高三数学第一篇八 选修系列刺 第2讲 不等式选讲 文.ppt

第第2 2讲讲 不等式选讲不等式选讲考情分析考情分析总纲目录考点一 绝对值不等式的解法考点二不等式的证明考点三绝对值不等式的恒成立问题考点一绝对值不等式的解法1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的值求解即可.(2)若c0),|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;(2)把这些根由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间;(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集;(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.典型例题典型例题(2017课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解析解析(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而11的解集.解析解析(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)1的解集为.2.设函数f(x)=|kx-1|(kR).(1)若不等式f(x)2的解集为,求k的值;(2)若f(1)+f(2)5,求k的取值范围.解析解析(1)由|kx-1|2,得-2kx-12,-1kx3,-x1.由已知,得=1,k=3.(2)由已知,得|k-1|+|2k-1|5.当k时,-(k-1)-(2k-1)-1,此时-1k;当k1时,-(k-1)+(2k-1)5,得k5,此时1时,(k-1)+(2k-1)5,得k,此时1k0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.方法归纳方法归纳(1)证明不等式常用的方法有综合法;分析法;比较法;柯西不等式(二维形式).(2)二维柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.跟踪集训跟踪集训1.已知a0,b0,函数f(x)=|2x+a|+2+1的最小值为2.(1)求a+b的值;(2)求证:a+log33-b.解析解析(1)因为f(x)=|2x+a|+|2x-b|+1|2x+a-(2x-b)|+1=|a+b|+1.当且仅当(2x+a)(2x-b)0时,等号成立,又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+1=2,所以a+b=1.(2)证明:由(1)知,a+b=1,所以+=(a+b)=1+4+5+2=9,当且仅当=且a+b=1,即a=,b=时取等号.所以log3log39=2,所以a+b+log31+2=3,即a+log33-b.2.已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.(1)证明:若a+db+c,则|a-d|b-c|;(2)t=+,求实数t的取值范围.解析解析(1)证明:由(a+d)2(b+c)2,4ad=4bc,得(a-d)2(b-c)2,即|a-d|b-c|.(2)因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以t=t(ac+bd).由于ac,bd.又已知t=+.则t(ac+bd)(ac+bd).故t,当a=c,b=d时取等号.考点三绝对值不等式的恒成立问题1.f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.2.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.典型例题典型例题(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析解析(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为.方法归纳方法归纳含绝对值不等式恒成立问题,用等价转化思想.(1)利用三角不等式求出最值进行转化.(2)利用分类讨论思想,转化成求函数值域.(3)数形结合转化.跟踪集训跟踪集训1.(2017河南郑州质量预测(二)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)g(x);(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.解析解析(1)当a=0时,由f(x)g(x)得|2x+1|x|,两边平方整理得3x2+4x+10,解得x-1或x-,原不等式的解集为(-,-1.(2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,则h(x)=故h(x)min=h=-,所以实数a的取值范围为a-.2.(2017云南昆明质量检测)已知函数f(x)=|x+2|.(1)解不等式2f(x)0,n0),若不等式|x-a|-f(x)+恒成立,求实数a的取值范围.解析解析(1)不等式2f(x)4-|x-1|等价于2|x+2|+|x-1|4,即或或解得-x-2或-2x0,n0),所以+=(m+n)=+22+2=4,所以+的最小值为4.要使|x-a|-f(x)+恒成立,则|a+2|4,解得-6a2.所以实数a的取值范围是-6,2.1.(2017广东广州综合测试(一)已知函数f(x)=|x+a-1|+|x-2a|.(1)若f(1)3,求实数a的取值范围;(2)若a1,xR,求证:f(x)2.随堂检测随堂检测解析解析(1)因为f(1)3,所以|a|+|1-2a|3.当a0时,-a+(1-2a)-,所以-a0;当0a时,a+(1-2a)-2,所以0a;当a时,a-(1-2a)3,解得a,所以a.综上所述,实数a的取值范围是.(2)证明:f(x)=|x+a-1|+|x-2a|(x+a-1)-(x-2a)|=|3a-1|,因为a1,所以f(x)3a-12.2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,aR.(1)当a=-1时,解不等式f(x)1;(2)当x0,3时,f(x)4,求实数a的取值范围.解析解析(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|1.当x-3时,不等式化为-(x+1)+(x+3)1,不等式不成立;当-3x-1时,不等式化为-(x+1)-(x+3)1,解得-x-1;当x-1时,不等式化为(x+1)-(x+3)1,不等式恒成立.综上,不等式的解集为.(2)当x0,3时,f(x)4,即|x-a|x+7,由此得a-7且a2x+7.当x0,3时,2x+7的最小值为7,所以a7,所以实数a的取值范围是-7,7.