浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024届高三下学期4月二模数学.docx
丽水湖州衢州 2024 年 4 月三地市高三教学质量检测试卷数学试题卷1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上3.选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.掷两枚质地均匀的骰子，记事件 A = “第一枚出现奇数点”，记事件 B = “第二枚出现偶数点”，则 A 与 B 关系是（）A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等x- m2= 1(m > 0)2.双曲线2y2的渐近线方程为 y = ±2x ，则 m = （）12A.B.C. 2D.2223.复数 z 满足 izA.3B.44.已知平面向量A.B.566= 1 （ i 为虚数单位），则z - 4 + 3i的最小值是（）C.5D.6= 2= 2a, b满足ba，若 a (a + b)，则 a与 b 的夹角是（）C.D.2335.已知各项均为正数的等比数列a的前 n项和为 S，且满足 a ,3a, -a成等差数列，则S4= （）nn645S2A.3B.9C.10D.13æö6.将函数 f (x ) = cos2x 的图象向右平移j ç0 < j <÷ 个单位后得到函数 g (x ) 的图象，若对满足2èøf (x)- g (x)= 2 的 x , x，有x - x=，则j = （）121212min35A.B.C.D.643127.已知椭圆 C :x2+y2=1(a > b > 0), F , F为左右焦点， P 为椭圆上一点， Ð F1 PF2 = 60 ，直线a2b212l : y = -x + t 经过点 P .若点 F2 关于 l 的对称点在线段 F1P 的延长线上，则 C 的离心率是（）1122A.B.C.D.32328.已知正实数 x , x, x满足 x2+ 2x +1 = x 2x1, x 2+ 3x+1 = x 3x2, x2 + 4x+1 = x 4x3，则 x , x , x的大123111222333123小关系是（）A. x3 < x2 < x1B. x1 < x2 < x3C. x1 < x3 < x2D. x2 < x1 < x3二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.有一组样本数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 的平均数是 x ，方差是 s2 ，极差为 R ，则下列判断正确的是A.若 ax1 + b, ax2 + b, ax3 + b, ax4 + b, ax5 + b, ax6 + b 的平均数是 x0 ，则 x0 = ax + b （）B.若 x1, 2x2 ,3x3 , 4x4 ,5x5 , 6x6 的极差是 R1 ，则 R1 > RC.若方差 s2 = 0 ，则 x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6D.若 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 ，则第 75 百分位数是 x4 + x5 210.已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB BC 且 AB = BC = 2 ，直线 A1C 与底面 ABC 所成角的正弦值为3，则（）3A.线段 A1C 上存在点 D ，使得 A1B ADB.线段 A1C 上存在点 D ，使得平面 DBB1 平面 DCC1C.直三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 43D.点 B1 到平面 A1BC 的距离为 211.已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y )× f (x - y ) = f 2 (x ) - f 2 ( y ), f (1) = 2, f (x +1) 为偶函数，则（）A. f (3) = 2B. f (x) 为奇函数C. f (2) = 02024D. å f (k ) = 0k =1三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B =, c =1a ，则 ABC 的面积是2, BC 边上的高等于43_， sinA = _.13.已知圆 C : mx2 + (2m -1) y2 - 2ax - a - 2 = 0 ，若对于任意的 a Î R ，存在一条直线被圆 C 所截得的弦长为定值 n ，则 m + n = _.14.已知正四面体 A - BCD 的棱长为 1，若棱长为 a 的正方体能整体放入正四面体 A - BCD 中，则实数 a 的最大值为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（本题满分 13 分）设等差数列an 的公差为 d ，记 Sn 是数列an 的前 n 项和，若 S5 = a3 + 20, S15 = a2a3a8 .（1）求数列an 的通项公式；（2）若 d > 0, bn =4Sn(n Î N* )，数列b的前 n 项和为 T，求证： T < n +1.nnn2an × an+116.（本题满分 15 分）如图，三棱锥 A - BCD 中， AD CD, AD = CD, Ð ADB = Ð BDC, E 为线段 AC 的中点.（1）证明：平面 BED 平面 ACD ；（2）设 AB = BD = 3, BF = 2FD, EF × BD = 0 ，求直线 CF 与平面 ABC 所成角的正弦值.17.（本题满分 15 分）设函数 f (x ) = ex - ln (x + a ), a Î R .（1）当 a = 1 时，求函数 f (x)的单调区间；（2）若对定义域内任意的实数 x ，恒有 f (x ) ³ a ，求实数 a 的取值范围.（其中 e » 2.71828 是自然对数的底数）18.（本题满分 17 分）已知抛物线 E : y2 = 4x ，点 A, B, C 在抛物线 E 上，且 A 在 x 轴上方， B 和 C 在 x 轴下方（ B 在 C 左侧）， A, C 关于 x 轴对称，直线 AB 交 x 轴于点 M ，延长线段 CB 交 x 轴于点 Q ，连接 QA .OM（1）证明： OQ为定值（ O 为坐标原点）；8（2）若点 Q 的横坐标为-1，且 MB × MC = 9 ，求AQB 的内切圆的方程.19.（本题满分 17 分）为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 p1 ；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 p2 .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为 0.2.现用 2 台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.（1）若 p1 = 0.8, p2 = 0.02 .（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到 0.001）；（2）若监测系统在监测识别中，当 0.8 £ p1 £ 0.9 时，恒满足以下两个条件：若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9；若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为 0.9.求 p2 的范围（精确到 0.001）.（参考数据： 35.04 = 0.9866, 35.01 = 0.9861, 0.982 = 0.9604 ）66
