福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题含答案.pdf

数学试卷第 1页，共 4页准考证号：姓名：（在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效）20232024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测数数 学学 试试 卷卷（考试时间：120 分钟；总分：150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！越界答题！一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1.若复数满足 1+i=1+3i，则=（）A11iB11+iC1 iD1+i2.下列说法正确的是（）A若?/?，?/?，则?/?B若?=?，则 2?3?C对任意非零向量?，?是和它同向的一个单位向量D零向量没有方向3.已知、是三个不同的平面，、是三条不同的直线，则（）A若/，/，则/B若 =，=，/，则/C若 ，则/D若 =，且/，则/4.已知向量?，?满足?=2 3，?=3，且?，?的夹角为3，则向量?在向量?方向上的投影向量为（）A34?B34?C34?D34?5.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（）A11B13C16D176.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若=2cm，且=32cm2，则原图形中边上的高为（）A32cmB62cmC 3cmD 6cm7.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为 36m，在它们之间的地面上的点（，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是45和60，在楼顶处测得塔顶的仰角为15，则估算索菲亚教堂的高度约为（）A50mB54mC58mD60m#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#数学试卷第 2页，共 4页8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A该半正多面体的体积为5 24B该半正多面体过，三点的截面面积为3 34C该半正多面体外接球的表面积为 8D该半正多面体的表面积为 6+2 3二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求 全全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9.如果平面向量?=(2,1)，?=(1,3)，那么下列结论中错误的是（）A?=3?B?/?C?与?的夹角为 30D?在?上的投影向量的模为10210.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷 4000 份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）Aa0.028B在 4000 份有效问卷中，短视频观众年龄在 1020 岁的有 1320 人C估计短视频观众的平均年龄为 32 岁D估计短视频观众年龄的 75%分位数为 39 岁11.如图，正三棱柱 111的上底面上放置一个圆柱1，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆内切于，切点，分别在棱，上，1为圆柱的母线.已知圆柱的高为 2cm，侧面积为 4cm2，棱柱的高为62cm，则（）A11/平面1B1 1C组合体的表面积为(4+6 3+9 2)cm2D若三棱柱的外接球面与线段1交于点，则与平面所成角的正弦值为3010三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12设，R，i 为虚数单位，若 2 5i 是关于的二次方程2+2+=0 一个虚根，则+=#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#数学试卷第 3页，共 4页13已知 的内角,所对的边分别是,，点是的中点.若 2+=2cos，且=1,=32，则=.14一个正方体形状的容器，,是两个侧面的面对角线，且/，该容器如图放置，点 A 恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直已知点 B 到平面的距离为 2dm，点 C 到平面的距离为 8dm，点 D到平面的距离为 10dm容器中装有水，若水面到平面的距离为 7dm，则所装的水的体积为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知复数=2+2 8+2+2 3 i (1)若复数 +2 为纯虚数，求的值；(2)若?在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围16（15 分）已知?=2，?=3，?与?的夹角为23.(1)求 2?+?3?2?；(2)求 3?+2?与?+2?夹角的余弦值；(3)若?+?+2?，?/2?+6?，R，求 的值.17（15 分）我国古代数学名著九章算术中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”如图，在三棱锥 中，平面,(1)证明：三棱锥 为鳖臑；(2)若为上一点，点,分别为,的中点平面与平面的交线为证明：直线/平面；判断与的位置关系，并证明你的结论#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#数学试卷第 4页，共 4页18（17 分）随机抽取 100 名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间 160,165，165,170，170,175，175,180，180,185 分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中的值及身高在 170cm 及以上的学生人数；（2）估计该校 100 名生学身高的 75分位数（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，?，12；，?，22记总的样本平均数为?，样本方差为2，证明：?=+?+?