简而言之,柯西中值定理是拉格朗日中值定理在变量上的进一步延伸.它的几何意义与前两个中值定理的几何意义相类似.假设uOv平面上一段平滑曲线的含参量方程是 u=gxv=fx由于f'g'=fb-fagb-ga右边的fb-fagb-ga表示连接该曲线两端的弦AB的斜率,而左边的f'g'=vux=则含义是该曲线上与x=相对应的一点Cg,f处的与曲线相切的斜率.因此f'g'=fb-fagb-ga即表示上述切线与弦AB互相平行.由此可以得知它实际上就是一种有参数存在的情况下的Lagrange定理.它还可以理解为从A点到B点的任意两条曲线,围成的面积一样的话,两曲线必有交点,围成的面积视为fx和gx,曲线为fx和gx的导数,现在将fx或gx代表的面积放大n倍,原导函数曲线交点处的值自然同样成n倍.四、微分中值定理的应用(一)利用微分中值定理来解决方程根是否存在的问题在遇到要解决根是否存在这类题目时,首先第一步要做的是讨论题目给出的已知前提和约束,然后根据条件符合的定理内容来逐步完成求解.若已知某个函数在闭区间a,b上连续可导,且f(a)= f(b),则通过运用罗尔定理就能够完成一些比较繁琐的多项式的解是否存在问题的求解,其步骤一般是：解析题目前提构造辅助函数验证Fx是否满足所需要运用定理的条件命题定论.例1：设a0+a12+a23+ann+1=0,证明：多项式fx=a0+a1x+a2x2+anxn在0,1内至少有一个零点.证明：根据题目前提找出辅助函数Fx=a0x+a1x22+a2x33+anxn+1n+1,则有Fx在0,1上连续,在0,1可导,且有F0=F1=0,因此Fx符合罗尔定理的前提,由定理可知在0,1内至少存在一点,使得F'=0,即fx在0,1内至少有一个零点.(二)通过运用微分中值定理来计算复杂极限对于有些求极限的题,可以使用洛必达法则,但它并不能够解决所有的极限问题,有些问题使用洛必达法则不能解决或过程繁琐.下面给出的解决办法是首先根据题设找出辅助函数,然后使用恰当的微分中值定理计算出极限 例2：求limnn2a1n-a1n+1,其中a>0.分析：观察题目发现有a1n和a1n+1,那么自然而然想到构造辅助函数fx=ax,并且fx在1n+1,1n连续,在1n+1,1n可导,满足拉格朗日中值定理的前提,则可以计算出极限了.解：根据题目的前提,可以得到 limnn2a1n-a1n+1=limnn2ax'x=1-1n+1=limnn2alnann+1=lna其中1n+1,1n.例3：已知an=1nn+1+1nn+2+1nn+n,试求limnan.解：令fx=2x,则对于函数fx在nn+k,nn+k+1上满足拉格朗日中值定理可得2nn+k+1-2nn+knn+k+1-nn+k=1 (nn+k,nn+k+1)因此1nn+k+1<2n+k+1n-2n+kn<1nn+k,当k=0,1,n-1时,把得到的n个不等式相加得：1nn+1+1nn+2+1nn+n<22-2<1n2+1nn+1+1nn+2+1n2n-1即an<22-2<1n+an-12n,故0<22-2-an<1n(1-12),所以limnan=22-2(三)通过函数的导数及其单调性来解决不等式问题不等式是数学分析中的一个基础知识点,其作为学科理论中不可或缺的内容为我们更深入的研究提供了有力手段.微分中值定理在解决不等式问题中起着很大的作用,下面的例子体现了如何运用它解决这一问题. 例4:对任意的n=1,2,3,求能使不等式1+1nn+1+1nn+成立的的最大值与 的最小值.解:由于1+1nn+1+1nn+等价于n+1ln1+1nn+,从而等价于1ln1+1n-n,即需要求数列1ln1+1n-n的上确界与下确界,可记fx=1ln1+x-1x=x-ln1+xxln1+x先考虑fx的单调性,易知f'x=1+xln21+x-x21+xx2ln21+x记gx=1+xln21+x-x2,则g'x=ln21+x+2ln1+x-2x,g''x=21+xln1+x-x由不等式ln1+x<xx>0可知,x0,1时,g''x<0,即g'x在0,1严格单调递减,再由g'0=0可知x0,1时,g'x<0,于是gx在0,1严格单调递减,结合g0=0可知,x0,1时,gx<0,即f'x<0,这说明fx在0,1严格单调递减,因此 infx0,1fx=f1=1ln2-1,supx0,1fx=limx0+fx=limx0+x-ln1+xxln1+x=12.即1ln2-1 fx12,另外由于1n0n+对应着x0,n=1对应着x=1,这说明的最大值为1ln2-1, 的最小值为12.(四)通过灵活应用微分中值定理讨论级数收敛或发散泰勒(Taylor)定理1（1）若fx在x0存在 n阶导数,则有fx=fx0+f'x0x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+x-x0n（2）若fx在区间(a,b)有(n+1)阶导数,x0(a,b),则对每个x(a,b),在x0和x之间存在,使得fx=fx0+f'x0x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+fn+1n+1!x-x0n+1证明:记Tnx=fx0+f'x0x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n,并且Fx=fx-Tnx,下面考虑Fx与x-x0n及x-x0n+1的关系：（1）由于fx在x0存在 n阶导数,于是Fx在x0的某领域Ux0存在1至n-1阶导数,记Gx=x-x0n,则易知Fx0=Gx0= F'x0=G'x0=Fn-1x0=Gn-1x0=0,Fnx0=0,Gnx0=n!.