高三数学第二篇 数学思想 二 数形结合思想 文.ppt
二、数形结合思想二、数形结合思想思想解读思想解读思想解读思想解读应用类型应用类型数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,提示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.1.构建函数模型并结合图象求参数的取值范围或解不等式.2.构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围.3.构建解析几何模型求最值或范围.4.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.总纲目录应用一 解决方程的根或函数的零点问题应用二 求解不等式或参数问题应用三 解决最值问题应用一应用一解决方程的根或函数的零点问题解决方程的根或函数的零点问题例例已知直线(1-m)x+(3m+1)y-4=0所过定点恰好落在函数f(x)=的图象上,若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.(1,+)解析解析由(1-m)x+(3m+1)y-4=0,得x+y-4-m(x-3y)=0,由可得直线过定点(3,1),loga3=1,a=3.令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=mx-2的图象,易得m0时,f(x)=lnx-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案C当x0时,f(x)=lnx-x+1,则f(x)=-1=,所以x(0,1)时,f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象,如图,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.故选C.2.(2017广东惠州第三次调研)已知函数f(x)=其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案答案(3,+)解析解析f(x)的大致图象如图所示,若存在bR,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m20,所以m3.应用二应用二求解不等式或参数问题求解不等式或参数问题例例设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是.答案答案(-,-3)(0,3)解析解析设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x0,所以x0时,F(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以,由图可知F(x)0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案答案B根据题意,画出示意图,如图所示,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.3.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB的面积的最小值为.解析解析x2+y2-2x-2y+1=0,(x-1)2+(y-1)2=1,C(1,1).当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRtPAC=|PA|AC|=|PA|越来越大,直角三角形PBC的面积SRtPBC=|PB|BC|=|PB|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,CP垂直于直线l时,S四边形PACB取得最小值,答案答案2此时|PC|=3,从而|PA|=2.所以(S四边形PACB)min=2.