；2=1+12+()2+22+219（17 分）如图，斜三棱柱 111中，=，为的中点，1为11的中点，平面平面11(1)求证：直线1/平面11；(2)设直线1与直线1的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为 2，侧棱1=72，且异面直线1与1互相垂直，求异面直线1与1所成角的正切值；(3)若=2,=2,tan1=22，在三棱柱 111内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切求三棱柱 111的高#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#草稿纸第 1页，共 1页20232024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测草草 稿稿 纸纸#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#20232024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测数学试题参考答案数学试题参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案DCBDDDBD二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。注意注意：全部选对的得全部选对的得 6 6 分分，第第 9 9、1111 题选对其中一个选项得题选对其中一个选项得 2 2 分分，第第 1010 题选对题选对其中一个选项得其中一个选项得 3 3 分。有错选的得分。有错选的得 0 0 分。分。题号91011答案ABCCDBCD三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12713 7147474dm3四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本题满分 13 分，第一小题 6 分，第二小题 7 分）解：（1）由题意得 +2=2+6+2+2 3 i，因为 +2 为纯虚数，所以2+6=02+2 3 0,解得=2（2）复数?=2+2 8 2+2 3 i 它在复平面上对应的点在第三象限，所以2+2 8 0，解得4 3 或 1 2,所以实数的取值范围为 4,3 1,2 16（本题满分 15 分，第一小题 5 分，第二小题 5 分，第三小题 5 分）解：（1）因为?=2，?=3，?与?的夹角为23，所以?=?cos23=2 3 12=3，所以 2?+?3?2?=6?2?2?2=6 22 3 2 32=9.（2）因为 3?+2?=3?+2?2=9?2+12?+4?2=9 22+12 3+4 32=6，#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#?+2?=?+2?2=?2+4?+4?2=22+4 3+4 32=2 7，3?+2?+2?=3?2+8?+4?2=3 22+8 3+4 32=24，设 3?+2?与?+2?的夹角为，则 cos=3?+2?+2?3?+2?+2?=2462 7=2 77，即 3?+2?与?+2?夹角的余弦值为2 77；（3）因为?与?不共线，若?/2?+6?，则?=2?+6?，所以1=2=6，解得=12=3，又?+?+2?，所以?+?+2?=0，即?2+2+1?+2?2=0，即 22+2+1 3+2 32=0，解得=152，所以 =152 3=212.17（本题满分 15 分，第一小题 7 分，第二小题 8 分）解：（1），为直角三角形，平面，且 平面，平面，平面，和 为直角三角形，=，平面，平面，平面，又 平面，为直角三角形，三棱锥 为鳖曘.（2）连接，点,分别为,的中点，/，且 平面，平面，所以直线/平面，平行，证明：/平面，平面，平面 平面=，所以/.#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#18（本题满分 17 分，第一小题 5 分，第二小题 5 分，第三小题 7 分）解：（1）由频率分布直方图可知 5 0.01+0.07+0.04+0.02+0.01=1，解得=0.06，身高在 170及以上的学生人数 100 5 0.06+0.04+0.02=60（人）（2）180,185 的人数占比为 5 0.02=10，175,180 的人数占比为 5 0.04=20，所以该校 100 名生学身高的 75分位数落在 175,180，设该校 100 名生学身高的 75分位数为，则 0.04 180 +0.1=25，解得=176.25，故该校 100 名生学身高的 75分位数为 176.25（3）由题得?=?+?+=+?+?；2=1+=1(?)2+?=1(?)2?=1+=1(?+?)2+?=1(?+?)2?=1+=1?(?)2+2=1?(?)(?)+(?)2+=1?(?)2+2=1?(?)(?)+(?)2又=1(?)(?)=1(?)?(?)?=?(?)?(?)=0同理=1(?)(?)?=0，2=1+=1(?)2+(?)2+?=1(?)2+(?)2?=1+12+(?)2+n22+(?)2=1+12+(?)2+22+?2.19（本题满分 17 分，第一小题 5 分，第二小题 12 分）解：（1）斜三棱柱 111中，1为11的中点，为的中点，所以11=1211=12=，且11/，所以四边形11为平行四边形，所以1/1，因为1平面11，1 平面11，所以1/平面11；#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#（2）因为 AC=BC，为的中点，所以 CDAB，因为平面平面11，交线为 AB，CD平面 ABC，所以 CD平面11，故11平面11，所以11 1,又1与1互相垂直，1 11=1,1,11面11故1面11,得1 1.即 11为直角三角形，在11中，,1为中点，1/1，所以为1的三等分点，设1=，由余弦定理可得：cos11=111=12+112122111=1=32+22722232解之：=32，所以11=6,故1=1211/,1=11=12,1=32.11平面11，11 1,在 11中，tan11=2 33.所以1与1所成的角的正切值为2 33.（3）过作 1于，过作 1于，连 为直截面，小球半径为 的内切圆半径因为=2,=2，所以2+2=2，故 ACBC，则=12=1设=2,所以=2，由2=2+2解得=63，=2 33,=2 63；由最小角定理 cos1=cos1cos=2622=13=sin1=23由 面11,易知 1，=23内切圆半径为：=13，则=+2sin1=2 3+69。#QQABbQoEogCAAIBAAQgCUwXQCgIQkAAACQgOgEAMoAABQRFABAA=#