数学第七章 解析几何 第8讲 轨迹与方程配套 理.ppt
第8讲轨迹与方程考纲要求考点分布考情风向标1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程.2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程2013年新课标第21题(1)考查椭圆方程的求法(定义法)；2014年新课标第20题(1)考查求椭圆的轨迹方程；2016年新课标第20题考查抛物线的轨迹方程求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查理解解析几何问题的基本思想方法和能力.备考时要关注以下几点：(1)能够利用定义或待定系数法求椭圆、双曲线及抛物线的方程.(2)能够利用相关点法、参数法等求动点的轨迹方程求轨迹方程的常用方法直接法待定系数法定义法相关点法参数法将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程已知所求曲线的类型，求曲线方程.先根据条件 设 出 所 求 曲线的方程，再由条 件 确 定 其 待定系数若动点轨迹的条 件 符 合 某 一基 本 轨 迹 的 定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，则用定义直接探求动 点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并 且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可 先 用 x，y的 代数式表示x0，y0，再将x0，y0代 入 已知曲线得到要求的轨迹方程当动点P(x，y)坐 标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得到普通方程1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(2,0)，C(2,0)，A 为动点，ABC 的周长为 10，则动点 A 满足的方程为()解析：|AB|AC|BC|10，B(2,0)，C(2，0)，|AB|AC|6|BC|.点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(除去与 B，C 共线二顶点)，且 2a6，c2.b2a2c25.答案：B示的曲线是()ACBD答案：D3.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x20 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为_.y28x的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_.考点 1 利用直接法求轨迹方程例 1：如图 781，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程.图 781解：方法一(直接法)，设点 M 的坐标为(x0，y0)，则点 A 的坐标为(2x0,0)，点 B 的坐标为(0,2y0)，kCA222x0，kCB22y0.2因为直线 CA 垂直于直线 CB，所以 kCAkCB222x022y021.化简，得 x0y020.所以点 M 的轨迹方程为 xy20.方法二(参数法)，若 CAx 轴，则 CBy 轴，故点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(0,2)，所以点 M 的坐标为(1,1).若 CA 不垂直于 x 轴，则设直线 CA 的方程为 y2k(x2)，两式相加，得 x0y02，即x0y020(x01).又点(1,1)在直线 x0y020 上，所以点 M 的轨迹方程为 xy20.方法三(定义法)，观察图象，显然|OM|AB|2|CM|，即点M 到点 C，O 的距离相等，故点 M 在线段 OC 的垂直平分线上.又线段 OC 的垂直平分线过 OC 中点(1,1)，斜率 k1，即 y1(x1)，化简，得 xy20.所以点 M 的轨迹方程为 xy20.【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系.【互动探究】的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_.考点 2 利用定义法求轨迹方程例 2：(1)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 与圆 C1 外切及圆 C2 相内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 与圆 C1 内切及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.解析：如图 D48，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得图 D48|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)，这里 a1，c3，则 b28.理可得后面三个小题.(2)(由人教版选修11P427改编)已知圆(x2)2y236的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交线段 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A.圆C.双曲线B.椭圆D.抛物线解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是椭圆.答案：B(由人教版选修11P545改编)已知圆(x2)2y21 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交直线 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A.圆C.双曲线B.椭圆D.抛物线解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)；当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴上的两个端点)；当1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)；当1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴上的两个端点).【互动探究】6.(人教版选修11P35例3)设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，求点 M 的轨迹方程.解：设点 M 的坐标为(x，y)，7.设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是1，求点 M 的轨迹方程.8.(人教版选修11P48探究)设点A，B的坐标分别为(5,0)，点 M 的轨迹方程.