对任意的xUx0,不妨设x>x0,则存在1(x0,x),2(x0,1),n-1(x0,n-2),使得FxGx=Fx-Fx0Gx-Gx0=F'1G'1=F'1-F'x0G'1-G'x0=F''2G''2=Fn-1n-1Gn-1n-1于是limxx0FxGx=limn-1x0Fn-1n-1Gn-1n-1=limn-1x0Fn-1n-1-Fn-1x0Gn-1n-1-Gn-1x0=limn-1x0Fn-1n-1-Fn-1x0n-1-x0Gn-1n-1-Gn-1x0n-1-x0=Fnx0Gnx0=0即fx=Tnx+x-x0n.（2）记Hx=x-x0n+1 ,则易知Fx0=Hx0= F'x0= H'x0=Fnx0=Hnx0=0,Fn+1x=fn+1x,Hn+1x=n+1! ,于是对任意的x(a,b),不妨设x>x0,则存在1(x0,x),2(x0,1),n+1x0,n,使得FxHx=Fx-Fx0Hx-Hx0=F'1H'1=F'1-F'x0H'1-H'x0=F''2H''2=Fn+1n+1Hn+1n+1=fn+1n+1n+1!记=n+1(a,b),即有fx=Tnx+fn+1n+1!x-x0n+1.注:（1）称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式,其常用于计算函数极限;（2）称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式,其常用于证明中值估计问题.泰勒定理在解决级数是收敛或发散的问题时有广泛的应用,下面的例子体现了如何应用例5：设fx在x=0的某领域内二阶连续可导,且limnfxx=0.试证明级数n=1f1n绝对收敛.证明：由泰勒公式可得fx=f0+f'0x+f''2x2=f''2x2 0<<x 由f''x在某个闭区间-,连续,故当x<时,有f''xM,即fx=f''x2x2M2x2 ,取x=1n,有f1nM21n2.由于n=1M21n2收敛,通过比较法可知,n=1f1n绝对收敛.(五)巧妙应用微分中值定理完成等式的证明利用微分中值定理证明等式时一般用柯西中值定理或者待定系数法进行解答.例6:设fx在a,b上二阶可导, a<c<b,证明：存在a,b,使得111abcfafbfc=12f''c-ab-ac-b.证明:方法一(柯西中值定理).记Fx=111abxfafbfx,Gx=x-ab-ax-b,则显然有Fa= Ga=Fb=Gb=0,同时易知F''x=f''b-a,G''x=2b-a.于是通过柯西中值定理可知,存在1a,c与2c,b,使得FcGc=Fc-FaGc-Ga=F'1G'1Fc-FbGc-Gb=F'2G'2从而利用等比定理并结合柯西中值定理可知存在1,2a,b,使得FcGc=F'1G'1=F'2G'2=F'1-F'2G'1-G'2=F''G''=b-af''2b-a=f''2即有Fc-f''2Gc=0,即有原等式成立. 方法二(待定系数法).记常数k=111abcfafbfc12c-ab-ac-b同时构造函数Hx=111abcfafbfc-12kx-ab-ax-b则有Ha=Hb=Hc=0,于是通过罗尔中值定理可知存在a,b,使得H''=0,即110ab0fafbf''-kb-a=0,化简得到k=f'',则有原等式成立.五、结 语本文首先带大家学习了微分中值定理的历史发展、研究前景、定理内容及其证明,然后分类归纳并举例来体现微分中值定理在不同方面的应用,由此体现了微分中值定理的独一无二的历史地位.另外,在解决微分中值定理的证明这一类问题时,采用了一种常用的方法-构造辅助函数.在探索微分中值定理的过程中,不但有效锻炼了知识迁移能力和知识发散能力,还加深了对这一学科的认识和理解.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,20102李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法J.数学的实践与认识,2004(10):165-169. 3丁殿坤,邹玉梅.微分中值定理与Newton-Leibniz公式可互相证明J.大学数学,2005(04):128-130. 4卢玉峰.微分中值定理历史与发展J.高等数学研究,2008,11(5):59-63.5张晓华.微分中值定理“中值点”探讨J.中国科技信息,2009(18):200-201.6伍建华,孙霞林,熊德之.一类积分型中值定理的渐近性讨论.西南师范大学学报：自然科学版,2012(8):24-27.7刘章辉.微分中值定理及其应用J.山西大同大学学报(自然科学版),2007(05):79-81.8纪华霞.微分中值定理的几个推广结论J.高等函授学报(自然科学版),2006(06):33-34+38.9张则增,周相泉,王娥.微分中值定理的推广J.山东师大学报(自然科学版),1998(03):84-86.10周树娜.微分中值定理的应用举例J.数学学习与研究,2013(11):113.11刘一萱.微分中值定理的证明及应用J.中国科技纵横,2018,(21):216-217.致谢本次毕业论文的完成首先要感谢我的指导老师李强,感谢李老师在写论文期间对我们每个学生的严格要求.在论文完成期间,虽然因为疫情我们不能面对面讨论论文中的问题,但老师并没有丝毫松懈,定期检查我们的论文完成情况并对论文进行详细批阅,在需要修改的地方认真标注,给予了非常中肯的建议,使得我们的任务得以有效完成;其次我要感谢学校所有带给我们知识和帮助的老师,为我们本科阶段知识的积累奠定了基石;最后感谢答辩老师对我的本科毕业设计进行辛苦的点评以及指导.18