2024年广州中考数学终极押题密卷2含答案.docx

2024年广州中考数学终极押题密卷2一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）在中，无理数共有（）A1个B2个C3个D4个2（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A所表示的数的相反数是（）A2BC1D23（3分）一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（）A平均数B中位数C众数D方差4（3分）下列计算正确的是（）A4BC22D5（3分）方程的解为x（）A1B1C4D6（3分）在平行四边形ABCD中，A105°，则D的度数为（）A105°B75°C90°D不确定7（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（）ABCD8（3分）如图，在菱形ABOC中，A60°，它的一个顶点C在反比例函数y的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）AyByCyDy9（3分）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A200米B400米C米D米10（3分）如图，二次函数yax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x1，给出以下结论：abc0；若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1y2；对于任意实数t，总有at2+bta+b；若c2，则有b24ac8a；若关于x的一元二次方程ax2+bx+cp（p0）有整数根，则p的值有2个，其中正确的有（）个A2B3C4D5二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（3分）若x，y为实数，且，则x+y 12（3分）分解因式：3a2+6a3 13（3分）如图，在ABC中，ACB90°，CD是高，AB4，A30°，则BD 14（3分）如果关于x的一元二次方程kx24x10有实数根，那么k应满足的条件是 15（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则CEB' 16（3分）如图，在正方形ABCD中，AB10，点M为线段BD上一点，将ADM沿AM所在直线翻折得到AEM（点E在正方形ABCD内部），连接BE，CE，DE，若BAE2DCE，则DE的长为 三解答题（共9小题，满分72分）17（4分）解一元二次方程：（1）2x25x+10（2）（x+1）2（2x3）218（4分）如图，如图，AD为三角形ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，连接EF交AD于点O（1）求证：ADEF；（2）若BAC60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明19（6分）已知：（1）化简A；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求A的值条件：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；条件：若a是方程x2+x8x的一个根20（6分）“综合与实践”是义务教育数学课程标准（2022版）中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A制作视力表”“B猜想、证明与拓广”“C池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：项目选择人数频率A制作视力表4aB猜想、证明与拓广bcC池塘里有多少条鱼200.5请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a ，b ，c ；（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；（3）本次调查中，选择“A制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率21（8分）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案22（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4与x轴交于点A（4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D的坐标为（8，0），连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当OCPDCA时，求点P的坐标23（10分）如图，RtABC中，C90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的O交AC于P，过点P作PDAB，交O于点D（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；（2）连接PM，当PMPC，且AC4，tanA，求线段PD的长24（12分）如图，在菱形ABCD中，ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F（1）当AEBC，EAFABC时，求证：CEFCBD；联结BD，EF，若，求的值；（2）当EAFBAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，联结AG，MN，若AB4，AC2，当AMN是等腰三角形，求CE的长25（12分）抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P（m，n）在第一象限的抛物线上，且m+n9，求点P的坐标；在线段PA上确定一点M，使DM平分四边形ACDP的面积，求点M的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接OQ、AQ，设AOQ的外心为H，当sinOQA的值最大时，请直接写出点H的坐标2024年菁优广州中考数学终极押题密卷2参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）在中，无理数共有（）A1个B2个C3个D4个【考点】无理数菁优网版权所有【专题】实数；数感【答案】B【分析】运用无理数的概念进行辨别、求解【解答】解：，3.5，1.3是有理数，0.1010010001是无理数，故选：B【点评】此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关概念进行正确地求解2（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A所表示的数的相反数是（）A2BC1D2【考点】数轴；相反数菁优网版权所有【专题】实数；符号意识【答案】A【分析】根据相反数的定义进行求解即可：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0【解答】解：由题意得，点A表示的数为2，2的相反数是2，点A表示的数的相反数为2故选：A【点评】本题主要考查了用数轴表示有理数，相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键3（3分）一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（）A平均数B中位数C众数D方差【考点】统计量的选择菁优网版权所有【专题】统计与概率【答案】D【