数学第七章 解析几何 第4讲 直线与圆的位置关系配套 理.ppt

第4讲 直线与圆的位置关系考纲要求考点分布考情风向标1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2011年大纲第11题考查圆与圆的位置关系；2011年新课标第20题考查直线与圆的综合应用；2014年新课标第20题考查直线与圆的综合应用；2015年新课标第20题考查直线与圆的位置关系及向量运算；2016年新课标第15题考查直线与圆的综合应用从近几年的高考看，对这部分内容的考查呈上升的趋势，逐渐成为热点问题，要引起重视.预计2019年高考仍将以圆与圆、直线与圆的位置为主要考点，尤其是直线与圆的位置关系是重中之重，备考时应特别关注利用圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断位置关系及有关计算的方法直线与圆的位置关系相交相切相离判断直线与圆的位置关系的方法几何法dr代数法0001.直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系内含内切相交外切外离判断圆与圆的位置关系的方法(rR)dRr dRrRrdRr公切线条数012342.两圆的位置关系3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：AB 的斜率).说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.4.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为()BA.内切B.相交C.外切D.相离解析：两圆心之间的距离为 d两圆的半径分别为 r12，r23，则r2r11d0，即36a2 90 0000，50a50；当直线和圆相切时，0，即 a50 或 a50；当直线和圆相离时，0，即 a50.方法二，(几何法)圆 x2y2100 的圆心为(0,0)，半径 r10，【规律方法】判断直线与圆位置关系的三种方法：几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断；代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.【互动探究】C1.直线 xky10 与圆 x2y21 的位置关系是()A.相交C.相交或相切B.相离D.相切解析：直线 xky10 恒过定点(1,0)，而(1，0)在圆上.故直线与圆相交或相切.考向 2 切线问题例 2：过点 A(1,4)作圆(x2)2(y3)2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.解：(12)2(43)2101，点 A 在圆外.方法一，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程是 x1，不满足题意.设切线 l 的斜率为 k，则方程为 y4k(x1).即 kxy4k0.因此，所求切线 l 的方程为 y4 或 3x4y130.方法二，由于直线 l 是圆的切线，消去 y，得到关于 x 的一元二次方程(1k2)x2(2k22k 4)xk22k40，则(2k22k4)24(1k2)(k22k4)0.化简，得 4k23k0.因此，所求切线 l 的方程为 y4 或 3x4y130.【规律方法】1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为图形可直接得切线方程为 yy0 或 xx0.2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：设切线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.【互动探究】B2.(2017 年山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50C.x2y50B.2xy70D.x2y70解析：依题意知，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.考向 3 弦长问题例 3：(1)(2015 年新课标)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()答案：C答案：4【规律方法】关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、弦长的一半所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解.考点 2 圆与圆的位置关系例 4：(1)(2016 年山东)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是，则圆 M 与圆 N：(x1)2)(y1)21 的位置关系是(A.内切C.外切B.相交D.相离答案：B(2)若圆 x2y22mxm240 与圆 x2y22x4my 4m280 相切，则实数 m 的取值集合是_.【规律方法】(1)判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆半径之间的关系；(2)两圆相切包括内切和外切，两圆相离包括外离和内含.【互动探究】C3.若圆 C1：x2y21与圆 C2：x2y2 6x8ym0 外切，)则 m(A.21C.9B.19D.11考点 3 直线与圆的综合应用例 5：已知圆C：x2y2 x6ym0 和直线 x2y30 相交于 P，Q 两点，若 OPOQ，求 m 的值.思维点拨：本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系、根与系数的关系等知识.方法二，由直线 x2y30，得 3x2y.代入圆的方程 x2y2x6ym0，则以弦 PQ 为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，坐标原点在该圆上.则(01)2(02)2r25.在 RtCMQ 中，CM2MQ2CQ2，方法四，设过 P，Q 的圆系方程为 x2y2x6ym(x2y3)0.由 OPOQ 知，点 O(0,0)在圆上.m30，即 m3.圆的方程化为 x2y2x6y3x2y30，2(3)30.即 x2(1)xy22(3)y0.又圆心 M 在 PQ 上，121.m3.据直线方程构造出一个关于 的二次方程，虽然有规律可循，但【规律方法】求解本题时，应避免去求 P，Q 两点坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被大家忽略；方法一显示了解这类题的通法，方法二的关键在于依yx需要一定的变形技巧，同时也可以看出，这种方法一气呵成.【互动探究】4.(2015 年新课标)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点.(1)求 k 的取值范围；所以直线 l 的方程为 yx1.故圆心在直线 l 上，所以|MN|2.易错、易混、易漏忽略斜率不存在的情形及转化不等价致误则 k 的取值范围为()A.k0B.k0，或 k1C.k1，或 k1，或 k1 或 k1 时，半圆 y 与直线 ykx2 只有一个交点，即原方程只有一个解.故选 D.图 7-4-1答案：D为 8，则此弦所在的直线方程为_.正解：当斜率k不存在时，过点P的直线方程为 x3，代入 x2y225，得 y14，y24.弦长为|y1y2|8，符合题意.所求直线方程为 x30 或 3x4y150.答案：x30 或 3x4y150