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可【解答】解：原数据的2、3、3、4的平均数为3，中位数为3，众数为3，方差为（23）2+（33）2×2+（43）20.5；新数据2、3、3、3、4的平均数为3，中位数为3，众数为3，方差为（23）2+（33）2×3+（43）20.4；添加一个数据3，方差发生变化，故选：D【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键4（3分）下列计算正确的是（）A4BC22D【考点】二次根式的混合运算菁优网版权所有【专题】二次根式；运算能力【答案】D【分析】根据二次根式的除法、乘法及同类二次根式的运算法则、概念逐一判断即可【解答】解：A22，此选项不符合题意；B与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；C2与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；D，此选项符合题意；故选：D【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则5（3分）方程的解为x（）A1B1C4D【考点】解分式方程菁优网版权所有【专题】分式方程及应用；运算能力【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3（23x）x4，去括号得：69xx4，解得：x1，检验：把x1代入得：（x4）（23x）3×（1）30，分式方程的解为x1故选：A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验6（3分）在平行四边形ABCD中，A105°，则D的度数为（）A105°B75°C90°D不确定【考点】平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】多边形与平行四边形；推理能力【答案】B【分析】由平行四边形的性质进行计算，即可得到答案【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，则ABDC，A+D180°，A105°，D180°105°75°；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质进行计算7（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力【答案】A【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可【解答】解：连接AB，CD，如图，由网格图可知：AG2，BG1，DH4，CH2，2，AG，CD2，AGBCHD90°，AGBCHD，BAGDCHAECF，GACHCA，BAODCOAOBCOD，AOBCOD，AOOC，AOACAC，AO故选：A【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题是网格题目，利用网格线的特征，熟练应用平行线的性质和勾股定理是解题的关键8（3分）如图，在菱形ABOC中，A60°，它的一个顶点C在反比例函数y的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）AyByCyDy【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化平移菁优网版权所有【答案】A【分析】过点C作CDx轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可【解答】解：过点C作CDx轴于D，设菱形的边长为a，在RtCDO中，ODacos60°a，CDasin60°a，则C（a，a），点A向下平移2个单位的点为（aa，a2），即（a，a2），则，解得故反比例函数解析式为y故选：A【点评】本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度9（3分）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A200米B400米C米D米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识【答案】D【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是，故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形10（3分）如图，二次函数yax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x1，给出以下结论：abc0；若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1y2；对于任意实数t，总有at2+bta+b；若c2，则有b24ac8a；若关于x的一元二次方程ax2+bx+cp（p0）有整数根，则p的值有2个，其中正确的有（）个A2B3C4D5【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式菁优网版权所有【专题】二次函数图象及其性质；推理能力【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：抛物线开口向下，a0；抛物线的对称轴为直线x10，b0；抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，故正确；M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1n2+2，y1y2，故错误；当x1时，y最大，即对于任意实数t有a+b+cat2+bt+c，at2+bta+b，故正确；b0，b20，若c2，则4ac8a8a8a0，b24ac8a，故正确；抛物线的对称轴是直线x1，与x轴的一个交点是（3，0），抛物线与x轴的另个交点是（1，0），把（3，0）代入yax2+bx+c得，09a+3b+c，抛物线的对称轴为直线x1，b2a，9a6a+c0，解得，c3ayax22ax3aa（x1）24a（a0），顶点坐标为（1，4a），由图象得当0y4a时，1x3，其中x为整数时，x0，1，2，又x0与x2时，关于直线x1轴对称当x1时，直线yp恰好过抛物线顶点所以p值可以有2个故正确；故选：C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（3分）若x，y为实数，且，则x+y2026【考点】二次根式有意义的条件菁优网版权所有【专题】二次根式；运算能力【答案】2026【分析】根据二次根式（a0）可得：x40且4x0，从而可得：x4，进而可得y2022，然后把x，y的值代入式子中，进行计算即可解答【解答】解：由题意得：x40且4x0，解得：x4，当x4时，y2022，x+y4+20222026，故答案为：2026【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a0）是解题的关键12（3分）分解因式：3a2+6a33（a1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有【专题】因式分解；运算能力【答案】3（a+1）2【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：3a2+6a3，3（a22a+1），3（a1）2故答案为：3（a+1）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13（3分）如图，在ABC中，ACB90°，CD是高，AB4，A30°，则BD1【考点】含30度角的直角三角形菁优网版权所有【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力【答案】1【分析】求出BCD30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BCAB2，再根据含30°角的直角三角形的性质得出BDBC，即可得出结论【解答】解：在ABC中，ACB90°，AB4，A30°，所以BCAB2，B90°A60°，CD是高，BDC90°，BCD90°B30°，BDBC1，故答案为：1【点评】本题考查了三角形内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出BCAB和BDBC是解此题的关键14（3分）如果关于x的一元二次方程kx24x10有实数根，那么k应满足的条件是 k4且k0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义菁优网版权所有【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力【答案】k4且k0【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k0且（4）24k×（1）0，求出解集即可【解答】解：关于x的一元二次方程kx24x10有实数根k0且（4）24k×（1）16+4k0，解得：k4且k0故答案为：k4且k0【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键15（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则CEB'45°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力【答案】45°【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得EBC和C的度数，然后根据三角形内角和即可得到CEB'的度数【解答】解：平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，BAB30°，ABAB，BABC，BABB75°，ABC75°，C105°，EBC30°，CEB180°CEBC180°105°30°45°，故答案为：45°【点评】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出EBC和C的度数16（3分）如图，在正方形ABCD中，AB10，点M为线段BD上一点，将ADM沿AM所在直线翻折得到AEM（点E在正方形ABCD内部），连接BE，CE，DE，若BAE2DCE，则DE的长为 2【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力【答案】2【分析】设AE与BD交于点G，延长AM交DE于点N，过点C作CFDE延长线于点F，证明AGBMGE，可得BAGGME，设DCE，可得GME2，证明DEC180°（45°）135°，可得FEC180°135°45°，证明EFC是等腰直角三角形，然后证明ADNDCF，可得DNCF，所以DNNECFEF，然后根据勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，设AE与BD交于点G，延长AM交DE于点N，过点C作CFDE延长线于点F，四边形ABCD是正方形，ADDCBCAB10，ADCDCB90°，ADB45°ABD，将ADM沿AM所在直线翻折得到AEM，DMEM，ADAE，ANDE，DNEN，AEMADBBDC45°，ABGGEM45°，AGBMGE，AGBMGE，BAGGME，BAE2DCE，GME2DCE，设DCE，GME2，DMEM，MDEMED，GME2MDE，MDEDCE，EDCBDCMDE45°，DEC180°（45°）135°，FEC180°135°45°，EFC是等腰直角三角形，EFFC，ADCDFCAND90°，ADN90°CDFDCF，ADDC，ADNDCF，DNCF，DNNRCF，EFCF，DNNECFEF，DF3CF，在RtDCF中，根据勾股定理得：DF2+CF2DC2，（3CF）2+CF2102，CF，DE2CF2故答案为：2【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到AGBMGE三解答题（共9小题，满分72分）17（4分）解一元二次方程：（1）2x25x+10（2）（x+1）2（2x3）2【考点】解一元二次方程因式分解法菁优网版权所有【专题】计算题；一元二次方程及应用【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）两边直接开平方法求解可得【解答】解：（1）a2、b5、c1，254×2×1170，则x，即x1，x2；（2）（x+1）2（2x3）2，x+12x3或x+132x，解得：x14或x2【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键18（4分）如图，如图，AD为三角形ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，连接EF交AD于点O（1）求证：ADEF；（2）若BAC60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有【专题】图形的全等；推理能力【答案】（1）见解析（2）DOAD，理由见解析【分析】（1）由AD为ABC的角平分线，得到DEDF，推出AEF和AFE相等，得到AEAF，从而可以得到AD垂直平分EF，然后即可推出结论；（2）由已知推出EAD30°，得到AD2DE，在DEO中，由DEO30°推出DE2DO，即可推出结论【解答】（1）证明：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，DEADFA90°，DEFDFEDEADEFDFADFE，即AEFAFE，AEAF，DEDF，AEAF，点D、点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，ADEF（2）解：DOAD理由：BAC60°，AD平分BAC，EAD30°，AD2DE，EDA60°，ADEF，EOD90°，DEO30°，DE2DO，AD4DO，即DOAD【点评】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明AEAF和DEDF；证明AD2DE和DE2DO题目比较典型，综合性强19（6分）已知：（1）化简A；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求A的值条件：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；条件：若a是方程x2+x8x的一个根【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值；一元二次方程的解菁优网版权所有【专题】分式；一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；运算能力【答案】（1）A；（2）A【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；（2）由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；a是方程x2+x8x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论【解答】解：（1） ；（2）点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，a（a+2）8，A；a是方程x2+x8x的一个根，a2+a8a，a（a+2）8，A；【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键20（6分）“综合与实践”是义务教育数学课程标准（2022版）中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A制作视力表”“B猜想、证明与拓广”“C池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：项目选择人数频率A制作视力表4aB猜想、证明与拓广bcC池塘里有多少条鱼200.5请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a0.1，b16，c0.4；（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；（3）本次调查中，选择“A制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体菁优网版权所有【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；运算能力【答案】（1）0.1；16；0.4（2）约200人（3）【分析】（1）用表格中C项目的人数除以频率可得调查的学生人数，用A项目的人数除以调查的学生人数可得a的值，用调查的学生人数分别减去A，C项目的人数，可得b的值，用b的值除以调查的学生人数可得c的值（2）根据用样本估计总体，用500乘以c的值，即可得出答案（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名女生和一名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案【解答】解：（1）调查的学生人数为20÷0.540（人），a4÷400.1，b4042016，c16÷400.4故答案为：0.1；16；0.4（2）500×0.4200（人）估计选择“B猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数约200人（3）列表如下：女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，恰好选到一名女生和一名男生的概率为【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键21（8分）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用菁优网版权所有【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识【答案】（1）A型汽车进价为25万元/辆，B型汽车进价为10万元/辆；（2）该公司有两种购买方案，方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆【分析】（1）设A型汽车进价为x万元/辆，B型汽车进价为y万元/辆，根据“3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（20m）辆，根据购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m、（20m）均为正整数，即可得出各购买方案【解答】解：（1）设A型汽车进价为x万元/辆，B型汽车进价为y万元/辆，依题意得：，解得：答：A型汽车进价为25万元/辆，B型汽车进价为10万元/辆（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（20m）辆，依题意得：20mm，解得：m又m、（20m）均为正整数，m2或m4当m2时，20m15；当m4时，20m10该公司有两种购买方案，方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式22（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4与x轴交于点A（4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D的坐标为（8，0），连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当OCPDCA时，求点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力【答案】（1）yx2+x4，顶点坐标为（1，）；（2）P（4，8）或P（8，20）【分析】（1）将A（4，0）和B（2，0）代入yax2+bx4即可求解；（2）过D作DEAC交CA延长线于E，求出DE、CE的长可得tanDCA，根据OCPDCA，则tanOCPtanDCA，分P在y轴右侧和左侧两种情况分别计算【解答】解：（1）将A（4，0）和B（2，0）代入yax2+bx4得：，解得，抛物线yx2+x4，yx2+x4（x+1）2，顶点坐标为（1，）；（2）过D作DEAC交CA延长线于M，抛物线yx2+x4，当x0时，y4，C（0，4），A（4，0），OAOC4，AC4，CAO45°，D（8，0），AD4，DMAMsin45°×ADsin45°×42，CMAC+AM426，tanDCA，当P在y轴右侧时，如图：设P（m，m2+m4），PEm，ECm2+m4+4m2+m，OCPDCA，tanOCPtanDCA，解得m14，m20（舍），P（4，8），当P在y轴左侧时，如图：设P（m，m2+m4），PEm，ECm2+m4+4m2+m，同理可得：，解得m18，m20（舍），P（8，20），综上所述：P（4，8）或P（8，20）【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数值、以及角的存在性等知识，由两个角相等，则这两个角的正切值也相等进行转化，是解决问题的关键23（10分）如图，RtABC中，C90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的O交AC于P，过点P作PDAB，交O于点D（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；（2）连接PM，当PMPC，且AC4，tanA，求线段PD的长【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理菁优网版权所有【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接CM，PB，DM，证BMP90°，BP为O的直径，证MD为O的直径，由直角三角形的性质得出CMABBM，则，得出DM垂直平分BC，则PCMD，即可得出结论；（2）连接BD、CD、BP，由圆周角定理得出DPMPMBPDB90°，则四边形PDBM为矩形，则PMBD，证PCBD，证RtBPDRtPBC（HL），得出PDBC，在RtACB中，由三角函数定义求出BC即可【解答】（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：C90°，四边形BCPM为圆内接四边形，C+BMP180°，BMP90°，BP为O的直径，又PDAB，DPM180°BMP90°，MD为O的直径，C90°，M为AB的中点，CMABBM，又MD为O的直径，DM垂直平分BC，PCMD，四边形APDM为平行四边形；（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：MD和BP均为O的直径，DPMP